量子力學(xué)期末考試題目

1、第一章玻爾的量子化條件，索末菲的量子化條件。黑體：能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對(duì)黑體，簡(jiǎn)稱黑體。普朗克量子假說(shuō)：表述1：對(duì)于一定頻率的輻射，物體只能以h為能量單位吸收或發(fā)射電磁輻射。表述2：物體吸收或發(fā)射電磁輻射時(shí)，只能以量子的方式進(jìn)行，每個(gè)量子的能量為：=h。表述3：物體吸收或發(fā)射電磁輻射時(shí)，只能以能量的整數(shù)倍來(lái)實(shí)現(xiàn)，即，2，3，。光電效應(yīng)：光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現(xiàn)象。這種電子稱之為光電子。光電效應(yīng)有兩個(gè)突出的特點(diǎn)： 存在臨界頻率0 ：只有當(dāng)光的頻率大于一定值v0 時(shí)，才有光電子發(fā)射出來(lái)。若光頻率小于該值時(shí)，則不論光強(qiáng)度多大，照射時(shí)間多長(zhǎng)，都沒有光電子產(chǎn)生。

2、 光電子的能量只與光的頻率有關(guān)，與光的強(qiáng)度無(wú)關(guān)。光的強(qiáng)度只決定光電子數(shù)目的多少。愛因斯坦光量子假說(shuō)：光(電磁輻射)不僅在發(fā)射和吸收時(shí)以能量E= h的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式在空間以光速 C 傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。愛因斯坦方程光電效應(yīng)機(jī)理： 當(dāng)光射到金屬表面上時(shí)，能量為 E= h 的光子立刻被電子所吸收，電子把這能量的一部分用來(lái)克服金屬表面對(duì)它的吸引，另一部分就是電子離開金屬表面后的動(dòng)能。解釋光電效應(yīng)的兩個(gè)典型特點(diǎn)：存在臨界頻率v0：由上式明顯看出，當(dāng)h- W0 0時(shí)，即0 = W0 / h時(shí)，電子不能脫出金屬表面，從而沒有光電子產(chǎn)生。 光電子動(dòng)能只決定于光子的頻率：上

3、式表明光電子的能量只與光的頻率有關(guān)，而與光的強(qiáng)度無(wú)關(guān)?？灯疹D效應(yīng)：高頻率的X射線被輕元素如白蠟、石墨中的電子散射后出現(xiàn)的效應(yīng)?？灯疹D效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律： 散射光中，除了原來(lái)X光的波長(zhǎng)外，增加了一個(gè)新的波長(zhǎng)為'的X光，且' >；波長(zhǎng)增量=-隨散射角增大而增大。量子現(xiàn)象凡是普朗克常數(shù)h在其中起重要作用的現(xiàn)象光具有微粒和波動(dòng)的雙重性質(zhì)，這種性質(zhì)稱為光的波粒二象性與運(yùn)動(dòng)粒子相聯(lián)系的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波。光譜線：光經(jīng)過(guò)一系列光學(xué)透鏡及棱鏡后，會(huì)在底片上留下若干條線，每個(gè)線條就是一條光譜線。所有光譜線的總和稱為光譜。線狀光譜：原子光譜是由一條條斷續(xù)的光譜線構(gòu)成的。21.標(biāo)識(shí)線狀光譜：

4、對(duì)于確定的原子，在各種激發(fā)條件下得到的光譜總是完全一樣的，也就是說(shuō)，可以表征原子特征的線狀光譜。22.戴維遜-革末實(shí)驗(yàn)證明了什么？第二章量子力學(xué)中，原子的軌道半徑的含義。波函數(shù)的物理意義：某時(shí)刻t在空間某一點(diǎn)(x,y,z)波函數(shù)模的平方與該時(shí)刻t該地點(diǎn)(x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度(通常稱為幾率)dw(x,y,z,t)成正比。按照這種解釋，描寫粒子的波是幾率波。 波函數(shù)的特性：波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，并不改變?cè)诳臻g各點(diǎn)找到粒子的幾率，即不改變波函數(shù)所描寫的狀態(tài)。波函數(shù)的歸一化條件 態(tài)疊加原理：若體系具有一系列不同的可能狀態(tài)1，2，n，則這些可能狀態(tài)的任意線性組合，也一定是該體系的

