第一章泛函變分的基礎(chǔ)概念(16K)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 泛函極值問題的一些基本概念§1.1 泛函的極大值和極小值問題如果函數(shù)在附近的任意點(diǎn)上的值都不大（?。┯?，也即時，則稱函數(shù)在上達(dá)到極大（極?。以谏?，有 （1-1）對于泛函,也有類似的定義。如果泛函在任何一條與接近的曲線上的值不大（或不?。┯?，也就是，如果（或）時，則稱泛函在曲線上達(dá)到極大值（或極小值），而且在上，有 （1-2）在這里，對于泛函的極值概念有進(jìn)一步說明的必要，凡說到泛函的極大（或極?。┲?，主要是說泛函的相對的極大（或極?。┲?，也就是說，從互相接近的許多曲線來研究一個最大（或最?。┑姆汉?，但是曲線的接近有不同的接近度。因此，在泛函的極

2、大極小的定義里，還應(yīng)說明這些曲線有幾階的接近度。如同一般函數(shù)極大（極?。┯懻撘粯?，如果泛函在曲線上有強(qiáng)極大（極小）值，不僅對于那些既是函數(shù)接近而且導(dǎo)數(shù)也接近的而言是極大（極小）值，而且對于那些只是函數(shù)接近但導(dǎo)數(shù)不接近的而言，也是極大（極?。┲担苑汉谇€上是強(qiáng)極大（極?。┲禃r，也必在上是弱極大（極?。┲?。反之，則不然，即泛函在曲線上有弱極大（極小）值時，不一定是強(qiáng)極大（極小）值，因?yàn)橛锌赡軐τ谀切┲皇呛瘮?shù)接近但導(dǎo)數(shù)不接近的而言，有一個比函數(shù)與導(dǎo)數(shù)都接近的所求的極大（極?。└螅ㄐ。┑臉O大（極?。┲荡嬖?。所以弱極大（極小），不能滿足強(qiáng)極大（極?。┑囊?。這一概念可以推廣到包含多個函數(shù)的泛函中

3、去。§1.2 求解泛函極值的歐拉方程變分法的早期工作是如何將泛函駐立值問題轉(zhuǎn)化為微分方程問題。當(dāng)把泛函的駐立值問題轉(zhuǎn)化為微分方程時，第一步工作就結(jié)束了，下一步是如何求解這一微分方程。這種求解方法在實(shí)際應(yīng)用上碰到很大的困難。自從里茲提出直接求泛函極值的近似法（里茲法）以后，人們才認(rèn)識到直接從泛函極值出發(fā)，而避免從微分方程式出發(fā)更為有效與方便，這樣的處理方法可以充分利用電子計算機(jī)的作用。于是人們研究的目標(biāo)有所轉(zhuǎn)移，即把原來從泛函駐立值問題化為微分方程問題，轉(zhuǎn)變?yōu)榘盐⒎址匠虇栴}轉(zhuǎn)變?yōu)槎x一個泛函，而成為泛函求駐立值的問題。對于前一種問題由歐拉、拉格朗日等已建立了一套比較成熟、比較系統(tǒng)的方法

4、，而對于后一類問題，雖然正在大力進(jìn)行工作，但尚不成熟。目前用的多的方法，還是根據(jù)微分方程物理和工程背景，采取嘗試和核對的方法，即先試猜一個泛函的極值和駐立值問題，然后再核對一下，看它是否與原來的微分方程問題等價。這種方法在以后的變分原理中將經(jīng)常用到?，F(xiàn)在研究最簡單泛函（1-3）式的極值問題所得到的歐拉方程，其中能確定泛函極值曲線的邊界是固定不變的，而且有，函數(shù)將認(rèn)為是三階可微的。 （1-3）首先讓我們用拉格朗日法來求泛函的變分于是有讓，得 （1-4）其中，而且對于固定邊界條件，因?yàn)橛?，所?（1-5）將（1-5）式代入（1-4）式，得到變分極值條件 （1-6）根據(jù)變分法的基本預(yù)備定理，求得本題

