定積分的性質

1、§4 定積分的性質教學目的與要求：1. 理解并掌握定積分的性質極其證明方法.2. 逐步學會應用定積分的性質證明定積分的有關問題.教學重點，難點：1. 定積分的性質極其證明方法.2. 應用定積分的性質證明定積分的有關問題.教學內容： 一 定積分的基本性質 性質1 若f在a,b上可積，k為常數，則kf在a,b上也可積，且. （1） 證 當k=0時結綸顯然成立. 當k時,由于 其中J=因此當f在a,b上可積時,由定義,任給 從而 即kf在a,b上可積，且性質若fg都在a,b可積，則f在a,b上也可積，且 （2）證明與性質類同。注1 性質與性質是定積分的線性性質，合起來即為其中a為常數。注2

2、 在f，g，h=f+g(或f-g)三個函數中，只要有任意兩個在a,b上可積，則另外一個在a,b上可積.在f，g，h=f+g(或f-g)三個函數中，只要有一個在a,b上可積，一個在a,b上不可積， 則另外一個在a,b上必不可積.性質 若fg都在a,b上可積，則f·g在a,b上也可積。證由f、g都在a,b上可積，從而都有界，設且，（否則f、g中至少有一個恒為零值函數，于是f、g亦為零值函數，結論顯然成立）。任給由f、g可積，必分別存在分割、，使得令（表示把、的所有分割點合并而成的一個新的分割T）。對于a,b上T所屬的每一個，有 利用§3習題第1題，可知 這就證得f·g

3、在a,b上可積.注 在一般情形下.思考：有沒有相除后可積的性質？ 若fg都在a,b上可積，|f(x)|m>0,xa,b,則在a,b上可積.事實上，由條件可證在a,b上可積(本節(jié)習題第7題).再由性質3知在a,b上可積.性質4 f在a,b上可積的充要條件是：任給，在a,c與c,b 上都可積。此時又有等式 （3） 證 充分性 由于f在a,c與c,b上都可積，故任給分別存在對a,c與c,b的分割，使得 現令它是a,b的一個分割,且有由此證得f在a,b上可積.必要性 已知f在a,b上可積,故任給存在對a,b的某分割T,使得在T上再增加一個分點C,得到一個新的分割由§3習題第一題,又有

4、分割在a,c和c,b上的部分,分別構成對a,c和c,b的分割,記為,則有 這就證得f在a,b和b,c上都可積. 在證得上面結果的基礎上最后來證明等式(3).為此對a,b作分割T,恒使點C為其中的一個分點,這時T在a,c與c,b上的部分各自構成對a,c與c,b的分割,分別記為.由于 因此當時,對上式取極限,就得到(3)式成立. 注 性質4及公式(3)稱為關于積分區(qū)間的可加性.當時,(3)式的幾何意義就是曲邊梯形面積的可加性.如圖9 10所示,曲邊梯形AabB的面積等于曲邊梯形AacC的面積與CcbB的面積之和. 按定積分的定義,記號只有當ab時才有意義,而當a=b或 ab時本來是沒有意義的.但為

5、了運用上的方便,對它作如下規(guī)定: 規(guī)定1 當a=b時，令 規(guī)定2 當ab時，令 有了這個規(guī)定之后，等式（3）對于a、b、c的任何大小順序都能成立。例如，當 abc時，只要f在a，c上可積，則有 = 性質5 設f為a，b上的可積函數。若則 （4） 證 由于在a，b上，因此f的任一積分和都為非負。由f在a，b上可積，則有 推論（積分不等式性）若f與g為a，b上的兩個可積函數，且a，b，則有 （5） 證 令Fa，b，由性質2知道F在a，b上可積，且由性質5推得 不等式（5）得證.性質6 若f在a，b上可積，則在a，b上也可積，且 （6）證 由于f在a，b上可積，故任給0，存在某分割T，使得由絕對值不

6、等式 可得知于是有 從而證得在a,b可積。 再由不等式應用性質5（推論），即證得不等式（6）成立。 注 這個性質的逆命題一般不成立，例如 在0，1上不可積（類似于狄利克雷函數）；但它在0，1上可積。 例1 求其中 解 對于分段函數的定積分，通常利用積分區(qū)間可加性來計算，即 注1 上述解法中取其中被積函數在x=0處的值已由原來的由§3習題第3題知道這一改動并不影響f在-1，0上的可積性和定積分的值。 注2 如果要求直接在-1，1上使用牛頓一菜布尼茨公式來計算這時F（x）應取怎樣的函數？讀者可對照§2習題第3題來回答。例2 證明：若f在a,b上連續(xù)，且 證 用反證法。倘若有某x

7、0a,b使f則由連續(xù)函數的局部保號性，存在的某鄰域，使在其中由性質4和性質5推知 這與假設相矛盾。所以 。 注 從此例證明中看到，即使f為一非負可積函數，只要它在某一點處連續(xù)，且則必有（至于可積函數必有連續(xù)點，這是一個較難證明的命題，讀者可參閱§6習題第7題.）二 積分中值定理定理9.7 （積分中第一中定理） 若f在a,b上連續(xù)，則至少存在一點，使得 （7）證 由于f在a,b上連續(xù)，因此存在最大值M和最小值m.由,使用積分不等式性質得到 或再由連續(xù)函數的介值性，至少存在一點使得 這就證得（7）式成立。 積分第一中值定理的幾何意義：如圖9 11所示，若f在a,b上非負連續(xù)，則y=f()

8、在a,b上的曲邊梯形面積等于以（）所示的為高，a,b為底的矩形面積。而則可理解為在區(qū)間a,b上所有函數值的平均值。這是通常有限個數的算術平均值的推廣。注 把定理中f在a,b上連續(xù)，減弱為f在a,b上可積.定理結論為：若f在a,b上可積， 則存在 使.事實上，由，有 從而有令，則 且.性質7中的f()與這里的都可看作函數在區(qū)間a,b上所有函數值的平均值。例3 試求在0，上的平均值。解 所求平均值為 定理9.8（推廣的積分第一中值定理）若f與g都在a,b上連續(xù)，且g(x)在a,b上不變號，則至少存在一點a,b，使得 （8）（當g(x)=1時，即為定理9.7）證 不妨設g(x)0，xa,b，這時有 其中M、m分別為f在a,b上的最大、最小值。由定積分的不等式性質，得到若則由上式知從而對任何a,b，（8）式都成立。若則得 由連續(xù)函數的介值性，必至少有一點a,b，使得 這就證得（8）式成立。注1 類似于定理9.7的注，本定理的結論亦可推廣