5、一個(gè)可能的狀態(tài)。也可以說(shuō)，當(dāng)體系處于態(tài)時(shí)，體系部分地處于態(tài)1，2，n中。波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃敌?，有限性和連續(xù)性，波函數(shù)歸一化。定態(tài)：微觀體系處于具有確定的能量值的狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)波函數(shù)：描述定態(tài)的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)的性質(zhì)：由定態(tài)波函數(shù)給出的幾率密度不隨時(shí)間改變。粒子幾率流密度不隨時(shí)間改變。任何不顯含時(shí)間變量的力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間改變。本征方程、本征值和本征波函數(shù)：在量子力學(xué)中，若一個(gè)算符作用在一個(gè)波函數(shù)上，等于一個(gè)常數(shù)乘以該波函數(shù)，則稱此方程為該算符的本征方程。常數(shù)fn為該算符的第n個(gè)本征值。波函數(shù)n為fn相應(yīng)的本征波函數(shù)。束縛態(tài)：在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)?；鶓B(tài)：體系能

6、量最低的態(tài)。宇稱：在一維問題中，凡波函數(shù)(x)為x的偶函數(shù)的態(tài)稱為偶(正)宇稱態(tài)；凡波函數(shù)(x)為x的奇函數(shù)的態(tài)稱為奇(負(fù))宇稱態(tài)。在一維空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的粒子的勢(shì)能為(2x2)/2， 是常數(shù)，這種粒子構(gòu)成的體系稱為線性諧振子。 線性諧振子的能級(jí)為：透射系數(shù)：透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比。反射系數(shù)：反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比。隧道效應(yīng)：粒子在能量E小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象。求證：在薛定諤方程中 只有當(dāng)勢(shì)能V(r)為實(shí)函數(shù)時(shí)，連續(xù)性方程才能成立。設(shè)一個(gè)質(zhì)量為的粒子束縛在勢(shì)場(chǎng)中作一維運(yùn)動(dòng)，其能量本征值和本征波函數(shù)分別為En,n，n=1，2，3，4、。求證：對(duì)一維運(yùn)動(dòng)的粒子，

7、設(shè)1(x)和2(x)均為定態(tài)薛定諤方程的具有相同能量E的解，求證：一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。體系處于(x,t)態(tài)，幾率密度(x,t)=？幾率流密度j(x,t)=？ 21設(shè)粒子波函數(shù)為(r,t),寫出粒子幾率守恒的微分表達(dá)式。22量子力學(xué)的波函數(shù)與經(jīng)典的波場(chǎng)有何本質(zhì)性的區(qū)別？答: 量子力學(xué)的波函數(shù)是一種概率波，沒有直接可測(cè)的物理意義，它的模方表示概率，才有可測(cè)的意義；經(jīng)典的波場(chǎng)代表一種物理場(chǎng)，有直接可測(cè)的物理意義。23什么是量子力學(xué)中的定態(tài)？它有什么特征？24設(shè)為歸一化的動(dòng)量表象下的波函數(shù)，寫出的物理意義。25設(shè)質(zhì)量為粒子處于如下勢(shì)壘中 若U0>0，E>0，

8、求在x=x0處的反射系數(shù)和透射系數(shù)。26設(shè)質(zhì)量為粒子沿x軸正方向射向如下勢(shì)壘 若V0>0，E>0，求在x=x0處的反射系數(shù)和透射系數(shù)。27一個(gè)粒子的波函數(shù)為 求：歸一化常數(shù)A；畫出與關(guān)系圖，并求粒子出現(xiàn)最大幾率的點(diǎn)。在區(qū)間找到粒子的幾率。在和時(shí)的幾率。的平均值。28，為單位矩陣，則算符的本征值為_。29自由粒子體系，_守恒；中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子_守恒。30力學(xué)量算符應(yīng)滿足的兩個(gè)性質(zhì)是 。厄密算符的本征函數(shù)具有 。第三章算符: 作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)，量子力學(xué)中的算符是作用在波函數(shù)上的運(yùn)算符號(hào)。厄密算符的定義：如果算符滿足下列等式，則稱為厄密算符。式中和為任意波函數(shù)

