一種求解線性約束的非線性規(guī)劃神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法

1、計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，（）一種求解線性約束的非線性規(guī)劃神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法申蕓，呂詠梅，周永權(quán)，廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，南寧，（）：，：，：；摘要：針對(duì)線性約束的非線性規(guī)劃的求解問題，利用罰函數(shù)求解優(yōu)化問題的思想將其轉(zhuǎn)化為二次凸規(guī)劃，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，該方法是特性，定義所需的能量函數(shù)，從而使網(wǎng)絡(luò)收斂于唯一穩(wěn)定點(diǎn)最終實(shí)現(xiàn)線性約束的非線性規(guī)劃的求解。有效和正確的，且能推廣到含參的非線性規(guī)劃和多目標(biāo)規(guī)劃中去。關(guān)鍵詞：線性約束；非線性規(guī)劃；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；穩(wěn)定點(diǎn)：文章編號(hào)：（）文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：中圖分類號(hào)：引言考慮下述線性約束的非線性規(guī)劃：（，），則，使得，其中，原非線性規(guī)劃問題式（）轉(zhuǎn)化為與它等

2、價(jià)的：（）#（），%（），定義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的能量函數(shù)：!（）（）其中，是×（），（，矩陣，且秩，），（）是上的連續(xù)可微函數(shù)。式二次規(guī)劃和網(wǎng)絡(luò)（）代表了一大類優(yōu)化問題，如線性規(guī)劃、流問題等，因此實(shí)時(shí)求解它具有非常重要的應(yīng)用。近年來，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解優(yōu)化問題已取得了一些很好的成果，如文獻(xiàn)基于（）!"，"，"，"，"），"式中：是懲罰因子，（，），（）的最是的范數(shù)。顯然，式小值對(duì)應(yīng)于原非線性規(guī)劃的最優(yōu)解。因此，原非線性規(guī)劃等價(jià)于下列二次凸規(guī)劃：乘數(shù)方法建立了解約束優(yōu)化問題的網(wǎng)絡(luò)模型，該模型總能收斂于一個(gè)可行解但不能保證問題的最優(yōu)性；文獻(xiàn)

3、基于最優(yōu)性的充要條件來建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型；文獻(xiàn)基于罰函數(shù)求解約束優(yōu)化問題的網(wǎng)絡(luò)模型。本文擬在文獻(xiàn)的模型和方法的基礎(chǔ)上，提出一種解線性約束非線性凸規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，基于罰函數(shù)求解優(yōu)化問題的思想對(duì)其轉(zhuǎn)化為二次凸規(guī)劃，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)特性，定義所需的能量函數(shù)，從而使網(wǎng)絡(luò)收斂于唯一的穩(wěn)定點(diǎn)。%!（）（）要使網(wǎng)絡(luò)全局漸進(jìn)收斂于線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，首先保證網(wǎng)絡(luò)的能量函數(shù)是凸函數(shù)，其次保證網(wǎng)絡(luò)有唯一的、全局吸引的平衡點(diǎn)。為滿足第二項(xiàng)的要求，對(duì)能量函數(shù)做下述變換!（）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)考慮采用罰函數(shù)方法，首先，引進(jìn)個(gè)新的變量，（）則凸規(guī)劃式（）變?yōu)椋夯痦?xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（）；廣西自然科學(xué)基金（）。作者

4、簡介：申蕓（），女，主要研究方向：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用；呂詠梅（），女，碩士，主要研究方向：計(jì)算智能及其應(yīng)用；周永權(quán)（），男，博士，教授，主要研究方向：計(jì)算智能、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及應(yīng)用。收稿日期：修回日期：，（）計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用"（）（）加入松弛變量，則：（，），（，），故神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程：于是，構(gòu)造非線性規(guī)劃的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程：）（）（）!（）（）（），（）式中：是迭代步長，激勵(lì)函數(shù)保證了網(wǎng)絡(luò)輸出，能量函!。數(shù)中引理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式（）的平衡點(diǎn)是非線性規(guī)劃式（）的最優(yōu)解。引理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式（）是漸進(jìn)穩(wěn)定的，能唯一收斂到。由網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程知，網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)矩陣。根據(jù)文獻(xiàn)知，若（），則能量函數(shù)是函數(shù)，是全局吸引的，

