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文檔簡介
1、文檔供參考,可復(fù)制、編制,期待您的好評與關(guān)注! 平面向數(shù)量積的計算一、選擇題(共9小題)1、(2011遼寧)若a,b,c為單位向量,且ab=0,(ac)(bc)0,則a+bc的最大值為()A、21B、1C、2D、22、在邊長為1的等邊ABC中,設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,則ab+bc+ca=()A、32B、0C、32D、33、若a=(x,1),b=(2,3x),且x0那么aba2+b2的取值范圍是()A、(,22)B、0,24C、24,24D、22,+)4、在ABC中,a=5,b=8,C=60°,則BCCA的值為()A、10B、20C、10D、205、在邊長為2的正三角形ABC中
2、,設(shè)AB=c,BC=a,CA=b,則ab+bc+ca等于()A、0B、1C、3D、36、如圖,P為AOB所在平面上一點(diǎn),向量OA=a,OB=b,且P在線段AB的垂直平分線上,向量OP=C若|a|=3,|b|=2,則c(ab)的值為()A、5B、3C、52D、327、ABC內(nèi)有一點(diǎn)O,滿足OA+OB+OC=0,且OAOB=OBOC則ABC一定是()A、鈍角三角形B、直角三角形C、等邊三角形D、等腰三角形8、設(shè)a,b,c均為單位向量,且ab,則(a+c)(b+c)的最小值為()A、1B、12C、22D、29、設(shè)向量m=(sinB,3cosB),n=(3cosC,sinC),且A、B、C分別是ABC
3、的三個內(nèi)角,若mn=1+cos(B+C),則A=()A、56B、3C、23D、6二、填空題(共10小題)10、已知a、b均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|a+3b|等于_11、(2008江西)如圖,正六邊形ABCDEF中,有下列四個命題:(A)AC+AF=2BC;(B)AD=2AB+2AF;(C)ACAD=ADAB;(D)(ADAF)EF=AD(AFEF)其中真命題的代號是_(寫出所有真命題的代號)12、在平行四邊形ABCD中,已知AB=2,AD=1,BAD=60°,E為CD的中點(diǎn),則AEBD=_13、如圖,OAB中|OA|=3,|OB|=2,點(diǎn)P在線段AB的垂直平分
4、線上,記向量OA=a,OB=b,OP=c,則c(ab)的值為_14、在ABC中,若C=90°,AC=BC=4,則BABC=_15、如圖,向量OA與x軸方向相同,向量OB與x軸正半軸的夾角為23,OA=2,OB=1,且OA+OB+OC=0,則OC=_16、ABC中,AB=3,BC=5,CA=7,點(diǎn)D是邊AC上的點(diǎn),且AD=13DC,則BDAC=_17、已知a,b是平面內(nèi)的兩個單位向量,設(shè)向量c=a,且|c|1,a(bc)=0,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_18、如圖,A,B,C是直線l上三點(diǎn),P是直線l外一點(diǎn),已知AB=BC=a,APB=90°,BPC=45°,記PBA=,則
5、PAPC=_(用a表示)19、ABAC可以看成向量AB在向量AC上的投影與AC的乘積已知點(diǎn)B,C在以AD為直徑的圓上,若AB=2,AC=3,則ADBC的值為_答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(共9小題)1、(2011遼寧)若a,b,c為單位向量,且ab=0,(ac)(bc)0,則a+bc的最大值為()A、21B、1C、2D、2考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;向量的模。專題:計算題;整體思想。分析:根據(jù)(ac)(bc)0及a,b,c為單位向量,可以得到c(a+b)1,要求a+b+c的最大值,只需求a+b+c2的最大值即可,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則展開即可求得解答:解:(ac)(bc)0,即abc(a+b)+
6、c20,又a,b,c為單位向量,且ab=0,c(a+b)1,而a+bc2=a2+b2+b2+2ab2c(a+b)=32c(a+b)32=1a+bc的最大值為1故選B點(diǎn)評:此題是個中檔題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和模的計算問題,特別注意有關(guān)模的問題一般采取平方進(jìn)行解決,考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析、解決問題的能力2、在邊長為1的等邊ABC中,設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,則ab+bc+ca=()A、32B、0C、32D、3考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。分析:直接應(yīng)用數(shù)量積進(jìn)行計算即可得到答案解答:解:在邊長為1的等邊ABC中,a=b=c=1,則ab+bc+ca=abcosa,b+bccosb,c+ca
