圓系方程及其應(yīng)用

1、圓系方程及其應(yīng)用一、常見的圓系方程有如下幾種：1、以為圓心的同心圓系方程：與圓同心的圓系方程為：2、過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為：（）（）3、過兩圓:0，:交點(diǎn)的圓系方程為：（）0（-，此圓系不含:）特別地，當(dāng)時(shí)，上述方程為根軸方程兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程注：為了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:二、圓系方程在解題中的應(yīng)用：1、利用圓系方程求圓的方程：例1 求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。解一：求出兩交點(diǎn)（-1,3）（-6,-2），再用待定

2、系數(shù)法：1用一般式； 2用標(biāo)準(zhǔn)式。（注：標(biāo)準(zhǔn)式中可先求圓心的兩個(gè)坐標(biāo)，而圓心正好在兩交點(diǎn)的中垂線上。）解二：用兩點(diǎn)的中垂線與直線的交點(diǎn)得圓心：1兩交點(diǎn)的中垂線與直線相交；2過圓心與公共弦垂直的直線與直線相交；3兩圓心連線與直線相交。解三：利用圓系方程求出圓心坐標(biāo)，圓心在直線方程上，代入直線方程求解。例、求經(jīng)過兩圓32和2交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程解：方法3：由題可設(shè)所求圓的方程為：（32）（2）（0，0）在所求的圓上，有2從而故所求的圓的方程為： 即7。2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2（1）：求過兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。分析：本題若先聯(lián)立方程求交點(diǎn)，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量

3、關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運(yùn)算量較大。自然選用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點(diǎn)且面積最小的圓的問題。解：圓和的公共弦方程為過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為，即依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程例（2）; 求經(jīng)過直線：24與圓：241的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程解：設(shè)圓的方程為：241（24）即（14）則，當(dāng)時(shí)，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：261237練習(xí)：1求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y

4、+7=0的兩個(gè)交點(diǎn)且過原點(diǎn)的圓的方程。（常數(shù)項(xiàng)為零）2求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且圓心在x軸上的圓的方程。（圓心的縱坐標(biāo)為零）3求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且面積最小的圓方程。（半徑最小或圓心在直線上）4求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且與x軸相切的圓的方程；并求出切點(diǎn)坐標(biāo)。（圓心到x軸的距離等于半徑）3、利用圓系方程求參數(shù)的值：例3：已知圓與直線相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)m的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于m的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出O在以PQ為直徑的圓上。而P，Q剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡化運(yùn)算過程。解：過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為：，即 .依題意，O在以PQ 為直徑的圓上，則圓心顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程，則，故。4、利用圓系方程判斷直線與圓的位置關(guān)系：例4 圓系2（410）1020（，-）中，任意兩個(gè)圓的位置關(guān)系如何？解：圓系方程可化為：1020（2410）與無關(guān)即易知圓心（，-）到直線25的距離恰等于圓的半徑故直線25與圓相切，即上述方程組有且只有一個(gè)解，從而圓系方程所表示的任意兩個(gè)圓有且只有一個(gè)