高中數(shù)學(xué)難解題組卷2

1、高中數(shù)學(xué)難解題組卷2高中數(shù)學(xué)難解題組卷2一選擇題（共12小題）1已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cos，sin），則向量與向量的夾角范圍為（）A0，B，C，D，2已知是關(guān)于x的一元二次方程，其中，是非零向量，且向量和不共線，則該方程（）A至少有一根B至多有一根C有兩個不等的根D有無數(shù)個互不相同的根3若=（2，3），=（4，7），則在方向上的投影為（）ABCD4已知兩點(diǎn)A（1，0），B（1，），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且AOC=120°，設(shè)，（R），則等于（）A1B1C2D25（2007遼寧）若向量與不共線，0，且，則向量與的夾角為（）A0BCD6在ABC所在平面

2、上有三點(diǎn)P、Q、R，滿足+=，+=，+=，則PQR的面積與ABC的面積之比為（）A1：2B1：3C1：4D1：57（2012湖南）在ABC中，AB=2，AC=3，=1，則BC=（）ABC2D8設(shè)向量，滿足，=60°，則的最大值等于（）A2BCD19若向量a=（cos，sin），b=（cos，sin），則a與b一定滿足（）Aa與b的夾角等于aB（a+b）（ab）CabDab10已知，是任意兩個向量，下列條件：=；|=|；與的方向相反；=或=；與都是單位向量，其中為向量與共線的充分不必要條件的個數(shù)是（）A1B2C3D411已知圓x2+y2=4，過A（4，0）作圓的割線ABC，則弦BC中點(diǎn)

3、的軌跡方程是（）A（x2）2+y2=4B（x2）2+y2=4（0x1）C（x1）2+y2=4D（x1）2+y2=4（0x1）12四面體SABC中，各個側(cè)面都是邊長為a的正三角形，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成的角等于（）A900B600C450D300二填空題（共11小題）13已知A（3，7），B（5，2），向量按=（1，2）平移后所得向量是_14在ABO中，若，則SABC=_15設(shè)點(diǎn)A（2，0），B（4，2），點(diǎn)P在直線AB上，且|=2|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_16如圖，設(shè)P，Q為ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且，=+，則ABP的面積與ABQ的面積之比為 _17半圓的直徑AB=4，O為圓

4、心，C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC的中點(diǎn)，則的值是_18已知均為單位向量，它們的夾角為60°，=_19O為平面上的定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，若（）（+2）=0，則DABC是_三角形20已知向量集合M=a|a=（1，2）+（3，4），R，N=b|b=（2，2）+（4，5），R，則MN=_21O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，0，+），則P的軌跡一定通過ABC的_心22（2012湛江）若向量=（x，2x）與=（3x，2）的夾角是鈍角，則x的范圍是_23如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的

5、中點(diǎn)，將ABC沿DE，EF，DF折成正四面體PDEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為_三解答題（共7小題）24復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=1，求|2z2z+1|的最大值和最小值25已知點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動點(diǎn)，定點(diǎn)Q（4，0）（1）求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)POQ的平分線交PQ于R，求R點(diǎn)的軌跡方程26過點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1、l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程27如圖，在四棱錐SABCD中，SD底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，BAD=30°，AB=2，E是SC的中點(diǎn)（I）求證：SA平面BDE；（I

6、I）求證：ADSB；（III）若SD=2，求棱錐CBDE的體積28如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，四邊形B1BCC1是邊長為6的正方形（）求證：A1B平面AC1D；（）求證：CE平面AC1D；（）求二面角CAC1D的余弦值29如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，四邊形B1BCC1是邊長為6的正方形（）求證：A1B平面AC1D；（）求證：平面A1CE平面AC1D30如圖，已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC=60°，點(diǎn)E、G分別是CD、PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在

7、PD上，且PF：FD=2：1（）證明：EAPB；（）證明：BG面AFC高中數(shù)學(xué)難解題組卷2參考答案與試題解析一選擇題（共12小題）1已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cos，sin），則向量與向量的夾角范圍為（）A0，B，C，D，考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個向量的夾角專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合分析：利用CA是常數(shù)，判斷出A的軌跡為圓，作出A的軌跡；數(shù)形結(jié)合求出兩個向量的夾角范圍解答：解：|=，A點(diǎn)在以C為圓心，為半徑的圓上，當(dāng)OA與圓相切時對應(yīng)的位置是OA 與OB所成的角最大和最小的位置OC與x軸所成的角為；與切線所成的為所以兩個向量所成的最小值為；最大值為故選D點(diǎn)評：本題考查圓的定義、數(shù)形