7、cosc,a=32故選A點(diǎn)評:本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,注意向量的夾角,是基礎(chǔ)題3、若a=(x,1),b=(2,3x),且x0那么aba2+b2的取值范圍是()A、(,22)B、0,24C、24,24D、22,+)考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;函數(shù)的值域。專題:計算題;綜合題;分類討論。分析:化簡aba2+b2,當(dāng)x0時利用基本不等式推出它的范圍即可解答:解:aba2+b2=2x+3xx2+1+4+9x2=x2x2+1當(dāng)x0時,上式=11x+2x122=24(等號成立的條件是x=22)因?yàn)閤0,aba2+b2的取值范圍0,24故選B點(diǎn)評:本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)的值域,基本不等式的
8、應(yīng)用,是基礎(chǔ)題4、在ABC中,a=5,b=8,C=60°,則BCCA的值為()A、10B、20C、10D、20考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:計算題。分析:由數(shù)量積的定義BC與CA的模分別是a和b的長度,而BC與CA的夾角為角C的補(bǔ)角,即180°C=180°60°=120°,代入計算即可解答:解:由題意可知BC與CA的夾角為180°C=180°60°=120°,BCCA=BCCAcos1200=5×8×(12)=20故選D點(diǎn)評:本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬基本題型、基本運(yùn)算的考查,在
9、解題中,要弄清兩向量的夾角5、在邊長為2的正三角形ABC中,設(shè)AB=c,BC=a,CA=b,則ab+bc+ca等于()A、0B、1C、3D、3考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。分析:由向量數(shù)量積的定義ab=abcosa,b可知要求ab+bc+ca需求出|a|,|b|,|c|以及這三個向量之間的夾角然后代入計算即可求解解答:解:在邊長為2的正三角形ABC中,設(shè)AB=c,BC=a,CA=b|a|=|b|=|c|=2且a,b=150°,b,c=30°,c,a=150°由向量數(shù)量積的定義可得則ab+bc+ca=2×2×cos150°+2×
10、2×cos30°+2×2×cos150°=14=3故選D點(diǎn)評:本題主要考察了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算解題的關(guān)鍵是要根據(jù)邊長為2的正三角形ABC求出|a|=|b|=|c|=2且a,b=150°,b,c=30°,c,a=150°而再求兩個向量的夾角時要時刻牢記需將這兩個向量平移到共起點(diǎn)然后再找夾角!6、如圖,P為AOB所在平面上一點(diǎn),向量OA=a,OB=b,且P在線段AB的垂直平分線上,向量OP=C若|a|=3,|b|=2,則c(ab)的值為()A、5B、3C、52D、32考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:計算題。分析:直
11、接按照數(shù)量積的定義公式不易求解,c與(ab)夾角及模均不確定,建立平面直角坐標(biāo)系,也不易求解,注意到P在線段AB的垂直平分線上,若設(shè)AB中點(diǎn)為D,則OP=OD+OP,OD=12(OA+OB),且DPBA=0,代換轉(zhuǎn)化為OA,OB的運(yùn)算解答:設(shè)AB中點(diǎn)為D,則OP=OD+OP,OD=12(OA+OB),c(ab)=(OD+OP)BA=ODBA+DPBA=12(OA+OB)(OAOB)+0=12(a2b2)=12(94)=52故選C點(diǎn)評:本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查轉(zhuǎn)化計算能力向量數(shù)量積ab的計算常通過下列途徑:直接按照定義公式,求出兩向量的模及夾角余弦值,代入公式計算利用向量數(shù)量積的幾何意義,
12、整體求出bcos,即a在b方向上的投影,再與a相乘建立平面直角坐標(biāo)系,利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求值選擇一組基底,將有關(guān)向量用基向量表示,轉(zhuǎn)化為基向量間的運(yùn)算7、ABC內(nèi)有一點(diǎn)O,滿足OA+OB+OC=0,且OAOB=OBOC則ABC一定是()A、鈍角三角形B、直角三角形C、等邊三角形D、等腰三角形考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:計算題;綜合題。分析:由OAOB=OBOC移向,利用數(shù)量積的運(yùn)算法則,可得CAOB;由OA+OB+OC=0移向結(jié)合向量加法的平行四邊形法則可以判斷點(diǎn)O為ABC的重心,兩者結(jié)合即可判斷出ABC的形狀解答:解:由OAOB=OBOC可得(OAOC)OB=0即CAOB=0,所以CAO