5、的歐拉方程為 （1-7）這里必須指出，上式中的第二項(xiàng)是對的全導(dǎo)數(shù)，不是偏導(dǎo)數(shù)，且，所以 （1-8）其中，都是對的二階偏導(dǎo)數(shù)。，所以歐拉方程（1-7）式也可以寫成 （1-9）這就是1744年歐拉所得的著名方程。該方程也被稱為歐拉拉格朗日方程。（1-9）式是關(guān)于的一個二階微分方程，其積分常數(shù)有兩個和，它的積分曲線叫做極值曲線，只有在這族極值曲線上，泛函（1-3）式才能達(dá)到極值，積分常數(shù)是由極值曲線通過這兩個端點(diǎn)條件所決定的。把泛函的變分作為泛函增量的主部，也同樣得到歐拉方程（1-7）式及（1-8）式。求泛函增量主部的過程實(shí)質(zhì)上與求微分的過程非常相似。例如從（1-3）式，因?yàn)榉e分限是固定的（不變的）

6、，所以有其是從增量引起的，其主部為于是得到（1-4）式，這和拉格朗日法得到的變分表達(dá)式是相同的。這里還應(yīng)指出，（1-9）式這樣的歐拉方程，有下列四種特殊的情況，應(yīng)該予以注意。（1）和無關(guān)，即 （1-10）于是（1-9）式可以寫成 （1-11）上式可以簡化為 （1-12）一次積分后 （1-13）其中為積分常數(shù)。（2）和無關(guān)，即 （1-14）代入（1-7）式，得 （1-15）積分得 （1-16）其中為積分常數(shù)。（3）和無關(guān)，即 （1-17）于是歐拉方程為 （1-18）它不是微分方程，不包含什么特定常數(shù)，一般情況，所討論的變分問題不存在，只在個別的情況下，當(dāng)曲線（1-18）式通過固定端點(diǎn)時，才存在可

7、能達(dá)到極值的曲線。（4）是的線性函數(shù)，即 （1-19）于是歐拉方程為 （1-20）但是 （1-21）所以（1-20）式可以簡化為 （1-22）它也不是一個微分方程式，因?yàn)樗鼪]有項(xiàng)，一般說來它不滿足固定端點(diǎn)條件，因此，變分問題根本不存在?，F(xiàn)在我們將上述變分問題推廣到含有高階導(dǎo)數(shù)的泛函的極值問題和泛函變分得到的歐拉方程。我們研究泛函 （1-23）的極值，其中泛函被認(rèn)為對于，是階可微的，并且假定，端點(diǎn)上有固定條件 （1-24）端點(diǎn)上不僅給出函數(shù)值，而且還給出直至階導(dǎo)數(shù)的值。我們將假定，極值在2n階可微曲線上達(dá)到。用上面相同的求泛函變分方法，我們可以證明： （1-25）其中用簡略符號代替，代替。積分（

8、1-25）式中的第二項(xiàng)可以分部積分一次，得 （1-26）將積分（1-25）式中第三項(xiàng)分部積分兩次，得 （1-27）最后一項(xiàng)經(jīng)過n次分部積分后，得 （1-28）根據(jù)變分法的預(yù)備定理，（1-25）式為零時，得 （1-29）這是的2n階微分方程式，一般稱之為泛函（1-23）式的歐拉-泊桑方程，而它的積分曲線就是所討論變分問題的解（極值曲線）。這個方程的解通常有2n個特定常數(shù)，由2n個端點(diǎn)條件（1-24）式?jīng)Q定的。【例1-1】 梁在橫向載荷作用下的彎曲問題，就是含有較高階導(dǎo)數(shù)的泛函極值問題的一個例子。設(shè)梁的抗彎剛度為，兩端固定，在橫向分布載荷作用下發(fā)生彎曲變形（或稱撓度），如圖1-1所示。端點(diǎn)固定條件

9、為 （1-30）在梁達(dá)到平衡時，其總位能達(dá)到最小值。梁的位能等于梁在彎曲時所貯存的彎曲能，它等于圖1-1 梁在橫向載荷作用下的彎曲 （1-31）其中為梁彎曲后的曲率，它和撓度w(x)的關(guān)系為這里假定撓度很小，略去高次項(xiàng)。（1-31）式可以寫成載荷在變形上的位能為 （1-32）于是，梁所形成的總位能為 （1-33）梁的平衡條件為使總位能達(dá)到最小值，即。于是利用變分計算，并利用固定端條件（1-30），得 （1-34）利用變分法的預(yù)備定理，求得梁的平衡方程為這就是歐拉泊桑方程。（1-34）式在靜力學(xué)中被稱為虛位移原理，就是滿足端點(diǎn)位移約束條件的虛位移。虛位移原理為：對于平衡的力系而言，對一切滿足約束

