圓錐曲線的綜合問題

1、第三講圓錐曲線的綜合問題1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程若0，則直線與橢圓相交；若0，則直線與橢圓相切；若0時，直線與雙曲線相交；當(dāng)0時，直線與雙曲線相切；當(dāng)b0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A、B兩點若AB的中點坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以運用點差法，所以直線AB的斜率為k，設(shè)直線方程為y(x3)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22；又因為a2b29，解得b29

2、，a218.2(2013江西)過點(，0)引直線l與曲線y相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于()A.BCD答案B解析SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.當(dāng)AOB時，SAOB面積最大此時O到AB的距離d.設(shè)AB方程為yk(x)(k0，b0)，由已知，得a，c2，b2c2a21，故雙曲線方程為y21.(2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由題意，知解得k1.所以當(dāng)k1時，直線l與雙曲線的左支有兩個交點(3)由(2)，得xAxB，所以yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2，所以AB中點P

3、的坐標(biāo)為.設(shè)l0的方程為yxb，將P點的坐標(biāo)代入l0的方程，得b，k1，213k20，b0)到直線l：xy20的距離為.設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點P(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線AB的方程；(3)當(dāng)點P在直線l上移動時，求|AF|BF|的最小值解(1)依題意知，c0，解得c1.所以拋物線C的方程為x24y.(2)由yx2得yx，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則切線PA，PB的斜率分別為x1，x2，所以切線PA的方程為yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切線PB的方程為x2

4、x2y2y20，又點P(x0，y0)在切線PA和PB上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x2y02y0 的兩組解，所以直線AB的方程為x0x2y2y00.(3)由拋物線定義知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，聯(lián)立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，y1y2x2y0，y1y2y，|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522，當(dāng)y0時，|AF|BF|取得最小值，且最小值為.題型二圓錐曲線中的定點、定值問題例2(2012福建)如圖，

5、等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x22py(p0)上(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y1相交于點Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點審題破題(1)先求出B點坐標(biāo)，代入拋物線方程，可得p的值；(2)假設(shè)在y軸上存在定點M，使得以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過點M，轉(zhuǎn)化為0，從而判斷點M是否存在(1)解依題意，|OB|8，BOy30.設(shè)B(x，y)，則x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012.因為點B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故拋物線E的方程為x24y.(2)證明方法一由(1)知yx2，yx.設(shè)P(

6、x0，y0)，則x00，y0x，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q為.設(shè)M(0，y1)，令0對滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式對滿足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1)方法二由(1)知yx2，yx.設(shè)P(x0，y0)，則x00，y0x，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q為.取x02，此時P(2,1)，Q(0，1)，以PQ為直徑的圓為(x1)2y22，交y軸于點M1(0,1)、M2(0

7、，1)；取x01，此時P，Q，以PQ為直徑的圓為22，交y軸于點M3(0,1)、M4.故若滿足條件的點M存在，只能是M(0,1)以下證明點M(0,1)就是所要求的點因為(x0，y01)，所以2y022y022y020.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1)反思?xì)w納定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量變式訓(xùn)練2已知直

8、線l：yx，圓O：x2y25，橢圓E：1(ab0)的離心率e，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等(1)求橢圓E的方程；(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩切線的斜率之積為定值(1)解設(shè)橢圓的半焦距為c，圓心O到直線l的距離d，b.由題意得，a23，b22.橢圓E的方程為1.(2)證明設(shè)點P(x0，y0)，過點P的橢圓E的切線l0的方程為yy0k(xx0)，聯(lián)立直線l0與橢圓E的方程得，消去y得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理得，(2x)k22kx0y0(y3)0，設(shè)