8、結(jié)合求兩個向量的夾角范圍2已知是關(guān)于x的一元二次方程，其中，是非零向量，且向量和不共線，則該方程（）A至少有一根B至多有一根C有兩個不等的根D有無數(shù)個互不相同的根考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算分析：先將向量移到另一側(cè)得到關(guān)于向量=x2x，再由平面向量的基本定理判斷即可解答：解：=x2x因?yàn)榭梢杂刹还簿€的向量唯一表示所以可以由A和B唯一表示若恰好形式相同，則有一個解，否則無解所以至多一個解故選B點(diǎn)評：本題主要考查平面向量的基本定理，即平面內(nèi)任意向量都可由兩不共線的非零向量唯一表示出來3若=（2，3），=（4，7），則在方向上的投影為（）ABCD考點(diǎn)：向量的投影專題：常規(guī)題型；計(jì)算題分析：先求得兩向量的

9、數(shù)量積，再求得向量的模，代入公式求解解答：解析：在方向上的投影為=故選C點(diǎn)評：本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運(yùn)用4已知兩點(diǎn)A（1，0），B（1，），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且AOC=120°，設(shè)，（R），則等于（）A1B1C2D2考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算專題：計(jì)算題分析：先設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)題意和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，分別用表示x和y，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示出AOC的余弦值，再求出的值解答：解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（x，y），則由得，（x，y）=2（1，0）+（1，）=（2+，），x=2+，y=，又AOC=120°，cos120°=，即

10、=，解得，=1故選B點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積和向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，即通過條件列出關(guān)系式，利用向量相等的坐標(biāo)等價(jià)條件進(jìn)行求值5（2007遼寧）若向量與不共線，0，且，則向量與的夾角為（）A0BCD考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角分析：求兩個向量的夾角有它本身的公式，條件中表現(xiàn)形式有點(diǎn)繁瑣，我們可以試著先求一下要求夾角的向量的數(shù)量積，求數(shù)量積的過程有點(diǎn)出乎意料，一下就求出結(jié)果，數(shù)量積為零，兩向量垂直，不用再做就得到結(jié)果，有些題目同學(xué)們看著不敢動手做，實(shí)際上，我們試一下，它表現(xiàn)得很有規(guī)律解答：解：=0向量a與c垂直，故選D點(diǎn)評：用一組向量來表示一個向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加

11、減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，本題使用兩個不共線的向量來表示第三個向量，這樣解題時運(yùn)算有點(diǎn)麻煩，但是我們應(yīng)該會的6在ABC所在平面上有三點(diǎn)P、Q、R，滿足+=，+=，+=，則PQR的面積與ABC的面積之比為（）A1：2B1：3C1：4D1：5考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義；相似三角形的性質(zhì)專題：計(jì)算題分析：將已知向量等式變形，利用向量的運(yùn)算法則化簡得到，利用向量共線的充要條件得到P是AC的三等分點(diǎn)，同理得到Q、R分別是AB，BC的三等分點(diǎn)；利用三角形的面積公式求出三角形的面積比解答：解：由+=，得+=，即+=+，即+=，=2，P為線段AC的一個三等分點(diǎn)，同理可得Q、R的位置，PQR的面積為

12、ABC的面積減去三個小三角形面積，面積比為1：3；故選B點(diǎn)評：本題考查向量的運(yùn)算法則、向量共線的充要條件、相似三角形的面積關(guān)系7（2012湖南）在ABC中，AB=2，AC=3，=1，則BC=（）ABC2D考點(diǎn)：解三角形；向量在幾何中的應(yīng)用專題：計(jì)算題分析：設(shè)B=，由=1，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，表示出cos，再利用余弦定理表示出cos，兩者相等列出關(guān)于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的長解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：=1，設(shè)B=，AB=2，2BCcos（）=1，即cos=，又根據(jù)余弦定理得：cos=，=，即BC2=3，則BC=故選A點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型