10、條件（這里指端點(diǎn)條件）的虛位移作的功都等于零。最小位能原理（或稱總位能原理）和虛功原理是一致的。下面討論另一種形式的泛函 （1-35）的歐拉方程。函數(shù)中在域R內(nèi)連續(xù)，其邊界由和組成，其中 （在上）為給定的，式中，?，F(xiàn)在對（1-35）泛函取一次變分，得到 （1-36）因?yàn)椋?-36）式等號右邊第一個積分中的末兩項(xiàng)可化為利用高等數(shù)學(xué)中的格林公式上式可化為將（為周邊法線的方向余弦）代入上式，并引入邊界上的給定條件，再代回（1-36）式中，可得因?yàn)闉樵诓煌虻娜我庾兎至浚勺兎址ǖ念A(yù)備定理，可以求得歐拉方程為 （在R域內(nèi)） （1-37）及 （在上）§1.3 含多個待定函數(shù)的泛函及其歐拉方程，

11、哈密頓原理讓我們把上一節(jié)的泛函極值和歐拉方程推廣到含多個待定函數(shù)的泛函極值問題。設(shè)有泛函 （1-38）其中為個待定函數(shù)， 分別表示一階，二階，n階的導(dǎo)數(shù)，設(shè)這些函數(shù)有端點(diǎn)值 （1-39）對所有的x，而言，都是（n+2）階可微的，待定曲線是2n階可微的。泛函的變分極值條件為 （1-40）通過分部積分，利用端點(diǎn)固定的條件，即利用 （1-41）后，可以把（1-40）式化為 （1-42）利用上節(jié)相同的方法，我們可以得到i個歐拉方程 （1-43）這是決定的i個待定函數(shù)的i個微分方程式組。現(xiàn)在我們研究力學(xué)中的一個基本變分原理哈密頓（Hamilton）原理（或稱為最小作用量原理），該原理可敘述為：質(zhì)點(diǎn)系滿足

12、某些約束條件的運(yùn)動，必使積分“作用量” （1-44）成極值（最小值）。其中分別表示質(zhì)點(diǎn)系的動能和位能，為時間。滿足某些約束條件是指質(zhì)點(diǎn)系滿足下列邊值條件： （1-45）如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，坐標(biāo)為，作用在質(zhì)點(diǎn)上的力是以為力函數(shù)（即勢函數(shù)）的， （1-46）而勢函數(shù)只依賴于質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，這是一個保守力場，即 （1-47）動能是 （1-48）其中分別代表，最小作用原理（即哈密頓原理）要求 （1-49）其中 （1-50）通過分部積分，并由約束條件（1-45）式有和都等于零，即得 （1-52）于是哈密頓原理可以寫為 （1-52）由于為任意的獨(dú)立變分，所以得到歐拉-泊桑方程 （1-53）這就是個質(zhì)點(diǎn)的個牛頓運(yùn)

13、動方程式。從上述的討論中不難發(fā)現(xiàn)，最小位能原理等價于靜力平衡方程。而哈密頓原理等價于牛頓運(yùn)動方程。如果運(yùn)動還受另外一組獨(dú)立關(guān)系 （1-54）的約束，則獨(dú)立變量只剩下個。如果我們用個新的變量（或稱廣義坐標(biāo)）來表示原來的變量，即 （1-55）則、可以寫成 （1-56）于是哈密頓原理或最小作用量原理可以寫成 （1-57）經(jīng)過部分積分可以為 （1-58）而歐拉泊桑方程為， （1-59）習(xí)慣上，人們把 （1-60）稱為拉格朗日函數(shù)。于是哈密頓原理可以寫成 （1-61）而歐拉-泊桑方程為 （1-62）在理論力學(xué)中，方程組（1-62）是著名的拉格朗日方程。上面用稱為“廣義坐標(biāo)”,（1-59）、（1-62）式

14、都是用廣義坐標(biāo)表示的。其優(yōu)點(diǎn)是不一定要用真正的坐標(biāo)或位移來表示，這樣就顯得靈活與方便得多?，F(xiàn)以下面耦合擺為例來說明?！纠?-2】 如圖1-2所示的耦合擺，它們之間以彈簧相連，若略去擺的重量，取為廣義坐標(biāo)，于是動能和勢能分別為圖1-2 耦合擺的運(yùn)動 （1-63） （1-64）對于微振幅的擺動而言,， 于是 （1-65）拉格朗日方程為 （1-66）將代入，即得 （1-67）由以上三式，即可求得。我們也可以在個（1-54）式的約束條件下用廣義坐標(biāo)來求非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。非保守系統(tǒng)沒有這樣一個勢函數(shù)，但我們可以把外力對作的功用廣義坐標(biāo)的變分對廣義力作的功來表示。設(shè) （1-68）因?yàn)閷⑸鲜酱耄?

