平面向量數(shù)量積的運(yùn)算(附答案)參考

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 平面向數(shù)量積的計算一、選擇題（共9小題）1、（2011遼寧）若a，b，c為單位向量，且ab=0，（ac）（bc）0，則a+bc的最大值為（）A、21B、1C、2D、22、在邊長為1的等邊ABC中，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，則ab+bc+ca=（）A、32B、0C、32D、33、若a=（x，1），b=（2，3x），且x0那么aba2+b2的取值范圍是（）A、（，22）B、0，24C、24，24D、22，+）4、在ABC中，a=5，b=8，C=60°，則BCCA的值為（）A、10B、20C、10D、205、在邊長為2的正三角形ABC中

2、，設(shè)AB=c，BC=a，CA=b，則ab+bc+ca等于（）A、0B、1C、3D、36、如圖，P為AOB所在平面上一點(diǎn)，向量OA=a，OB=b，且P在線段AB的垂直平分線上，向量OP=C若|a|=3，|b|=2，則c（ab）的值為（）A、5B、3C、52D、327、ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，滿足OA+OB+OC=0，且OAOB=OBOC則ABC一定是（）A、鈍角三角形B、直角三角形C、等邊三角形D、等腰三角形8、設(shè)a，b，c均為單位向量，且ab，則（a+c）（b+c）的最小值為（）A、1B、12C、22D、29、設(shè)向量m=（sinB，3cosB），n=（3cosC，sinC），且A、B、C分別是ABC

3、的三個內(nèi)角，若mn=1+cos（B+C），則A=（）A、56B、3C、23D、6二、填空題（共10小題）10、已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a+3b|等于_11、（2008江西）如圖，正六邊形ABCDEF中，有下列四個命題：（A）AC+AF=2BC；（B）AD=2AB+2AF；（C）ACAD=ADAB；（D）（ADAF）EF=AD（AFEF）其中真命題的代號是_（寫出所有真命題的代號）12、在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BAD=60°，E為CD的中點(diǎn)，則AEBD=_13、如圖，OAB中|OA|=3，|OB|=2，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分

4、線上，記向量OA=a，OB=b，OP=c，則c（ab）的值為_14、在ABC中，若C=90°，AC=BC=4，則BABC=_15、如圖，向量OA與x軸方向相同，向量OB與x軸正半軸的夾角為23，OA=2，OB=1，且OA+OB+OC=0，則OC=_16、ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，點(diǎn)D是邊AC上的點(diǎn)，且AD=13DC，則BDAC=_17、已知a，b是平面內(nèi)的兩個單位向量，設(shè)向量c=a，且|c|1，a（bc）=0，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_18、如圖，A，B，C是直線l上三點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，已知AB=BC=a，APB=90°，BPC=45°，記PBA=，則

5、PAPC=_（用a表示）19、ABAC可以看成向量AB在向量AC上的投影與AC的乘積已知點(diǎn)B，C在以AD為直徑的圓上，若AB=2，AC=3，則ADBC的值為_答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共9小題）1、（2011遼寧）若a，b，c為單位向量，且ab=0，（ac）（bc）0，則a+bc的最大值為（）A、21B、1C、2D、2考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的模。專題：計算題；整體思想。分析：根據(jù)（ac）（bc）0及a，b，c為單位向量，可以得到c（a+b）1，要求a+b+c的最大值，只需求a+b+c2的最大值即可，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則展開即可求得解答：解：（ac）（bc）0，即abc（a+b）+

6、c20，又a，b，c為單位向量，且ab=0，c（a+b）1，而a+bc2=a2+b2+b2+2ab2c（a+b）=32c（a+b）32=1a+bc的最大值為1故選B點(diǎn)評：此題是個中檔題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和模的計算問題，特別注意有關(guān)模的問題一般采取平方進(jìn)行解決，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析、解決問題的能力2、在邊長為1的等邊ABC中，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，則ab+bc+ca=（）A、32B、0C、32D、3考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。分析：直接應(yīng)用數(shù)量積進(jìn)行計算即可得到答案解答：解：在邊長為1的等邊ABC中，a=b=c=1，則ab+bc+ca=abcosa，b+bccosb，c+ca