13、，涉及的知識有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，余弦定理，以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，熟練掌握定理及法則是解本題的關(guān)鍵8設(shè)向量，滿足，=60°，則的最大值等于（）A2BCD1考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角專題：計(jì)算題分析：利用向量的數(shù)量積求出的夾角；利用向量的運(yùn)算法則作出圖；結(jié)合圖，判斷出四點(diǎn)共圓；利用正弦定理求出外接圓的直徑，求出最大值解答：解：，的夾角為120°，設(shè)，則；=如圖所示則AOB=120°；ACB=60°AOB+ACO=180°A，O，B，C四點(diǎn)共圓由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=當(dāng)OC為直徑時，模最大，最大為2故選A點(diǎn)評：本題考查

14、向量的數(shù)量積公式、向量的運(yùn)算法則、四點(diǎn)共圓的判斷定理、三角形的正弦定理9若向量a=（cos，sin），b=（cos，sin），則a與b一定滿足（）Aa與b的夾角等于aB（a+b）（ab）CabDab考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系專題：計(jì)算題分析：此題中的與沒限制條件，可用排除法排除A，C，D選項(xiàng)，再根據(jù)向量垂直檢驗(yàn)B選項(xiàng)正確即可解答：解：角，為全體實(shí)數(shù)，也為全體實(shí)數(shù)，而兩向量的夾角（0，），故A不對當(dāng)=45°，=30°時，與不平行，也不垂直，故C，D不對=11=0，故選B點(diǎn)評：本題考查了向量的垂直關(guān)系并于三角相結(jié)合考查向量的摸的運(yùn)算是一道好題10已知，是任意兩個向量

15、，下列條件：=；|=|；與的方向相反；=或=；與都是單位向量，其中為向量與共線的充分不必要條件的個數(shù)是（）A1B2C3D4考點(diǎn)：平行向量與共線向量專題：計(jì)算題分析：若兩向量：=；與的方向相反；=或=；則兩向量互為相反，一定共線，而當(dāng)兩向量共線時，不一定是：=；與的方向相反；=或=；由此關(guān)系判斷即可解答：解：若“：=；則“”與“”共線，但反之不一定成立，若與的方向相反；則“”與“”一定共線，但反之不一定成立，若=或=；則“”與“”一定共線，但反之不一定成立，由此知 為向量與共線的充分不必要條件；故選C點(diǎn)評：本題考查平行向量與共線向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握理解共線向量的定義以及相反向量的定義，結(jié)合

16、向量的數(shù)乘，進(jìn)行判斷；本題還考查的知識點(diǎn)是充要條件的定義，根據(jù)充要條件的定義，先判斷pq，再判斷qp的真假，再得到結(jié)論11已知圓x2+y2=4，過A（4，0）作圓的割線ABC，則弦BC中點(diǎn)的軌跡方程是（）A（x2）2+y2=4B（x2）2+y2=4（0x1）C（x1）2+y2=4D（x1）2+y2=4（0x1）考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用；軌跡方程分析：結(jié)合圖形，不難直接得到結(jié)果；也可以具體求解，使用交點(diǎn)軌跡法，見解答解答：解：設(shè)弦BC中點(diǎn)（x，y），過A的直線的斜率為k，割線ABC的方程：y=k（x4）；作圓的割線ABC，所以中點(diǎn)與圓心連線與割線ABC垂直，方程為：x+ky=0；因?yàn)榻稽c(diǎn)就是弦

17、的中點(diǎn)，它在這兩條直線上，故弦BC中點(diǎn)的軌跡方程是：x2+y24x=0如圖故選B點(diǎn)評：本題考查形式數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，軌跡方程，直線與圓的方程的應(yīng)用，易錯題，中檔題12四面體SABC中，各個側(cè)面都是邊長為a的正三角形，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成的角等于（）A900B600C450D300考點(diǎn)：異面直線及其所成的角專題：計(jì)算題分析：取AC中點(diǎn)G，連接EG，GF，F(xiàn)C，根據(jù)中位線可知GESA，根據(jù)異面直線所成角的定義可知GEF為異面直線EF與SA所成的角，在GEF中求出此角即可解答：解：取AC中點(diǎn)G，連接EG，GF，F(xiàn)C設(shè)棱長為2，則CF=，而CE=1EF=，GE=1，

