高等數(shù)學(xué)A2期末總復(fù)習(xí)

1、淮 海 工 學(xué) 院11 12 學(xué)年 第 二 學(xué)期 高等數(shù)學(xué)A（2） 期末總復(fù)習(xí)一、 選擇題（本大題共8小題，每題4分，共32分）1. 由向量，圍成的三角形面積為-（A）（A） （B） （C） （D）注1：已知，會(huì)求，舉例說(shuō)明并練習(xí).注2：已知，會(huì)求由構(gòu)成的面積，舉例說(shuō)明并練習(xí).2，則-（B）（A） （B） （C） （D）注1：二元初等函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)值，將另一變量的值代入，在對(duì)該變量求導(dǎo).如： 求.又如：對(duì)選擇題2，求.3. 在點(diǎn)處沿下列哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大-（B）（A） （B） （C） （D）注1：在點(diǎn)處沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值.如：函數(shù)在點(diǎn)處沿下列哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？并求最大值.簡(jiǎn)

2、要解答： 則 ，.又如：對(duì)選擇題3，求方向?qū)?shù)的最大值.4二次積分的另一種積分次序?yàn)?（B）（A） （B） （C） （D） 注1：在直角坐標(biāo)系下，交換二次積分的積分次序，需熟練描繪積分區(qū)域的圖形，并將其表示成另一種積分區(qū)域.如： 的另一種積分次序?yàn)?（C）（A） （B） （C） （D）又如：的另一種積分次序?yàn)?5-（D）（A） （B） （C） （D） 注1：第一種曲線積分的計(jì)算需利用與對(duì)稱奇偶性來(lái)完成.如：設(shè)為橢圓，其周長(zhǎng)為，則-（D）（A） （B） （C） （D） 6設(shè)為錐面 與平面所圍立體的表面內(nèi)側(cè)，則-（D）（A） （B） （C） （D）注1：第二種曲線積分的計(jì)算需利用高斯公式與來(lái)完成，

3、注意內(nèi)外側(cè).如：設(shè)空間閉區(qū)域，是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，用高斯公式計(jì)算得 .又如：對(duì)選擇題6，設(shè)為空間閉區(qū)域的表面內(nèi)側(cè)，用高斯公式計(jì)算.簡(jiǎn)要解答: 是半徑為、高為的圓柱體，其體積為， 令，則 則原式 7設(shè)，則級(jí)數(shù)-（ D ）（A）都收斂（B）與都發(fā)散（C）收斂，而發(fā)散 （D）發(fā)散，而收斂注1：對(duì)于級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)收斂如：下列級(jí)數(shù)中收斂的是-（D）（A） （B） （C） （D）又如：若級(jí)數(shù)收斂，則的取值范圍是-（A）（A） （B） （C） （D） 8設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，其在上的解析式為，若記的傅里葉級(jí)數(shù)為，則-（C）（A） （B） （C） （D）注1：以為周期的滿足狄利克雷收斂條件，若為的

4、第一類間斷點(diǎn)，則的傅里葉級(jí)數(shù).如：對(duì)選擇題8，.二、計(jì)算題（本大題共4小題，每題7分，共28分）1. 設(shè)是由 所確定的隱函數(shù),求.注1：設(shè)是由所確定的隱函數(shù)，則有公式法如下：解：設(shè)-1 則 (3分,偏導(dǎo)錯(cuò)一個(gè)扣分)則 =.-3如： 設(shè)確定了隱函數(shù)，求.2 設(shè)，其中可微，求.解：-2-2= .-3注1：含抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算需利用鏈?zhǔn)椒▌t.如： ,其中均可微，求.簡(jiǎn)要解答: 則.又如：對(duì)計(jì)算題2，求.注2：的全微分公式為，求出，可得，進(jìn)一步，將代入，可得，或.如：設(shè)，其中可微，求.簡(jiǎn)要解答: ，因，則.又如：對(duì)計(jì)算題1，求.3設(shè)由及軸所圍成，求.解: -2則原式-2.-3注1：若積分區(qū)域?yàn)閳A

5、（扇、環(huán)）域，被積函數(shù)為，則用極坐標(biāo).如： 若，求.簡(jiǎn)要解答: 原式.又如：對(duì)計(jì)算題3，求.4取為的順時(shí)針方向，用格林公式求.解：原式-2-3.-2注1：用格林公式求時(shí)，若含分母，利用將分母變?yōu)槌?shù)，再用格林公式進(jìn)行計(jì)算，注意的逆（順）時(shí)針方向.如：設(shè)是的逆時(shí)針邊界曲線，則.再如：對(duì)計(jì)算題4，求.三、計(jì)算題（8分）記曲面在點(diǎn)處的切平面為，若已知直線與垂直，求點(diǎn)及的方程.解： 設(shè)，則 -2由，知 -3代入可得：-1 故：，即 .-2注1：曲面在點(diǎn)處的法向量為.如：在曲面上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)處曲面的法線垂直于平面簡(jiǎn)要解答: 設(shè)所求點(diǎn)為 , 令則點(diǎn)處的法向量為由已知得，解之得: ，則 故所求點(diǎn)為.又如：