9、滿足題意的橢圓E的兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1k2，點P在圓O上，xy5，k1k21.兩條切線的斜率之積為常數(shù)1.題型三圓錐曲線中的存在性問題例3如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e，且2.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)動點P滿足2，其中M、N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為.問：是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|PF1|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)；若不存在，說明理由審題破題(1)列方程組求出a、c即可；(2)由kOMkON先確定點M、N坐標(biāo)滿足條件，再根據(jù)2尋找點P滿足條件：點P在F1、F2為焦點的橢圓上解(1)由e，2，解得a2，c，b2a2c22，故橢

10、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由2，得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)(x12x2，y12y2)，即xx12x2，yy12y2.因為點M、N在橢圓x22y24上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)設(shè)kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知kOMkON，因此x1x22y1y20，所以x22y220.所以P點是橢圓1上的點，設(shè)該橢圓的左、右焦點為F1、F2，則由橢圓的定義|PF1|PF2|為定值，又因c，因此兩焦

11、點的坐標(biāo)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)反思?xì)w納探究是否存在的問題，一般均是先假設(shè)存在，然后尋找理由去確定結(jié)論，如果真的存在，則能得出相應(yīng)結(jié)論，如果不存在，則會由條件得出相互矛盾的結(jié)論變式訓(xùn)練3已知點P是圓O：x2y29上的任意一點，過P作PD垂直x軸于D，動點Q滿足.(1)求動點Q的軌跡方程；(2)已知點E(1,1)，在動點Q的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點M、N，使()(O是坐標(biāo)原點)，若存在，求出直線MN的方程，若不存在，請說明理由解(1)設(shè)P(x0，y0)，Q(x，y)，依題意，點D的坐標(biāo)為D(x0，0)，所以(xx0，y)，(0，y0)，又，故即因為P在圓O上，故有xy9，所以x229，

12、即1，所以點Q的軌跡方程為1.(2)假設(shè)橢圓1上存在不重合的兩點M(x1，y1)，N(x2，y2)滿足()，則E(1,1)是線段MN的中點，且有即又M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓1上，所以兩式相減，得0，所以kMN，故直線MN的方程為4x9y130.所以橢圓上存在點M，N滿足()，此時直線MN的方程為4x9y130.典例(12分)拋物線的頂點O在坐標(biāo)原點，焦點在y軸負(fù)半軸上，過點M(0，2)作直線l與拋物線相交于A，B兩點，且滿足(4，12)(1)求直線l和拋物線的方程；(2)當(dāng)拋物線上一動點P從點A運動到點B時，求ABP面積的最大值規(guī)范解答解(1)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為ykx2

13、，拋物線的方程為x22py(p0)由得x22pkx4p0.2分設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.所以(4，12)，所以解得故直線l的方程為y2x2，拋物線的方程為x22y.6分(2)設(shè)P(x0，y0)，依題意，知當(dāng)拋物線過點P的切線與l平行時，ABP的面積最大對yx2求導(dǎo)，得yx，所以x02，即x02，y0x2，即P(2，2)此時點P到直線l的距離d.9分由得x24x40，則x1x24，x1x24，|AB|4.于是，ABP面積的最大值為48.12分評分細(xì)則(1)由(4，12)得到關(guān)于p，k的方程組得2分；解出p、k的值給1分；(2)確

14、定ABP面積最大的條件給1分；(3)得到方程x24x40給1分閱卷老師提醒最值問題解法有幾何法和代數(shù)法兩種，本題中的曲線上一點到直線的距離的最值可以轉(zhuǎn)化為兩條平行線的距離；代數(shù)法求最值的基本思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值1由橢圓y21的左焦點作傾斜角為45的直線l交橢圓于A，B兩點，設(shè)O為坐標(biāo)原點，則等于()A0 B1 CD3答案C解析直線l的方程為：yx1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x24x0.x10或x2，則y11，y2.x1x2y1y2.2已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|12，P為C的準(zhǔn)線上一點，則ABP的面積為()A18 B24

