實數知識點+題型歸納

1、第6章 實數 知識講解+題型歸納l 知識講解一 、 實數的組成1、實數又可分為正實數，零，負實數2.數軸：數軸的三要素原點、正方向和單位長度。數軸上的點與實數一一對應二 、相反數、絕對值、倒數1. 相反數：只有符號不同的兩個數互為相反數。數a的相反數是-a。正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，零的相反數是零. 性質：互為相反數的兩個數之和為0。2.絕對值：表示點到原點的距離，數a的絕對值為3.倒數：乘積為1的兩個數互為倒數。非0實數a的倒數為 . 0沒有倒數。4.相反數是它本身的數只有0；絕對值是它本身的數是非負數（0和正數）；倒數是它本身的數是1.三、平方根與立方根1.平方根：如果一個數

2、的平方等于a，這個數叫做a的平方根。數a的平方根記作 （a=0）特性：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，零的平方根還是零。負數沒有平方根。正數a的正的平方根也叫做a的算術平方根，零的算術平方根還是零。 開平方:求一個數的平方根的運算，叫做開平方。2.立方根：如果一個數的立方等于a，則稱這個數為a立方根 。數a的立方根用表示。任何數都有立方根，一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根，零的立方根是零。 開立方：求一個數的立方根（三次方根）的運算，叫做開立方。四 、實數的運算有理數的加法法則：a）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；b)異號兩數相加。絕對值相等時和為0；絕對值

3、不相等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值. 任何數與零相加等于原數。2.有理數的減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數。3.乘法法則：a）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；零乘以任何數都得零b）幾個不為0的有理數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數的個數為奇數時，積為負，為偶數，積為正c）幾個數相乘，只要有一個因數為0，積就為04.有理數除法法則：a）兩個有理數相除（除數不為0）同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何非0實數都得0。b）除以一個數等于乘以這個數的倒數。5.有理數的乘方:在an中，a叫底數，n叫指數a）正數的任何次冪都是正數

4、；負數的偶次冪是正數，奇次冪是負數；0的任何次冪都是0b）a0=1（a不等于0）6.有理數的運算順序：a）同級運算，先左后右b）混合運算，先算括號內的，再乘方、開方，接著算乘除，最后是加減。五實數大小比較的方法1）數軸法：數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點表示的數2）比差法：若a-b0則ab；若a-b0則a1則ab；a/b1則a1則ab；a/bb C.一正一負時，正數負數4）平方法：a、b均為正數時，若a2b2，則有ab；均為負數時相反5)倒數法：兩個實數，倒數大的反而?。ú徽撜摚﹍ 題型歸納l 經典例題類型一有關概念的識別1下面幾個數：0.23 ，1.010010001，3，其中，無理數

5、的個數有（ ）A、1 B、2 C、3 D、4解析：本題主要考察對無理數概念的理解和應用，其中，1.010010001，3，是無理數故選C舉一反三：【變式1】下列說法中正確的是（ ）A、的平方根是3 B、1的立方根是1 C、=1 D、是5的平方根的相反數【答案】本題主要考察平方根、算術平方根、立方根的概念，=9，9的平方根是3，A正確1的立方根是1，=1，是5的平方根，B、C、D都不正確【變式2】如圖，以數軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數軸正半軸于點A，則點A表示的數是（ ）A、1 B、1.4 C、 D、【答案】本題考察了數軸上的點與全體實數的一

6、一對應的關系正方形的邊長為1，對角線為，由圓的定義知|AO|=，A表示數為，故選C【變式3】 【答案】= 3.1415，9310因此3-90，3-100 類型二計算類型題2設，則下列結論正確的是（ ） A. B. C. D. 解析：（估算）因為，所以選B舉一反三：【變式1】1）1.25的算術平方根是_；平方根是_.2） -27立方根是_. 3）_， _，_. 【答案】1）；.2）-3. 3）， ， 【變式2】求下列各式中的（1） （2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4類型三數形結合 3. 點A在數軸上表示的數為，點B在數軸上表示的數為，則A，B兩點的距離為_解析：在數軸