18、GF=1而GESA，GEF為異面直線EF與SA所成的角EF=，GE=1，GF=1GEF為等腰直角三角形，故GEF=45°故選C點(diǎn)評：本題主要考查了異面直線所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題二填空題（共11小題）13已知A（3，7），B（5，2），向量按=（1，2）平移后所得向量是（2，5）考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義專題：計(jì)算題分析：先求出=（2，5），向量無論怎么平移，由于它的長度和方向不變，故它的坐標(biāo)不變解答：解：由于 =（5，2）（3，7）=（2，5），向量無論怎么平移，由于它的長度和方向不變，故它的坐標(biāo)不變，故所得向量還是故答案為：（2，5）

19、點(diǎn)評：本題考查求向量的坐標(biāo)，向量平移的意義，屬于基礎(chǔ)題14在ABO中，若，則SABC=考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；兩角和與差的余弦函數(shù)；正弦定理專題：計(jì)算題分析：先利用向量的數(shù)量積公式及兩個角差的余弦公式求出兩個向量的數(shù)量積，列出等式，求出向量的夾角值，再利用三角形面積公式求AOB的面積解答：解：因?yàn)椋?2cos5cos+2sin5sin=10cos（）=5所以：cos（）=AOB=120°SABC=|sinAOB=×2×5×=故答案為； 點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積公式：對應(yīng)坐標(biāo)的乘積和、考查兩角和與差的余弦公式解答關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積求出AOB的大小

20、15設(shè)點(diǎn)A（2，0），B（4，2），點(diǎn)P在直線AB上，且|=2|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（1，1）考點(diǎn)：向量的模專題：計(jì)算題分析：由題意可得點(diǎn)P分成的比=1 或，分別利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)解答：解：點(diǎn)P在直線AB上，|=2|，點(diǎn)P分成的比=1 或設(shè)點(diǎn)P（x，y），當(dāng)=1時，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x=3，y=1，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）當(dāng)= 時，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x=1，y=1，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）故答案為 （3，1）或（1，1）點(diǎn)評：本題主要考查定比分點(diǎn)分有向線段成的比的定義，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題16如圖，設(shè)P，Q為

21、ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且，=+，則ABP的面積與ABQ的面積之比為 考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的含義與物理意義分析：利用向量的運(yùn)算法則：平行四邊形法則作出P，利用同底的三角形的面積等于高的比求出，同理求出，兩個式子比求出ABP的面積與ABQ的面積之比解答：解：設(shè) 則由平行四邊形法則知NPAB 所以同理故故答案為：點(diǎn)評：本題考查向量的運(yùn)算法則：平行四邊形法則；三角形的面積公式17半圓的直徑AB=4，O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC的中點(diǎn)，則的值是2考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義專題：計(jì)算題分析：根據(jù)題意，由向量的加法可得（+）=2，代入中，結(jié)合數(shù)量積的公式

22、，計(jì)算可得答案解答：解：根據(jù)題意，半圓的直徑AB=4，則OA=OB=OC=2，OP=PC=1，與反向且模長都為1；（+）=2=2×1×1×cos180°=2；故答案為：2點(diǎn)評：本題考查向量的運(yùn)算，涉及加法與數(shù)量積的計(jì)算；解題時要結(jié)合圖形，注意P為半徑OC的中點(diǎn)這一條件18已知均為單位向量，它們的夾角為60°，=考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算分析：先由=+96=6|cos60°，將數(shù)代入即可得到答案解答：解：=+96=6|cos60°=103=7=故答案為：點(diǎn)評：本題主要考查向量的點(diǎn)乘運(yùn)算和向量的求模運(yùn)算屬基礎(chǔ)題19O為平面上的定

23、點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，若（）（+2）=0，則DABC是以BC為底邊的等腰三角形三角形考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算分析：首先把2拆開分別與、組合，再由向量加減運(yùn)算即可整理，然后根據(jù)（點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)），并結(jié)合圖形得出結(jié)論解答：解：由題意知=0，如圖所示，其中（點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)），所以ADBC，即AD是BC的中垂線，所以AB=AC，即ABC為等腰三角形故答案為“以BC為底邊的等腰三角形”點(diǎn)評：本題主要考查向量加、減法的運(yùn)算及幾何意義，同時考查向量垂直的條件20已知向量集合M=a|a=（1，2）+（3，4），R，N=b|b=（2，2）+（4，5），R，則MN=（2，2）考點(diǎn)：向量

