實驗一：低通采樣定理和內(nèi)插與抽取實現(xiàn)

1、實驗一：低通采樣定理和內(nèi)插與抽取實現(xiàn)一 實驗?zāi)康?. 連續(xù)信號和系統(tǒng)的表示方法，以及坊真方法。2. 用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號采用與重構(gòu)的方法，3. 采樣信號的插值和抽取等重采樣實現(xiàn)方法。4. 用時域采樣信號重構(gòu)連續(xù)時域信號的原理和方法。5. 用MATLAB繪圖函數(shù)表示信號的基本方法，實驗數(shù)據(jù)的可視化表示。二 原理1 、時域抽樣定理令連續(xù)信號xa(t)的傅里葉變換為Xa(j),抽樣脈沖序列p(t)傅里葉變換為P(j),抽樣后的信號x(t)的傅里葉變換為X(j)若采用均勻抽樣,抽樣周期Ts,抽樣頻率為s=2fs,由前面分析可知:抽樣的過程可以通過抽樣脈沖序列p(t)與連續(xù)信號xa(t)相乘來完成

2、,即滿足:x(t)=xa(t) p(t)，又周期信號f(t)傅里葉變換為： 故可以推得p(t)的傅里葉變換為:其中:根據(jù)卷積定理可知:得到抽樣信號x(t)的傅里葉變換為:其表明:信號在時域被抽樣后,他的頻譜X(j)是連續(xù)信號頻譜X(j)的形狀以抽樣頻率為間隔周期重復(fù)而得到,在重復(fù)過程中幅度被p(t)的傅里葉級數(shù)Pn加權(quán)。因為Pn只是n的函數(shù),所以X(j)在重復(fù)的過程中不會使其形狀發(fā)生變化。假定信號x(t)的頻譜限制在-m+m的范圍內(nèi), 若以間隔Ts對xa(t)進行抽樣,可知抽樣信號X(t)的頻譜X(j)是以s為周期重復(fù)。顯然,若在抽樣的過程中s<2m,則X(j)將發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象,只有在

3、抽樣的過程中滿足s>=2m條件,X(j)才不會產(chǎn)生頻譜的混疊,接收端完全可以由x(t)恢復(fù)原連續(xù)信號xa(t),這就是低通信號抽樣定理的核心內(nèi)容。2、信號的重建從頻域看,設(shè)信號最高頻率不超過折疊頻率: Xa(j)=Xa(j) |<s/2Xa(j)=0 |>s/2則理想取樣后的頻譜就不會產(chǎn)生混疊,故有: 讓取樣信號x(t)通過一帶寬等于折疊頻率的理想低通濾波器:H(j)=T |<s/2H(j)=0 |>s/2濾波器只允許通過基帶頻譜,即原信號頻譜,故:Y(j)=X(j)H(j)=Xa(j)因此在濾波器的輸出得到了恢復(fù)的原模擬信號:y(t)=xa(t)從時域上看,上述

4、理想的低通濾波器的脈沖響應(yīng)為:根據(jù)卷積公式可求得理想低通濾波器的輸出為:由上式顯然可得:則:上式表明只要滿足取樣頻率高于兩倍信號最高頻率,連續(xù)時間函數(shù)xa(t)就可用他的取樣值xa(nT)來表達而不損失任何信息，這時只要把每一個取樣瞬時值與內(nèi)插函數(shù)式相乘求和即可得出xa(t),在每一取樣點上,由于只有該取樣值所對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)式不為零,所以各個取樣點上的信號值不變。三 內(nèi)容1.連續(xù)時間信號線性濾波實現(xiàn)設(shè)計一個Butterworth模擬帶通濾波器，設(shè)計指標為：通帶頻率：1000- 2000Hz，兩側(cè)過渡帶寬500Hz，通帶波紋1dB，阻帶衰減100dB。假設(shè)一個信號，其中f1=100Hz,f2=1

5、500Hz,f3=2900Hz。信號的采樣頻率為10000Hz。試將原信號與通過該濾波器的模擬信號進行比較。參考程序如下：wp=1000 2000*2*pi;ws=500 2500*2*pi;Rp=1;Rs=100; %濾波器設(shè)計參數(shù)，對于給定Hz應(yīng)乘以2N,Wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s'); %求得濾波器的最小階數(shù)和截止頻率 w=linspace(1,3000,1000)*2*pi;   %設(shè)置繪制頻率響應(yīng)的頻率點b,a=butter(N,Wn,'s');    %設(shè)計模擬But