15、-68）式，有關(guān)的系數(shù)給出 （1-69）這就是廣義力的表達(dá)式。于是，在非保守力系下的最小作用量原理可以寫成 （1-70）或可寫成 （1-71）于是由在非保守力場中的運(yùn)動方程（即拉格朗日方程） （1-72）廣義坐標(biāo)在理論力學(xué)中受到重視的原因，不止一個。廣義坐標(biāo)使力學(xué)系統(tǒng)的描述不受坐標(biāo)選用的限制。如果我們把一組廣義坐標(biāo)換置為另一組廣義坐標(biāo)，其中則哈密頓原理 （1-73）仍舊給出拉格朗日方程（運(yùn)動方程）為 （1-74）其形狀和坐標(biāo)無關(guān)。用廣義坐標(biāo)的變分原理較易于求得近似解。§1.4 含多個自變量的函數(shù)的泛函及其極值問題許多平面問題，如彈性板的彎曲、平面應(yīng)力或應(yīng)變問題、軸對稱問題等都有或兩個

16、自變量，其它問題諸如彈性振動、平面熱傳導(dǎo)、彈塑性理論等有三個或四個自變量，這一類問題在力學(xué)物理中非常重要，也是變分法中的主要方面。這類泛函極值問題本質(zhì)是類似的。首先研究泛函 （1-75）的極值問題。其中函數(shù)在域S的邊界C上的值已經(jīng)給出，即在邊界C上為已知。記， （1-76）式（1-75）表達(dá)的泛函的變分可以寫成 （1-77）根據(jù)函數(shù)變分的定義，有， 而且將上式代入（1-77）式，則得 （1-78）根據(jù)格林公式（Green formula），對兩個連續(xù)函數(shù)有 （1-79）其中s為邊界圍線C的弧長，以逆時針為正，順時針為負(fù)，為切線和x軸的夾角（圖1-3）。并且有以下關(guān)系式， （1-80）圖1-3

17、邊界的切線和法線 （1-81）并有 （1-82）或 （1-83）以上各式，對簡化二維問題時都是很有用的。按（1-79）式，我們有 （1-84）在邊界C上，已知為，對于都通過的任意的變分在邊界C上都恒等于零。因此（1-84）式右側(cè)圍線積分應(yīng)該恒等于零，于是（1-78）式最后化為 （1-85）當(dāng)泛函達(dá)到極值時，根據(jù)變分法基本預(yù)備定理，得 （1-86）這就是決定（在邊界上滿足）的微分方程，也稱為歐拉方程式。【例1-3】 弦的振動問題就是和（1-75）式相類似的泛函變分問題。設(shè)有均勻弦AB，單位長度的密度為，弦內(nèi)拉力為，的兩端固定。單位長度弦的橫向位移既是的函數(shù)，也是時間的函數(shù)。整個弦的動能為 （1-

18、87）弦內(nèi)由于變形所積蓄的彈性變形能（即勢能）等于弦內(nèi)拉力（即兩端的拉力）和弦長增長的總量的乘積。弦的元素在變形后增長到，因此勢能為 （1-88）這里略去了的高次項(xiàng)。為了尋求運(yùn)動方程，我們可以利用哈密頓原理，即尋求，使弦在中的作用量為最小，即求泛函 （1-89）的極值。應(yīng)滿足固定條件， （1-90）和滿足初始和結(jié)束時弦的形狀條件， （1-91）的變分極值條件給出 （1-92）根據(jù)（1-90）、（1-91）式，我們有，所以 （1-93） （1-94）最后（1-92）式可以寫成 （1-95）根據(jù)變分預(yù)備定理，得到弦振動的歐拉方程 （1-96）在以下的公式推導(dǎo)中，將用到下面諸微積分定理，進(jìn)行簡化。（

19、1）格林（Green）定理或高斯（Gauss）定理 （1-97）其中為中和上的連續(xù)函數(shù)，為閉域的界面，為界面的外法線和軸之間的方向角。（2）格林定理的形式之一 （1-98）其中為V對外法線方向n的導(dǎo)數(shù)，。這一公式證明很容易，因?yàn)槔梅植糠e分對（1-98）式右邊第一項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，以其中第一項(xiàng)為例，有整理后即得到（1-98）式。（3）格林定理 （1-99）該式可以由（1-98）式進(jìn)行證明。在使用了這些定理之后，我們可以證明下列常見的歐拉方程。（1） 泛函 （1-100）由極值必要條件，其歐拉方程為 （1-101）其中，其邊界條件為在的表面上為已知，即在邊界上。（2） 泛函 （1-102）為極值的必要