7、cosc，a=32故選A點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，注意向量的夾角，是基礎(chǔ)題3、若a=（x，1），b=（2，3x），且x0那么aba2+b2的取值范圍是（）A、（，22）B、0，24C、24，24D、22，+）考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；函數(shù)的值域。專題：計算題；綜合題；分類討論。分析：化簡aba2+b2，當(dāng)x0時利用基本不等式推出它的范圍即可解答：解：aba2+b2=2x+3xx2+1+4+9x2=x2x2+1當(dāng)x0時，上式=11x+2x122=24（等號成立的條件是x=22）因?yàn)閤0，aba2+b2的取值范圍0，24故選B點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)的值域，基本不等式的

8、應(yīng)用，是基礎(chǔ)題4、在ABC中，a=5，b=8，C=60°，則BCCA的值為（）A、10B、20C、10D、20考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計算題。分析：由數(shù)量積的定義BC與CA的模分別是a和b的長度，而BC與CA的夾角為角C的補(bǔ)角，即180°C=180°60°=120°，代入計算即可解答：解：由題意可知BC與CA的夾角為180°C=180°60°=120°，BCCA=BCCAcos1200=5×8×（12）=20故選D點(diǎn)評：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基本題型、基本運(yùn)算的考查，在

9、解題中，要弄清兩向量的夾角5、在邊長為2的正三角形ABC中，設(shè)AB=c，BC=a，CA=b，則ab+bc+ca等于（）A、0B、1C、3D、3考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。分析：由向量數(shù)量積的定義ab=abcosa，b可知要求ab+bc+ca需求出|a|，|b|，|c|以及這三個向量之間的夾角然后代入計算即可求解解答：解：在邊長為2的正三角形ABC中，設(shè)AB=c，BC=a，CA=b|a|=|b|=|c|=2且a，b=150°，b，c=30°，c，a=150°由向量數(shù)量積的定義可得則ab+bc+ca=2×2×cos150°+2×

10、2×cos30°+2×2×cos150°=14=3故選D點(diǎn)評：本題主要考察了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算解題的關(guān)鍵是要根據(jù)邊長為2的正三角形ABC求出|a|=|b|=|c|=2且a，b=150°，b，c=30°，c，a=150°而再求兩個向量的夾角時要時刻牢記需將這兩個向量平移到共起點(diǎn)然后再找夾角！6、如圖，P為AOB所在平面上一點(diǎn)，向量OA=a，OB=b，且P在線段AB的垂直平分線上，向量OP=C若|a|=3，|b|=2，則c（ab）的值為（）A、5B、3C、52D、32考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計算題。分析：直

11、接按照數(shù)量積的定義公式不易求解，c與（ab）夾角及模均不確定，建立平面直角坐標(biāo)系，也不易求解，注意到P在線段AB的垂直平分線上，若設(shè)AB中點(diǎn)為D，則OP=OD+OP，OD=12（OA+OB），且DPBA=0，代換轉(zhuǎn)化為OA，OB的運(yùn)算解答：設(shè)AB中點(diǎn)為D，則OP=OD+OP，OD=12（OA+OB），c（ab）=（OD+OP）BA=ODBA+DPBA=12（OA+OB）（OAOB）+0=12（a2b2）=12（94）=52故選C點(diǎn)評：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化計算能力向量數(shù)量積ab的計算常通過下列途徑：直接按照定義公式，求出兩向量的模及夾角余弦值，代入公式計算利用向量數(shù)量積的幾何意義，