7、上找到A、B兩點，舉一反三：【變式1】如圖，數軸上表示1，的對應點分別為A，B，點B關于點A的對稱點為C，則點C表示的數是（ ）A1 B1 C2 D2【答案】選C變式2 已知實數、在數軸上的位置如圖所示： 化簡 【答案】：類型四實數絕對值的應用4化簡下列各式：(1) |-1.4|(2) |-3.142|(3) |-| (4) |x-|x-3| (x3)(5) |x2+6x+10|分析：要正確去掉絕對值符號，就要弄清絕對值符號內的數是正數、負數還是零，然后根據絕對值的定義正確去掉絕對值。解：(1) =1.4141.4 |-1.4|=1.4-(2) =3.141593.142 |-3.142|=3

8、.142-(3) , |-|=-(4) x3, x-30, |x-|x-3|=|x-(3-x)| =|2x-3| = 說明：這里對|2x-3|的結果采取了分類討論的方法，我們對這個絕對值的基本概念要有清楚的認識，并能靈活運用。(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|(x+3)20, (x+3)2+10|x2+6x+10|= x2+6x+10舉一反三：【變式1】化簡：【答案】=+-=類型五實數非負性的應用5已知：=0，求實數a, b的值。分析：已知等式左邊分母不能為0，只能有0，則要求a+70，分子+|a2-49|=0，由非負數的和的性質知：3a-b=0且a2-

9、49=0，由此得不等式組 從而求出a, b的值。解：由題意得 由(2)得 a2=49 a=7由(3)得 a-7，a=-7不合題意舍去。只取a=7把a=7代入(1)得b=3a=21a=7, b=21為所求。舉一反三：【變式1】已知(x-6)2+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。解：(x-6)2+|y+2z|=0且(x-6)20, 0, |y+2z|0,幾個非負數的和等于零，則必有每個加數都為0。 解這個方程組得 (x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65【變式2】已知那么a+b-c的值為_【答案】初中階段的三個非負數： ，a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2

10、類型六實數應用題6有一個邊長為11cm的正方形和一個長為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形，問邊長應為多少cm。解：設新正方形邊長為xcm，根據題意得 x2=112+138x2=225x=15邊長為正，x=-15不合題意舍去，只取x=15(cm)答：新的正方形邊長應取15cm。舉一反三：【變式1】拼一拼，畫一畫： 請你用4個長為a，寬為b的矩形拼成一個大正方形，并且正中間留下的空白區(qū)域恰好是一個小正方形。（4個長方形拼圖時不重疊） （1）計算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么？ （2）當拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多3cm時，大正方形的面積

11、就比小正方形的面積多24cm2，求中間小正方形的邊長.解析：（1）如圖，中間小正方形的邊長是： ，所以面積為= 大正方形的面積=， 一個長方形的面積=。 所以， 答：中間的小正方形的面積，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（或） (2) 大正方形的邊長：，小正方形的邊長： ，即 ， 又 大正方形的面積比小正方形的面積多24 cm2 所以有， 化簡得： 將代入，得： cm 答：中間小正方形的邊長2.5 cm。類型七易錯題7判斷下列說法是否正確（1）的算術平方根是-3；（2）的平方根是15.（3）當x=0或2時，（4）是分數解析：（1）錯在對算術平方根的理解有誤，算術平方根是非負數.故 （2）表示225的算術平方根，即=15.實際上，本題是求15的平方根， 故的平方根是.（3）注意到，當x=0時， =，顯然此式無意義， 發(fā)生錯誤的原因是忽視了“負數沒有平方根”，故x0，所以當x=2時，x=0.（4）錯在對實數的概念理解不清. 形如分數，但不是分數，它是無理數.類型八引申提高8（1）已知的整數部分為a，小數部分為b，求a2-b2的值.（2）把下列無限循