24、在幾何中的應(yīng)用；兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)專題：計(jì)算題分析：求MN即求M和N中的公共元素構(gòu)成的集合，故只需令解出，在代入集合A或集合B即可解答：解：由（1，2）+1（3，4）=（2，2）+2（4，5），由，解得，MN=（2，2）故答案為：（2，2）點(diǎn)評：本題考查向量的相等、集合的表示和運(yùn)算，屬基本知識、基本運(yùn)算的考查21O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，0，+），則P的軌跡一定通過ABC的重心考點(diǎn)：向量的共線定理分析：設(shè)出BC的中點(diǎn)D，由，可以轉(zhuǎn)化為，即=2，從而得到，得到答案解答：解：設(shè)BC中點(diǎn)為D，則AD為ABC中BC邊上的中線 且，=2A、P、D三點(diǎn)共線所以點(diǎn)P一定

25、過ABC的重心故答案為：重點(diǎn)評：本題主要考查平面向量的基本定理和向量的共線定理屬中檔題22（2012湛江）若向量=（x，2x）與=（3x，2）的夾角是鈍角，則x的范圍是（，）（，0）（，+）考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個向量的夾角專題：計(jì)算題分析：由題意可得 cos0 且 和 不共線，故有 2x2x（3x），0，即 x0，x，且=3x2+4x0，由此求得x的范圍解答：解：向量 =（x，2x）與 =（3x，2）的夾角是鈍角，設(shè)兩個向量的夾角為，則有cos0 且 和 不共線，2x2x（3x），0，即 x0，x，且=3x2+4x0解得 x0，且 x，或 x，故x的范圍是 （，）（，0）（，+），故答案為 （，

26、）（，0）（，+）點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的夾角公式的應(yīng)用，兩個向量共線的性質(zhì)，易錯誤地認(rèn)為與夾角是鈍角（應(yīng)排除兩個向量反向共線的情形），屬于中檔題23如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，將ABC沿DE，EF，DF折成正四面體PDEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為考點(diǎn)：異面直線及其所成的角分析：折成的四面體是正四面體，畫出立體圖形，根據(jù)中點(diǎn)找平行線，把所求的異面直線角轉(zhuǎn)化為一個三角形的內(nèi)角來計(jì)算解答：解：如圖，連接HE，取HE的中點(diǎn)K，連接GK，則GKDH，故PGK即為所求的異面直線角或者其補(bǔ)角設(shè)這個正四面體的棱長為2，在PG

27、K中，故即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是故答案為：點(diǎn)評：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧三解答題（共7小題）24復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=1，求|2z2z+1|的最大值和最小值考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模專題：計(jì)算題分析：設(shè) z=cos+isin，利用復(fù)數(shù)的乘方、模的定義、及三角公式化簡|2z2z+1|=，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值解答：解：|z|=1，z=cos+isin，|2z2z+1|=|2（cos+isin）2（

28、cos+isin）+1|=|（2cos2cos+1）+（2sin2sin）i|=當(dāng)cos=時，|2z2z+1|有最小值為，當(dāng)cos=1時，|2z2z+1|有最大值為 4點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的乘方、求復(fù)數(shù)的模的方法，三角公式及二次函數(shù)性質(zhì)得應(yīng)用25已知點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動點(diǎn)，定點(diǎn)Q（4，0）（1）求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)POQ的平分線交PQ于R，求R點(diǎn)的軌跡方程考點(diǎn)：軌跡方程專題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想分析：（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x，y），則P（2x4，2y），代入圓的方程即得線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程（2）設(shè)R（x，y），由三角形角平分線性質(zhì)得出一個比例式，再設(shè)P（m，n），得出關(guān)于m，n

29、與x，y的關(guān)系式，代入x2+y2=4中，即得R點(diǎn)的軌跡方程解答：解：（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x，y），則P（2x4，2y），代入圓的方程得（x2）2+y2=1（2）設(shè)R（x，y），由=，設(shè)P（m，n），則有m=，n=，代入x2+y2=4中，得（x）2+y2=（y0）點(diǎn)評：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法、參數(shù)法，本題主要是利用直接法和相關(guān)點(diǎn)代入法，直接法是將動點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點(diǎn)軌跡方程相關(guān)點(diǎn)代入法 根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點(diǎn)的軌跡方程26過點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1、l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸

30、于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程考點(diǎn)：軌跡方程；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系專題：計(jì)算題分析：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），欲求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，只須求出坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，由題意得2|PM|=|AB|，利用兩點(diǎn)間的距離公式將點(diǎn)的坐標(biāo)代入后化簡即得M的軌跡方程解答：解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2x，0），（0，2y），連接PM，l1l2，2|PM|=|AB|而|PM|=，|AB|=，2化簡，得x+2y5=0即為所求的軌跡方程點(diǎn)評：本題主要考查了軌跡方程、兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系等知識，屬于中檔題27如圖，在四棱錐SABCD中，SD底面ABCD，

31、底面ABCD是平行四邊形，BAD=30°，AB=2，E是SC的中點(diǎn)（I）求證：SA平面BDE；（II）求證：ADSB；（III）若SD=2，求棱錐CBDE的體積考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系專題：計(jì)算題；證明題分析：（）連接AC交BD于F，連接EF，證明SAEF，然后證明SA平面BDE（）利用余弦定理推出ADBD證明ADSD，然后證明ADSB（III）若SD=2，求出E到底面的距離，求出底面面積，利用等體積求解求棱錐CBDE的體積解答：解：（）連接AC交BD于F，連接EF，由ABCD是平行四邊形，知F為AC的中點(diǎn)，又E為SC的中點(diǎn)，

32、所以SAEF，SA平面BDE，EF平面BDE，SA平面BDE（4分）（）由AB=2，AD=，BAD=30°，及余弦定理得取BD2=AB2+AD22ABADcosBAD=1，AD2+BD2=AB2，ADBDSD平面ABCD，AD平面ABCD，ADSD，AD平面SBD，又SB平面SBD，ADSB（8分）（）SD=2，所以E到底面的距離為1，=，（12分）點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行，直線與直線垂直直線與平面垂直的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力，空間想象能力28如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，四邊形B1BCC1是邊長為6的正方形

33、（）求證：A1B平面AC1D；（）求證：CE平面AC1D；（）求二面角CAC1D的余弦值考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定專題：綜合題分析：（1）連接A1C，與AC1交于O點(diǎn)，連接OD，由三角形中位線定理可得ODA1B，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到A1B平面AC1D；（）由直棱柱的特征可得BB1AD，由三角形三線合一可得ADBC，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AD平面B1BCC1進(jìn)而ADCE，由側(cè)面B1BCC1為正方形，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，利用三角形全等可證得C1DCE，最后再由線面垂直的判定定理證得CE平面AC1D；（）以B1C1的中點(diǎn)G為

34、原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面AC1D的一個法向量和平面ACC1的一個法向量，代入向量夾角公式，可得答案解答：證明：（）連接A1C，與AC1交于O點(diǎn)，連接OD因?yàn)镺，D分別為AC1和BC的中點(diǎn)，所以O(shè)DA1B又OD平面AC1D，A1B平面AC1D，所以A1B平面AC1D（4分）證明：（）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，又AD平面ABC，所以BB1AD因?yàn)锳B=AC，D為BC中點(diǎn)，所以ADBC又BCBB1=B，所以AD平面B1BCC1又CE平面B1BCC1，所以ADCE因?yàn)樗倪呅蜝1BCC1為正方形，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，所以RtCBERtC1CD，CC1

35、D=BCE所以BCE+C1DC=90°所以C1DCE又ADC1D=D，所以CE平面AC1D （9分）解：（）如圖，以B1C1的中點(diǎn)G為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系則A（0，6，4），E（3，3，0），C（3，6，0），C1（3，0，0）由（）知CE平面AC1D，所以為平面AC1D的一個法向量設(shè)n=（x，y，z）為平面ACC1的一個法向量，由可得令x=1，則所以從而因?yàn)槎娼荂AC1D為銳角，所以二面角CAC1D的余弦值為（14分）點(diǎn)評：本題是一個與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，以正三棱柱為載體，考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，及二面角等考點(diǎn)，難度中檔29如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，四邊形B1BCC1是邊長為6的正方形（）求證：A1B平面AC1D；（）求證：平面A1CE平面AC1D考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定專題：證明題分析：（）連接A1C，與AC1交于O點(diǎn)，連接OD在A1BC中，利用中位線定