13、B,即點(diǎn)O在邊AC的高線上;由OA+OB+OC=0得OA+OC=0B,設(shè)AC的中點(diǎn)為D,則OA+OC=2OD=0B,即點(diǎn)O在邊AC的中線上,所以ABC一定是等腰三角形故選D點(diǎn)評:本題考查向量的運(yùn)算在三角形中的應(yīng)用,考查學(xué)生利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力8、設(shè)a,b,c均為單位向量,且ab,則(a+c)(b+c)的最小值為()A、1B、12C、22D、2考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:計算題;函數(shù)思想;方程思想。分析:結(jié)合題意,把a(bǔ),b,c用坐標(biāo)的形式表示,從而把向量的最值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解解答:解:a,b,c均為單位向量,且ab,不妨設(shè)a=(1,0),b=(0,1),c=(cos,
14、sin),(a+c)(b+c)=cos2+sin2+cos+sin=1+(cos+sin)=1+2sin(+4),1sin(+4)1,12(a+c)(b+c)1+2,故選B點(diǎn)評:本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)與方程思想,是中檔題9、設(shè)向量m=(sinB,3cosB),n=(3cosC,sinC),且A、B、C分別是ABC的三個內(nèi)角,若mn=1+cos(B+C),則A=()A、56B、3C、23D、6考點(diǎn):同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:綜合題。分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡已知的等式,由A+B+C=,得到B+C=A,利用誘導(dǎo)公式得到sin(B+C)=sin
15、A,代入化簡后的式子中,得到一個關(guān)系式,記作,根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到另一個關(guān)系式,記作,聯(lián)立,求出sinA和cosA的值,根據(jù)A的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)解答:解:由A+B+C=,得到B+C=A,則mn=sinB3cosC+3cosBsinC=3sin(B+C)=1+cos(B+C),即3sinA=1cosA,變形得:3sinA+cosA=1,又sin2A+cos2A=1,由得:cosA=13sinA,把代入得:2sinA(2sinA3)=0,解得:sinA=0(舍去),sinA=32,將sinA=32代入得:cosA=132=12,又A(0,),則A=23故選C
16、點(diǎn)評:此題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算,以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系在求出sinA的值后,一定注意再求出cosA的值,由cosA的值為負(fù)數(shù)得到A為鈍角,這是學(xué)生容易出錯的地方二、填空題(共10小題)10、已知a、b均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|a+3b|等于13考點(diǎn):向量的模;平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:計算題。分析:因?yàn)閍、b均為單位向量,且夾角為60°,所以可求出它們的模以及數(shù)量積,欲求|a+3b|,只需自身平方再開方即可,這樣就可出現(xiàn)兩向量的模與數(shù)量積,把前面所求代入即可解答:解;a,b均為單位向量,|a|=1,|b|=1又兩
17、向量的夾角為60°,ab=|a|b|cos60°=12|a+3b|=a2+(3b)2+6ab=1+9+3=13故答案為13點(diǎn)評:本題考察了單位向量,數(shù)量積的概念,以及向量的模的求法,屬于向量的綜合運(yùn)算11、(2008江西)如圖,正六邊形ABCDEF中,有下列四個命題:(A)AC+AF=2BC;(B)AD=2AB+2AF;(C)ACAD=ADAB;(D)(ADAF)EF=AD(AFEF)其中真命題的代號是A、B、D(寫出所有真命題的代號)考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義。專題:常規(guī)題型。分析:結(jié)合圖形,依據(jù)向量的基礎(chǔ)知識,逐一判斷即可得到結(jié)果解答:解:
18、AC+AF=AC+CD=AD=2BC,A對取AD的中點(diǎn)O,則AD=2AO=2AB+AF,B對設(shè)AB=1,則ACAD=3×2×cos6=3,而ADAF=2×1×cos3=1,C錯又ABAD=1×2×cos3=1=(AF)2,D對真命題的代號是A,B,D故選A,B,D點(diǎn)評:本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義,是基礎(chǔ)題12、在平行四邊形ABCD中,已知AB=2,AD=1,BAD=60°,E為CD的中點(diǎn),則AEBD=32考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:計算題。分析:先根據(jù)兩個向量的數(shù)量積的定義,求出ABAD