9、，x代表所有的變量，積分范圍是所有變量變化的整個(gè)區(qū)域。 推論：量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄密算符。厄密算符的性質(zhì)：厄密算符的本征值必是實(shí)數(shù)。厄密算符的屬于不同本征值的兩個(gè)本征函數(shù)相互正交。簡(jiǎn)并：對(duì)應(yīng)于一個(gè)本征值有一個(gè)以上本征函數(shù)的情況。 簡(jiǎn)并度：對(duì)應(yīng)于同一個(gè)本征值的本征函數(shù)的數(shù)目。氫原子的電離態(tài)：氫原子中的電子脫離原子的束縛，成為自由電子的狀態(tài)。電離能：電離態(tài)與基態(tài)能量之差氫原子中在半徑r到r+dr的球殼內(nèi)找到電子的概率是： 在方向(，)附近立體角d內(nèi)的概率是：兩函數(shù)1和2正交的條件是：式中積分是對(duì)變量變化的全部區(qū)域進(jìn)行的，則稱函數(shù)1和2相互正交。正交歸一系：滿足正交條件的歸一化本征函數(shù)k

10、或l。 厄密算符本征波函數(shù)的完全性：如果n(r)是厄密算符的正交歸一本征波函數(shù)，n是本征值，則任一波函數(shù)(r)可以按n(r)展開為級(jí)數(shù)的性質(zhì)。或者說(shuō)n(r)組成完全系。算符與力學(xué)量的關(guān)系：當(dāng)體系處于算符的本征態(tài)時(shí)，力學(xué)量F有確定值，這個(gè)值就是算符在態(tài)中的本征值。力學(xué)量在一般的狀態(tài)中沒有確定的數(shù)值，而有一系列的可能值，這些可能值就是表示這個(gè)力學(xué)量的算符的本征值。每個(gè)可能值都以確定的幾率出現(xiàn)。算符對(duì)易關(guān)系： 。可對(duì)易算符：如果，則稱算符與是可對(duì)易的；不對(duì)易算符：如果，則稱算符與是不對(duì)易的。兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件：定理1：如果兩個(gè)算符有一組共同本征函數(shù)n，而且n組成完全系，則算符對(duì)易。 定理2：

11、如果兩個(gè)算符對(duì)易，則這兩個(gè)算符有組成完全系的共同本征函數(shù)。 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：當(dāng)兩個(gè)算符不對(duì)易時(shí)，它們不能同時(shí)有確定值，量子力學(xué)中力學(xué)量運(yùn)動(dòng)守恒定律形式是： 量子力學(xué)中的能量守恒定律形式是：空間反演：把一個(gè)波函數(shù)的所有坐標(biāo)自變量改變符號(hào)(如rr)的運(yùn)算。宇稱算符：表示空間反演運(yùn)算的算符。宇稱守恒：體系狀態(tài)的宇稱不隨時(shí)間改變。一維諧振子處在基態(tài)，求：(1) 勢(shì)能的平均值； (2) 動(dòng)能的平均值； (3) 動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。證明下列關(guān)系式：, 量子力學(xué)中的力學(xué)量用什么算符表示？為什么？力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是什么形式？表示力學(xué)量的厄密算符的所有本征函數(shù)構(gòu)成 ；力學(xué)量的取值范圍就是該算符的所有 。

12、厄密算符有什么性質(zhì)？試證明厄密算符的本征值必是實(shí)數(shù)。試證明厄密算符的屬于不同本征值的兩個(gè)本征函數(shù)相互正交。21. 證明算符關(guān)系： 22. 試證明算符是厄密算符。23. 寫出角動(dòng)量分量和之間的對(duì)易關(guān)系。24. 是的可微函數(shù)，證明：25. 各為厄密算符，試證明：也是厄密算符的條件是對(duì)易。26. 粒子在寬度為a的非對(duì)稱一維無(wú)限深勢(shì)阱中，其本征能量和本征波函數(shù)為： 當(dāng)體系處于狀態(tài) 時(shí)（A是歸一化常數(shù)），證明：；27. 氫原子處在基態(tài)，求： (1) r的平均值； (2) 勢(shì)能的平均值 (3) 動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。28. 一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是 求：（1） 粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；（2）粒子的平均動(dòng)量。（利

13、用公式 ）29. 設(shè)氫原子處在狀態(tài)試求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量z 分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。30. 量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)展開：，寫出展開式系數(shù)的表達(dá)式。31. 設(shè)粒子的波函數(shù)為A給出在該態(tài)中粒子動(dòng)量的可能測(cè)量值及相應(yīng)的幾率振幅；B求出幾率最大的動(dòng)量值。32. 力學(xué)量算符在自身表象中的表示是一個(gè) 矩陣；同一個(gè)力學(xué)量算符在不同表象中的表示通過(guò)一個(gè) 矩陣相聯(lián)系。33. 設(shè)一力學(xué)量為，求的本征值和本征函數(shù)。34. 電子在均勻電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，哈密頓量為，試判斷 各量中哪些是守恒量，為什么？第四章基底：設(shè) e1, e2, e3 為線性無(wú)關(guān)