6、terworth濾波器H=freqs(b,a,w);    %計算給定頻率點的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H); %計算幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)plot(w/(2*pi),20*log10(magH);  %以頻率為橫坐標繪制幅頻響應(yīng)xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅/dB');title('Butterworth模擬帶通濾波器');hold on;plot(1000 1000,ylim,'r');plot(2000 2000,ylim

7、,'r');%繪通帶邊界grid onfigure(2)dt=1/10000;  %模擬信號采樣間隔f1=100;f2=1500;f3=2900;%輸入信號的三個頻率成分t=0:dt:0.04;  %給定模擬時間段x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t); %輸入信號H=tf(b,a);     %濾波器在MATLAB系統(tǒng)中的表示y,t1=lsim(H,x,t);   %模擬輸出subplot(2,1,1),plot(t,x),ti

8、tle('輸入信號') %繪出輸入信號subplot(2,1,2),plot(t1,y)   %繪制輸出信號title('輸出信號'),xlabel('時間/s')2.理想矩形濾波器的時域表示clear; clc;fh=100;for I=1:4k=I; fs=k*2*fh;N=10*k; n=-N:N;dt=1/fs; T=N*dt;t=-T:dt:T;%h=2*fh/fs*sinc(n/k);%h=sinc(n/k);subplot(2,2,I)plot(t,h); hold on；stem(t,h); hold on;p

9、lot(t,zeros(length(t),'linewidth',3);title('fs/2fh=k,k=',num2str(k),'fontsize',28);axis('off')end3. 連續(xù)時間信號的采樣和重建、分別用150HZ及300HZ對信號采樣源信號為：fa=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1)，用150Hz的頻率對f(t)進行采樣，其采樣圖如圖1所示；用300Hz的頻率對f(t)進行采樣，其采樣圖如圖2所示。程序如下：fs1=150

10、;t1=-0.1:1/fs1:0.1;fa=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1);figure(1);plot(t1,fa),xlabel('fs1=150Hz時,fa采樣時域圖');hold off;fs2=300;t2=-0.1:1/fs2:0.1;fb=5*sin(2*pi*40*t2)+1.8*sin(4*pi*40*t2)+0.8*sin(5*pi*40*t2);figure(2);plot(t2,fb),xlabel('fs2=300Hz時,fb采樣時域圖'); 圖1 15

11、0HZ采樣頻率對信號采樣圖圖2 300HZ采樣頻率對信號采樣圖、對信號進行快速離散傅里葉變換將兩個采樣信號進行快速離散傅里葉變換(FFT),用150Hz的頻率對f(t)進行采樣，其采樣后快速傅立葉變換頻譜圖圖3所示；用300Hz的頻率對f(t)進行采樣，其采樣后快速傅立葉變換頻譜圖圖4所示。程序如下：f=40;fs=150;N=300;k=0:N-1;t=-0.1:1/fs:0.1;w1=150*k/N;fa=5*sin(2*pi*f*t)+1.8*sin(4*pi*f*t)+0.8*sin(5*pi*f*t);xfa=fft(fa,N);xf1=abs(xfa);figure(1);plot

12、(w1,xf1),xlabel('fs=150Hz時,fa經(jīng)fft后頻譜圖.單位：Hz');f=40;fs=300;N=300;k=0:N-1;t=-0.1:1/fs:0.1;w2=300*k/Nfb=5*sin(2*pi*f*t)+1.8*sin(4*pi*f*t)+0.8*sin(5*pi*f*t);xfb=fft(fb,N);xf2=abs(xfb);figure(2);plot(w2,xf2),xlabel('fs=300Hz時,fb經(jīng)fft后頻譜圖.單位：Hz ');圖3 150HZ采樣后經(jīng)FFT后頻譜圖 圖4 300HZ采樣后經(jīng)FFT后頻譜圖、信號的

13、重建 我們可以通過利用內(nèi)插法把原信號從采樣信號中恢復(fù)出來，觀察信號在滿足怎樣的采樣條件下能夠恢復(fù)為原信號，圖5和圖6分別為恢復(fù)后的原信號。程序如下： Wm=180*pi;Wc=Wm;fs1=150;Ws=2*pi*fs1;n=-800:800;nTs1=n/fs1;fa=5.1*sin(2*pi*40*nTs1)+1.8*sin(4*pi*40*nTs1)+0.8*sin(5*pi*40*nTs1);Dt=1/fs1;t1=-0.1:Dt:0.1;fa1=fa/fs1*Wc/pi*sinc(Wc/pi)*(ones(length(nTs1),1)*t1-nTs1'*ones(1,len