19、的值,利用,AEBD=(AD+AB2)(ADAB)=AD212ABAD12AB2進(jìn)行運(yùn)算求值解答:解:由題意得ABAD=2×1×cos60°=1,AEBD=(AD+AB2)(ADAB)=AD212ABAD12AB2=1122=32,故答案為:32點(diǎn)評:本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義,數(shù)量積公式的應(yīng)用13、如圖,OAB中|OA|=3,|OB|=2,點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,記向量OA=a,OB=b,OP=c,則c(ab)的值為52考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:計算題。分析:利用c=b+BH+HP及c=a+AH+HP,求出c=HP+a+b2,代入式子并利用HP
20、(ab)=0進(jìn)行運(yùn)算解答:解:連接PA、PB,設(shè) AB的中點(diǎn)為H,則HP為線段AB的中垂線,HP(ab)=0,c=OP=OB+BH+HP=b+BH+HP,c=OP=OA+AH+HP=a+AH+HP 把相加可得c=HP+a+b2,c(ab)=(HP+a+b2)(ab)=0+a2b22=942=52OA OB點(diǎn)評:本題考查兩個向量加減法及其幾何意義,兩個向量垂直的性質(zhì),兩個向量數(shù)量積的運(yùn)算,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想14、在ABC中,若C=90°,AC=BC=4,則BABC=16考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:計算題。分析:利用向量垂直的充要條件得到CABC=0;利用向量的運(yùn)算法則將BA
21、用BC,CA表示,利用向量的運(yùn)算律求出BABC的值解答:解:C=90°CABC=0BA=BC+CABABC=(BC+CA)BC=BC2+CABC=16故答案為:16點(diǎn)評:本題考查向量垂直的充要條件、向量的運(yùn)算法則、向量的運(yùn)算律15、如圖,向量OA與x軸方向相同,向量OB與x軸正半軸的夾角為23,OA=2,OB=1,且OA+OB+OC=0,則OC=(32,32)考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:計算題。分析:先求出A、B兩個點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)OA+OB+OC=0,計算OC的坐標(biāo)解答:解:由題意可知:A(2,0),即向量OA=(2,0);B(12,32),則向量OB=(12,32),OA+O
22、B+OC=0,OC=(OA+OB)=(32,32)故答案為:(32,32)點(diǎn)評:本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系,是基礎(chǔ)題16、ABC中,AB=3,BC=5,CA=7,點(diǎn)D是邊AC上的點(diǎn),且AD=13DC,則BDAC=174考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:計算題。分析:利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出BDAC=(BA+AD)AC=21cosA+494余弦定理求出cosA代入可求得結(jié)果解答:解:由題意得 AD=14AC=74,BDAC=(BA+AD)AC=BAAC+ADAC=BAAC(cosA)+74×7=21cosA+494ABC中,由余弦定理得 25=9+
23、492×3×7cosA,cosA=3342,BDAC=21×3342+494=174,故答案為:174點(diǎn)評:本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義,余弦定理的應(yīng)用,計算BAAC是本題得易錯點(diǎn)17、已知a,b是平面內(nèi)的兩個單位向量,設(shè)向量c=a,且|c|1,a(bc)=0,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(1,1)考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專題:計算題。分析:本小題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的相關(guān)運(yùn)算問題,由a(bc)=0,變化式子為模和夾角的形式,整理出的表達(dá)式,根據(jù)夾角的范圍得到結(jié)果解答:解:a(bc)=0,c=a,baa2=0,abcos=a2且0,a,b是平面內(nèi)的兩個單位向量,=cos,|c|1,±1,實(shí)數(shù)的取值范圍是(1,1)故答案為(1,1)點(diǎn)評:本題是向量數(shù)量積的運(yùn)算,條件中給出兩
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