14、的三個(gè)向量，空間內(nèi)任何向量 v 必是e1, e2, e3 的線性組合，則e1, e2, e3 稱為空間的基底。正交規(guī)范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的長(zhǎng)度等于1，這樣的基底叫做正交規(guī)范基底。希耳伯特空間：如果把本征波函數(shù)m看成類似于幾何學(xué)中的一個(gè)矢量(這就是波函數(shù)有時(shí)稱為態(tài)矢量或態(tài)矢的原因)，則波函數(shù)的集合m構(gòu)成的一個(gè)線性空間。表象：量子力學(xué)中，態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式。設(shè)已知在和的共同表象中，算符和的矩陣分別為求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)。第五章斯塔克效應(yīng)：在外電場(chǎng)中，原子光譜產(chǎn)生分裂的現(xiàn)象。分別寫出非簡(jiǎn)并態(tài)的一級(jí)、二級(jí)能量修正表達(dá)式。周期微擾產(chǎn)生躍遷的條件是：，說(shuō)明只有當(dāng)外界微

15、擾含有頻率時(shí)，體系才能從態(tài)躍遷到態(tài)，這時(shí)體系吸收或發(fā)射的能量是，這表明周期微擾產(chǎn)生的躍遷是一個(gè)共振躍遷。光的吸收現(xiàn)象：在光的照射下，原子可能吸收光的能量由較低的能級(jí)躍遷到較高的能級(jí)的現(xiàn)象。原子的受激輻射(躍遷)現(xiàn)象：在光的照射下，原子從較高的能級(jí)躍遷到較低的能級(jí)而放出光的現(xiàn)象。原子的自發(fā)輻射(躍遷)現(xiàn)象：在無(wú)光照射時(shí)，處于激發(fā)態(tài)的原子躍遷到較低能級(jí)而發(fā)光的現(xiàn)象。自發(fā)發(fā)射系數(shù)：表示原子在單位時(shí)間內(nèi)，由能級(jí)自發(fā)躍遷到能級(jí)，并發(fā)射出能量為的光子的幾率。受激發(fā)射系數(shù)：作用于原子的光波在頻率范圍內(nèi)的能量密度是，則在單位時(shí)間內(nèi)，原子由能級(jí)受激躍遷到能級(jí)、并發(fā)射出能量為的光子的幾率是。吸收系數(shù)：原子由低能級(jí)

16、躍遷到高能級(jí)、并吸收能量為的光子的幾率是。給出躍遷的黃金規(guī)則公式，簡(jiǎn)單說(shuō)明式中各個(gè)因子的含義。在H0表象中，若哈密頓算符的矩陣形式為： 其中。利用微擾理論求能量至二級(jí)近似。 設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)只有兩個(gè)能級(jí)E01及E02，現(xiàn)在受到微擾的作用。微擾矩陣元為; a, b都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級(jí)修正值。質(zhì)量為的粒子處于勢(shì)能中。假設(shè)它又經(jīng)受微擾，試求基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)能量的一級(jí)修正。一粒子在的一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，若微擾為求近似到一級(jí)修正的粒子能量。一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子受到微擾的作用，求能量的一級(jí)修正。已知在表象中，體系的哈密頓為其中a,b為小量，a為實(shí)數(shù)，求近似到二級(jí)修正的能量值。一粒子在

17、一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，若微擾為b為小量，求近似到一級(jí)修正的粒子能量。微擾理論適用的條件和情況。第七章斯特恩-革拉赫實(shí)驗(yàn)證明電子存在自旋理由。塞曼效應(yīng)：在外磁場(chǎng)中，每一條光譜線劈裂成一組相鄰譜線的現(xiàn)象。簡(jiǎn)單(正常)塞曼效應(yīng)：無(wú)外磁場(chǎng)時(shí)的一條光譜線，在磁場(chǎng)中將分裂為三條光譜線。產(chǎn)生的條件是：當(dāng)外磁場(chǎng)足夠大時(shí)，自旋和軌道運(yùn)動(dòng)間相互作用可以忽略。復(fù)雜(反常)塞曼效應(yīng)：無(wú)外磁場(chǎng)時(shí)的一條光譜線，在磁場(chǎng)中將分裂為更多條光譜線。產(chǎn)生的條件是：在弱外磁場(chǎng)中，必須考慮自旋和軌道運(yùn)動(dòng)間相互作用。兩個(gè)電子自旋角動(dòng)量耦合的自旋總角動(dòng)量S：，所以兩個(gè)電子自旋角動(dòng)量耦合的自旋總角動(dòng)量只能有兩個(gè)可能值。兩個(gè)電子軌道角動(dòng)量耦合