20、條件是，其歐拉方程為 （1-103）其中。其邊界條件為和在邊界上為已知，為外向法線，也即在邊界上，。（3） 泛函 （1-104）為極值的必要條件是，其歐拉方程為 （1-105）其中。其邊界條件為在的表面上已知，即在邊界上無論在內(nèi)任何時間，其起始和終止條件為和為已知，即當(dāng)時，中的任意點(diǎn)。（4） 泛函 （1-106）為極值的必要條件是，其歐拉方程為 （1-107）其中。其邊界條件為和在邊界上是已知的，即在邊界上不論內(nèi)那個時間，其起始和終止條件為，為已知，即在時上任意點(diǎn)的。下面列出幾個常見的例子。例（1） 泛函 （1-108）的變分極值問題。由上式取極值必要條件，可得到歐拉方程 （1-109）這是三

21、維的拉普拉斯方程，在邊界上的值為給定的，即有。例（2） 泛函 （1-110）的變分極值問題。給出的歐拉方程是三維泊桑方程 （1-111）在邊界上的值為已知的，即有。例（3） 泛函 （1-112a）或泛函 （1-112b）或泛函 （1-112c）其中為抗彎剛度，為泊桑比，為平板所受的橫向分布載荷。以上三式的變分極值條件，都給出同一個四階歐拉方程 （1-113）以上三個泛函都被用于板彎曲問題。但必須指出，這三個泛函雖然給出了相同的歐拉方程，卻代表著不同的邊界條件?？紤]式（1-112a）表示的泛函。首先對式（1-112a）進(jìn)行變分， （1-114）利用分部積分，等號右邊第一、二、三項(xiàng)可分解為或 （1

22、-115）合并（1-115）各式，可得 （1-116）根據(jù)格林公式（1-79）式，有 （1-117） （1-118）圖1-4 邊界正交坐標(biāo)在邊界C上，如果已知，即，即（1-118）式等號右邊邊界圍線積分等于零。如果周邊C上為已知的，那么也一定是已知的，在邊界C上，0，?，F(xiàn)在證明（1-117）等號右邊邊界圍線積分等于零，為了證明這點(diǎn)，我們引進(jìn)邊界正交坐標(biāo)（圖1-4），坐標(biāo)，之間的變換關(guān)系如（1-82）和（1-83）式。這里是的函數(shù)，即，而且有， （1-119）其中為邊界曲線的曲率半徑，當(dāng)曲率中心在S域內(nèi)部時為正，在外側(cè)時為負(fù)。于是利用（1-83）式后，可以證明 （1-120）同樣，可以證明 （1

23、-121）于是（1-117）式中被積函數(shù)可以寫成 （1-122）這里必須指出，我們不能把（1-82）、（1-83）式的直接代入來計算（1-122）式，因?yàn)椋?-82）式所表示的，是在周邊C上的導(dǎo)數(shù)極限，它們只是的函數(shù)，它們對法線n的導(dǎo)數(shù)一定等于零。（1-122）式中的應(yīng)該是邊界線附近的在時的極限，即 （1-123）讓我們?nèi)∵吔缯蛔鴺?biāo)，這一坐標(biāo)不在邊界C上，如圖1-4。同樣有以下關(guān)系 在上 （1-124）且 （1-125）所以同樣，得于是（1-122）式可以化為 （1-126）而且，根據(jù)邊界的封鎖性，我們有 （1-127）其中代表邊界C上第k角點(diǎn)的增值量（注意C的方向走向，k角點(diǎn)增量順序），這里假設(shè)共有i個不連續(xù)角點(diǎn)，為k角點(diǎn)的值。最后，從（1-117）式導(dǎo)出 （1-128）同樣，利用（1-83）式中的第二式，我們可以從（1-118）式證明 （1-129）最后，得的極值（必要）條件 （1-130）如果在邊界C上，和為已知，包括邊界為固定的，則有， 在邊界C 在角點(diǎn)上 （1-131）從（1-130）式中利用（1-131）的條件，利用變分法的預(yù)備定理，就得到歐拉方程，這里為板的平衡方程為 （1-132）如果在邊界C的一部分C1上，和都是未知的，在C1邊界上和均不等于零，它們可以是任選的。利用變分法預(yù)備定理，則在C1上必須滿足的條件為 (在C1邊