15、C36 D48答案C解析不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，由于l垂直于對稱軸且過焦點，故直線l的方程為x.代入y22px得，yp，即|AB|2p，又|AB|12，故p6，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x3，故SABP61236.3已知動圓圓心在拋物線y24x上，且動圓恒與直線x1相切，則此動圓必過定點()A(2,0) B(1,0) C(0,1) D(0，1)答案B解析因為動圓的圓心在拋物線y24x上，且x1是拋物線y24x的準(zhǔn)線，所以由拋物線的定義知，動圓一定過拋物線的焦點(1,0)，所以選B.4設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓

16、和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析x28y，焦點F的坐標(biāo)為(0,2)，準(zhǔn)線方程為y2.由拋物線的定義知|FM|y02.由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準(zhǔn)線相交，又圓心F到準(zhǔn)線的距離為4，故42.5已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，直線yx與拋物線C交于A，B兩點，若P(2,2)為AB的中點，則拋物線C的方程為_答案y24x解析設(shè)拋物線方程為y2ax.將yx代入y2ax，得x0或xa，2.a4.拋物線方程為y24x.6已知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓1的兩個焦點，P為橢圓上一點且c2，則此橢圓離心率的取值范圍是_

17、答案解析設(shè)P(x，y)，則(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，將y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，所以2c2a23c2，所以離心率e.專題限時規(guī)范訓(xùn)練一、選擇題1已知拋物線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B，若，則p等于()A1 B2 C3 D4答案B解析如圖，由AB的斜率為，知60，又，M為AB的中點過點B作BP垂直準(zhǔn)線l于點P，則ABP60，BAP30.M為焦點，即1，p2.2已知雙曲線x21的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則的最小值為()A2 BC1 D0答案A解析由已知得A1(1,0)，F(xiàn)

18、2(2,0)設(shè)P(x，y) (x1)，則(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，則f(x)在1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)取最小值，即取最小值，最小值為2.3設(shè)AB是過橢圓(ab0)中心的弦，橢圓的左焦點為F1(c,0)，則F1AB的面積最大為()AbcBabCacDb2答案A解析如圖，由橢圓對稱性知O為AB的中點，則F1OB的面積為F1AB面積的一半又OF1c，F(xiàn)1OB邊OF1上的高為yB，而yB的最大值為b.所以F1OB的面積最大值為cb.所以F1AB的面積最大值為bc.4已知點A(1,0)，B(1,0)及拋物線y22x，若拋物線上點P滿足|PA|m|PB|

19、，則m的最大值為()A3 B2 C.D.答案C解析據(jù)已知設(shè)P(x，y)，則有m ，據(jù)基本不等式有m ，即m的最大值為.故選C.5直線3x4y40與拋物線x24y和圓x2(y1)21從左到右的交點依次為A、B、C、D，則的值為()A16 BC4 D答案B解析由得x23x40，xA1，xD4，直線3x4y40恰過拋物線的焦點F(0,1)，|AF|yA1，|DF|yD15，.故選B.6過橢圓C：1(ab0)的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若k，則橢圓離心率的取值范圍是()A(，) B(，1)C(，) D(0，)答案C解析點B的橫坐標(biāo)是c，故B的坐標(biāo)

20、(c，)，已知k(，)，B(c，)又A(a,0)，則斜率k.由k，解得eb0)的左，右焦點，若在直線x上存在P使線段PF1的中垂線過點F2，則此橢圓離心率的取值范圍是()A.B.C.D.答案D解析設(shè)P，F(xiàn)1P的中點Q的坐標(biāo)為，當(dāng)kQF2存在時，則kF1P，kQF2，由kF1PkQF21，得y2，y20，但注意到b22c20，即2c2b20，即3c2a20，即e2，故e1.當(dāng)kQF2不存在時，b22c20，y0，此時F2為中點，即c2c，得e，綜上，得e32.綜合(1)(2)知(yy)min32.三、解答題13(2013天津)設(shè)橢圓1(ab0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點若8，求k的