18、的軌道總角動(dòng)量L：對(duì)于兩個(gè)電子，就有幾個(gè)可能的軌道總角動(dòng)量。電子自旋角動(dòng)量與軌道角動(dòng)量耦合為一個(gè)總角動(dòng)量J1：每個(gè)電子只有兩個(gè)J1值。LS耦合總角動(dòng)量J：jj耦合總角動(dòng)量J：價(jià)電子：原子最外層的電子。原子的化學(xué)性質(zhì)以及光譜特性都決定于價(jià)電子。內(nèi)層電子：原子中除價(jià)電子外的剩余電子。原子實(shí)：原子核與內(nèi)層電子組成一個(gè)完整而穩(wěn)固的結(jié)構(gòu)。電子組態(tài)：價(jià)電子所處的各種狀態(tài)。原子態(tài)：原子中電子體系的狀態(tài)。原子態(tài)符號(hào)：用來(lái)描述原子狀態(tài)的符號(hào)。原子態(tài)符號(hào)規(guī)則：用軌道總量子數(shù)l、自旋總量子數(shù)s和總角動(dòng)量量子數(shù)j表示軌道總量子數(shù)l=0,1,2,···，對(duì)應(yīng)的原子態(tài)符號(hào)為S,P,D,F,H

19、,I,K,L,···原子態(tài)符號(hào)左上角的數(shù)碼表示重?cái)?shù)，大小為2s +1,表示能級(jí)的個(gè)數(shù)。原子態(tài)符號(hào)右下角是j值 ，表示能級(jí)對(duì)應(yīng)的j值 。形式為：光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)：用分辨率足夠高的儀器觀察類氫原子的光譜線，會(huì)發(fā)現(xiàn)每一條光譜線并不是簡(jiǎn)單的一條線，而是由二條或三條線組成的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)稱為光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。原子態(tài)能級(jí)的排序(洪特定則)： (1)從同一電子組態(tài)形成的、具有相同L值的能級(jí)中，那重?cái)?shù)最高的，即S值最大的能級(jí)位置最低； (2)從同一電子組態(tài)形成的、具有不同L值的能級(jí)中，那具有最大L值的位置最低。輻射躍遷的普用選擇定則：1、選擇定則：原子光譜表明，原子中電子的躍遷僅發(fā)生

20、在滿足一定條件的狀態(tài)之間，這些條件稱為選擇定則。2、原子的宇稱：如果原子中各電子的l量子數(shù)相加，得到偶數(shù)，則原子處于偶宇稱狀態(tài)；如果是奇數(shù)，則原子處于奇宇稱狀態(tài)。3、普遍的選擇定則：躍遷只能發(fā)生在不同宇稱的狀態(tài)間，偶宇稱到奇宇稱，或奇宇稱到偶宇稱。電子能否有躍遷首先要考慮這一條，然后按照耦合類型再有以下定則。LS耦合選擇定則：，要求單一態(tài)電子只能躍遷到單一態(tài)，三重態(tài)電子只能躍遷到三重態(tài)。 ，當(dāng)時(shí)，要考慮宇稱奇偶性改變的要求。 ，的躍遷是禁止的。jj耦合選擇定則：，的躍遷是禁止的。全同粒子：質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同微觀粒子。全同粒子的特性：全同粒子具有不可區(qū)分性，只有當(dāng)全同粒子的波函數(shù)

21、完全不重疊時(shí)，才是可以區(qū)分的。21.全同性原理: 在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。22.對(duì)稱波函數(shù)：設(shè)qi表示第i個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋，(q1,qi,qj,t)表示體系的波函數(shù)。如果兩粒子互換后波函數(shù)不變，則是q的對(duì)稱波函數(shù)。23.反對(duì)稱波函數(shù)：設(shè)qi表示第i個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋，(q1,qi,qj,t)表示體系的波函數(shù)。如果兩粒子互換后波函數(shù)變號(hào)，則是q的反對(duì)稱波函數(shù)。24.對(duì)稱性守恒原理：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱(反對(duì)稱)的狀態(tài)，則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱(反對(duì)稱)的狀態(tài)上。25.費(fèi)密子：自旋為或奇數(shù)倍