12、整體求出bcos，即a在b方向上的投影，再與a相乘建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求值選擇一組基底，將有關(guān)向量用基向量表示，轉(zhuǎn)化為基向量間的運(yùn)算7、ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，滿足OA+OB+OC=0，且OAOB=OBOC則ABC一定是（）A、鈍角三角形B、直角三角形C、等邊三角形D、等腰三角形考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計算題；綜合題。分析：由OAOB=OBOC移向，利用數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得CAOB；由OA+OB+OC=0移向結(jié)合向量加法的平行四邊形法則可以判斷點(diǎn)O為ABC的重心，兩者結(jié)合即可判斷出ABC的形狀解答：解：由OAOB=OBOC可得（OAOC）OB=0即CAOB=0，所以CAO

13、B，即點(diǎn)O在邊AC的高線上；由OA+OB+OC=0得OA+OC=0B，設(shè)AC的中點(diǎn)為D，則OA+OC=2OD=0B，即點(diǎn)O在邊AC的中線上，所以ABC一定是等腰三角形故選D點(diǎn)評：本題考查向量的運(yùn)算在三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力8、設(shè)a，b，c均為單位向量，且ab，則（a+c）（b+c）的最小值為（）A、1B、12C、22D、2考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計算題；函數(shù)思想；方程思想。分析：結(jié)合題意，把a(bǔ)，b，c用坐標(biāo)的形式表示，從而把向量的最值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解解答：解：a，b，c均為單位向量，且ab，不妨設(shè)a=（1，0），b=（0，1），c=（cos，

14、sin），（a+c）（b+c）=cos2+sin2+cos+sin=1+（cos+sin）=1+2sin（+4），1sin（+4）1，12（a+c）（b+c）1+2，故選B點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)與方程思想，是中檔題9、設(shè)向量m=（sinB，3cosB），n=（3cosC，sinC），且A、B、C分別是ABC的三個內(nèi)角，若mn=1+cos（B+C），則A=（）A、56B、3C、23D、6考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：綜合題。分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡已知的等式，由A+B+C=，得到B+C=A，利用誘導(dǎo)公式得到sin（B+C）=sin

15、A，代入化簡后的式子中，得到一個關(guān)系式，記作，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到另一個關(guān)系式，記作，聯(lián)立，求出sinA和cosA的值，根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)解答：解：由A+B+C=，得到B+C=A，則mn=sinB3cosC+3cosBsinC=3sin（B+C）=1+cos（B+C），即3sinA=1cosA，變形得：3sinA+cosA=1，又sin2A+cos2A=1，由得：cosA=13sinA，把代入得：2sinA（2sinA3）=0，解得：sinA=0（舍去），sinA=32，將sinA=32代入得：cosA=132=12，又A（0，），則A=23故選C

16、點(diǎn)評：此題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系在求出sinA的值后，一定注意再求出cosA的值，由cosA的值為負(fù)數(shù)得到A為鈍角，這是學(xué)生容易出錯的地方二、填空題（共10小題）10、已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a+3b|等于13考點(diǎn)：向量的模；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計算題。分析：因?yàn)閍、b均為單位向量，且夾角為60°，所以可求出它們的模以及數(shù)量積，欲求|a+3b|，只需自身平方再開方即可，這樣就可出現(xiàn)兩向量的模與數(shù)量積，把前面所求代入即可解答：解；a，b均為單位向量，|a|=1，|b|=1又兩

17、向量的夾角為60°，ab=|a|b|cos60°=12|a+3b|=a2+（3b）2+6ab=1+9+3=13故答案為13點(diǎn)評：本題考察了單位向量，數(shù)量積的概念，以及向量的模的求法，屬于向量的綜合運(yùn)算11、（2008江西）如圖，正六邊形ABCDEF中，有下列四個命題：（A）AC+AF=2BC；（B）AD=2AB+2AF；（C）ACAD=ADAB；（D）（ADAF）EF=AD（AFEF）其中真命題的代號是A、B、D（寫出所有真命題的代號）考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義。專題：常規(guī)題型。分析：結(jié)合圖形，依據(jù)向量的基礎(chǔ)知識，逐一判斷即可得到結(jié)果解答：解：