6、求曲面在處的切平面的方程,（1）判斷平面：與切平面的位置關(guān)系；（2）判斷直線與切平面的位置關(guān)系.簡(jiǎn)要解答: （1）令則，切平面法向量切平面方程為： ，平面法向量為 由 知 ，即 .（2）直線的方向向量為由，知，又直線上的點(diǎn)，則.注意：當(dāng)時(shí)，若直線上的某點(diǎn)，則有.四、計(jì)算題（分）求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域解: -2當(dāng)時(shí)，即時(shí)，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂-1 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散-1則收斂半徑 -1 時(shí)，相應(yīng)級(jí)數(shù)為收斂-2 收斂域?yàn)?-1注1：熟練掌握求冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂域的解題方法與過程如：求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域 簡(jiǎn)要解答: ，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂； 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散，則收斂半徑 ， 時(shí)

7、，相應(yīng)級(jí)數(shù)為發(fā)散，收斂域?yàn)?五、證明計(jì)算題（本題8分）求證：為某二元函數(shù)的全微分， 并求解: -1-2則與積分路徑無(wú)關(guān)-1 -1-2-1注1：與積分路徑無(wú)關(guān)，且，一般取為原點(diǎn).如：證明：在整個(gè)平面內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的二元函數(shù)簡(jiǎn)要解答: 因，則命題得證；又如：對(duì)證明計(jì)算題五，求證:與積分路徑無(wú)關(guān),僅與的起點(diǎn)僅與的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)，并求出簡(jiǎn)要解答: 因，則命題得證；六、計(jì)算題（本題8分）求 解 如圖, 原式-2-2-2.-2七、應(yīng)用題（本題8分）如圖是一塊邊長(zhǎng)為的正方形地皮，其中是一座半徑為的扇形小山，是弧上一點(diǎn)，其余部分都是平地.某開發(fā)商想在平地上建造一個(gè)有邊落在與上的矩形停

8、車場(chǎng)，設(shè)，求該停車場(chǎng)的最大面積.解：在中，-1停車場(chǎng)的面積，-1構(gòu)造， -1由-1解得或-1當(dāng)時(shí)，易得-1當(dāng)，易得-1故停車場(chǎng)的最大面積為.-1注1：此類優(yōu)化應(yīng)用題應(yīng)化為條件極值問題，一般利用拉格朗日乘數(shù)法解決，也可將條件代入目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問題加以解決.如：2008年5月12日我國(guó)四川汶川發(fā)生了強(qiáng)烈地震，整個(gè)汶川地區(qū)的道路網(wǎng)受到了空前的破壞，為重建家園，政府決定建立一個(gè)優(yōu)化的道路系統(tǒng)現(xiàn)有一個(gè)道路子網(wǎng)將連接汶川地區(qū)的四個(gè)農(nóng)莊，恰好座落在邊長(zhǎng)為的正方形頂點(diǎn)上，該道路子網(wǎng)有一條關(guān)于對(duì)稱的中心道及四條支道，整個(gè)設(shè)計(jì)要求，設(shè)長(zhǎng)為，問為多少時(shí)，道路子網(wǎng)總長(zhǎng)度最短？ A B O1 O2 D C簡(jiǎn)要

9、解答: ，且該題要求在上述條件下求道路總長(zhǎng)度的條件最小值構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解得，可使道路子網(wǎng)總長(zhǎng)度最短注意：本題也可將化為，代入目標(biāo)函數(shù)令進(jìn)行求解八、微分方程復(fù)習(xí)題1、的通解為-（ B ）（A） （B） （C） （D）注1：一階可分離變量微分方程的解法為.對(duì)選擇題1，則選（ B ）.如：求的通解.2、是下列哪個(gè)微分方程的通解-（ A ）（A） （B） （C） （D）注1：的特征方程為，不要求；若特征方程有兩個(gè)不同實(shí)根，原方程通解為；若特征方程有兩個(gè)相同實(shí)根，原方程通解為.對(duì)選擇題2，因?yàn)樵撐⒎址匠痰膬蓚€(gè)特解，則為其特征方程有兩個(gè)不同實(shí)根，其特征方程為，故選（A）如：的通解為；通解為，則微分方程為.又如：的通解為；通解為，則微分方程為.3、 微分方程的一個(gè)特解可設(shè)為-（C）（A） （B） （C） （D）注1：的特解可設(shè)為，當(dāng)為其相應(yīng)特征方程的非特征根，單根，重根時(shí)，分別取.注2：的特解可設(shè)為，當(dāng)為其相應(yīng)特征方程的非特征根，單根，重根時(shí)，分別取.對(duì)選擇題3，因