14、gth(t1); figure(1);plot(t1,fa1);axis(-0.1 0.1 -8 8);xlabel('fs=150Hz時,fa利用內(nèi)插由樣本重建原信號圖.');Wm=180*pi;Wc=Wm;fs2=300;Ws=2*pi*fs2;n=-800:800;nTs2=n/fs2;fb=5.1*sin(2*pi*40*nTs2)+1.8*sin(4*pi*40*nTs2)+0.8*sin(5*pi*40*nTs2);Dt=1/fs2;t1=-0.1:Dt:0.1;fb1=fb/fs2*Wc/pi*sinc(Wc/pi)*(ones(length(nTs2),1)*t

15、1-nTs2'*ones(1,length(t1); figure(2);plot(t1,fb1);axis(-0.1 0.1 -8 8);xlabel('fs=300Hz時,fb利用內(nèi)插由樣本重建原信號圖.');grid;圖5 150HZ采樣后的信號的重建信號圖6 300HZ采樣后的信號的重建信號4.采樣信號的抽取和插值t = 0:.00025:1; % Time vectorx = sin(2*pi*30*t) + sin(2*pi*60*t);figure(1)subplot(211)stem(t(1:120),x(1:120);hold ony = decima

16、te(x,4);% View the original and decimated signals: stem(x(1:120), axis(0 120 -2 2) % Original signaltitle('Original Signal')subplot(212)stem(y(1:30) % Decimated signaltitle('Decimated Signal')%File_C3:UpSampl.m%該程序仿真通過零階保持內(nèi)插對信號進行上抽樣，分析上抽樣對信號頻譜的影響clear allclcf0=0.06; %信號數(shù)字頻率N=256;dt=1

17、; %抽樣時間t=0:N-1*dt;sig=sin(2*pi*f0*t);I=4; %內(nèi)插因子N1=N*I;Addsig(1:N1)=0;for k=1:N for i=1:I Addsig(I*k-I+i)=sig(k); %對原始數(shù)字信號補零內(nèi)插，抽樣時間變?yōu)閐LI endendfigure(1)subplot(2,1,1)t2=0:N1-1;stem(t,sig);title('Original')xlabel('Sample time /n')axis(0 19 -1.2 1.2)subplot(2,1,2)stem(Addsig);axis(0 80

18、-1.2 1.2)xlabel('Sample time /n')title('Signal output of Zero-order hold interpolator')Am=fft(sig);AddAm=fft(Addsig);f1=0:2/N:2-1/N;f2=0:2/N1:2-1/N1;figure(2)subplot(2,1,1)plot(f1,20*log10(abs(Am);axis(0 1 -20 60);ylabel('Amplitude(dB)')xlabel('omega/ pi')title('A

19、mplitude Spectrum')subplot(2,1,2)plot(f2,20*log10(abs(AddAm)axis(0 1 -20 60);ylabel('Amplitude(dB)')xlabel('omega/ pi')title('Amplitude Spectrum of Zero-order hold interpolation signal')b,a=butter(20,1/I); %設(shè)計截止頻率為pi/l，階數(shù)為10的低通巴特沃思濾波器y=filter(b,a,Addsig); %對補零后的信號進行低通濾波，完

20、成上抽樣過程UpAm=fft(y);figure(3)subplot(2,1,1)plot(y);axis(0 1023 -1.2 1.2)title('output signal out of Interpolator')xlabel('Sample time /n')subplot(2,1,2)plot(f2,20*log10(abs(UpAm)axis(0 1 -30 50);ylabel('Amplitude(dB)')xlabel('omega/ pi')%File_C3:UpSampl.m%該程序仿真通過零階保持內(nèi)插對

21、信號進行上抽樣，分析上抽樣對信號頻譜的影響clear allclcf0=0.06; %信號數(shù)字頻率N=256;dt=1; %抽樣時間t=0:N-1*dt;sig=sin(2*pi*f0*t);I=4; %內(nèi)插因子N1=N*I;Addsig(1:N1)=0;for k=1:N for i=1:I Addsig(I*k-I+i)=sig(k); %對原始數(shù)字信號補零內(nèi)插，抽樣時間變?yōu)閐LI endendfigure(1)subplot(2,1,1)t2=0:N1-1;stem(t,sig);title('Original')xlabel('Sample time /n

22、9;)axis(0 19 -1.2 1.2)subplot(2,1,2)stem(Addsig);axis(0 80 -1.2 1.2)xlabel('Sample time /n')title('Signal output of Zero-order hold interpolator')Am=fft(sig);AddAm=fft(Addsig);f1=0:2/N:2-1/N;f2=0:2/N1:2-1/N1;figure(2)subplot(2,1,1)plot(f1,20*log10(abs(Am);axis(0 1 -20 60);ylabel('Amplitude(dB)')xlabel('