18、AC+AF=AC+CD=AD=2BC，A對取AD的中點(diǎn)O，則AD=2AO=2AB+AF，B對設(shè)AB=1，則ACAD=3×2×cos6=3，而ADAF=2×1×cos3=1，C錯又ABAD=1×2×cos3=1=（AF）2，D對真命題的代號是A，B，D故選A，B，D點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，是基礎(chǔ)題12、在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BAD=60°，E為CD的中點(diǎn)，則AEBD=32考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計算題。分析：先根據(jù)兩個向量的數(shù)量積的定義，求出ABAD

19、的值，利用，AEBD=（AD+AB2）（ADAB）=AD212ABAD12AB2進(jìn)行運(yùn)算求值解答：解：由題意得ABAD=2×1×cos60°=1，AEBD=（AD+AB2）（ADAB）=AD212ABAD12AB2=1122=32，故答案為：32點(diǎn)評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式的應(yīng)用13、如圖，OAB中|OA|=3，|OB|=2，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，記向量OA=a，OB=b，OP=c，則c（ab）的值為52考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計算題。分析：利用c=b+BH+HP及c=a+AH+HP，求出c=HP+a+b2，代入式子并利用HP

20、（ab）=0進(jìn)行運(yùn)算解答：解：連接PA、PB，設(shè) AB的中點(diǎn)為H，則HP為線段AB的中垂線，HP（ab）=0，c=OP=OB+BH+HP=b+BH+HP，c=OP=OA+AH+HP=a+AH+HP 把相加可得c=HP+a+b2，c（ab）=（HP+a+b2）（ab）=0+a2b22=942=52OA OB點(diǎn)評：本題考查兩個向量加減法及其幾何意義，兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量數(shù)量積的運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想14、在ABC中，若C=90°，AC=BC=4，則BABC=16考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計算題。分析：利用向量垂直的充要條件得到CABC=0；利用向量的運(yùn)算法則將BA

21、用BC，CA表示，利用向量的運(yùn)算律求出BABC的值解答：解：C=90°CABC=0BA=BC+CABABC=（BC+CA）BC=BC2+CABC=16故答案為：16點(diǎn)評：本題考查向量垂直的充要條件、向量的運(yùn)算法則、向量的運(yùn)算律15、如圖，向量OA與x軸方向相同，向量OB與x軸正半軸的夾角為23，OA=2，OB=1，且OA+OB+OC=0，則OC=（32，32）考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計算題。分析：先求出A、B兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)OA+OB+OC=0，計算OC的坐標(biāo)解答：解：由題意可知：A（2，0），即向量OA=（2，0）；B（12，32），則向量OB=（12，32），OA+O

22、B+OC=0，OC=（OA+OB）=（32，32）故答案為：（32，32）點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，是基礎(chǔ)題16、ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，點(diǎn)D是邊AC上的點(diǎn)，且AD=13DC，則BDAC=174考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計算題。分析：利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出BDAC=（BA+AD）AC=21cosA+494余弦定理求出cosA代入可求得結(jié)果解答：解：由題意得 AD=14AC=74，BDAC=（BA+AD）AC=BAAC+ADAC=BAAC（cosA）+74×7=21cosA+494ABC中，由余弦定理得 25=9+

23、492×3×7cosA，cosA=3342，BDAC=21×3342+494=174，故答案為：174點(diǎn)評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，余弦定理的應(yīng)用，計算BAAC是本題得易錯點(diǎn)17、已知a，b是平面內(nèi)的兩個單位向量，設(shè)向量c=a，且|c|1，a（bc）=0，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（1，1）考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題：計算題。分析：本小題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的相關(guān)運(yùn)算問題，由a（bc）=0，變化式子為模和夾角的形式，整理出的表達(dá)式，根據(jù)夾角的范圍得到結(jié)果解答：解：a（bc）=0，c=a，baa2=0，abcos=a2且0，a，b是平面內(nèi)的兩個單位向量，=cos，|c|1，±1，實(shí)數(shù)的取值范圍是（1，1）故答案為（1，1）點(diǎn)評：本題是向量數(shù)量積的運(yùn)算，條件中給出兩