5、其中表示權(quán)矩陣中元素絕對(duì)值的最大值。經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，本神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型同樣適用于線性約束的參數(shù)非線性規(guī)劃的求解問題，即：&()"（），（），（）。），模型取初始點(diǎn)：（，），（）。模型迭代次后收斂于（，），目標(biāo)值（，）。本例的理論值為（，）。圖給出、隨迭代次數(shù)的變化情況。例關(guān)于線性約束含有參數(shù)的非線性規(guī)劃：（，），（，）（）（，），-.式中：是×（），（，矩陣，且秩，），（，），+，（，）是（，）。初始化：（，）取任意的初值，模型迭代次后收斂，（）。（，（，）。圖給出目，），最小目標(biāo)值為標(biāo)值隨的變化曲線，圖給出能量函數(shù)隨的變化曲線。上的連續(xù)可微函數(shù)。要運(yùn)用本文中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

6、，只需把的每一個(gè)分量看作變量的一個(gè)分量，則（，），同時(shí)轉(zhuǎn)化到大于零的區(qū)間上求解即可。在多目標(biāo)規(guī)劃的眾多方法中有一個(gè)叫功效系數(shù)法，這個(gè)方法中的系數(shù)（權(quán)重），（，），是不容易確定的，大多情況下是必須事先給定的，而且必須滿足（,結(jié)論非線性規(guī)劃的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求法的關(guān)鍵是模型的算法是否收），斂。本文正是利用線性約束條件，建立相應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，針對(duì)線性約束的非線性規(guī)劃的求解問題，利用罰函數(shù)求解優(yōu)化問題的思想對(duì)其轉(zhuǎn)化為二次凸規(guī)劃，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特性，定義所需的能量函數(shù)，從而使網(wǎng)絡(luò)收斂于唯一的穩(wěn)定點(diǎn)最終實(shí)現(xiàn)線性約束的非線性規(guī)劃的求解。但對(duì)于非線性約束的非線性規(guī)劃，本神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法是不適用的，如何改進(jìn)將是人們下

7、一步所要做的研究工作。但是如果將其權(quán)重看成參數(shù)，則多目標(biāo)問題就轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)參數(shù)非線性規(guī)劃問題，故本文的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同樣適用于多目標(biāo)規(guī)劃，但是約束條件必須是線性的。數(shù)值仿真例采用文獻(xiàn)中的例子：（，）（）參考文獻(xiàn)：，：，（下轉(zhuǎn)頁），張華：基于的等角插補(bǔ)明暗處理的軟件實(shí)現(xiàn)，（）坐標(biāo)，進(jìn)而完成渲染管道中所有的變換運(yùn)算。然后在偽像素級(jí)利用等角插補(bǔ)公式計(jì)算等角插補(bǔ)明暗處理。渲染管道的計(jì)算由于渲染管道的各級(jí)運(yùn)算類似，故本文舉透視投影變換為例，設(shè)前一級(jí)變換的結(jié)果坐標(biāo)為（，），根據(jù)文獻(xiàn)，透視變換投影矩陣為：!"""""""""

8、""""""""#其中：、分別是遠(yuǎn)近裁剪平面的坐標(biāo)；、分別是上下裁剪平賣的坐標(biāo)，、分別是右左裁剪平面的坐標(biāo)。那么透視投影變換的變換運(yùn)算為：!$""%（）%""%""%$""%!%""%"%"%""%（）%"%""%"%""%""%"%（）"%"%"%"

9、;"%"%"%"（）%"%""%"%"%""%#&""%""%""%#&&其代碼如下所示。（，）$%&其中為漫反射系數(shù)，為簡化起見，本文假設(shè)為常數(shù)，且設(shè)光源為平行光（如太陽光）。（）計(jì)算由第章的方法，可以得到相應(yīng)的插補(bǔ)角，那么據(jù)文獻(xiàn)的等角插補(bǔ)明暗處理公式，得到插補(bǔ)點(diǎn)的法向量：（）（）因此。（）實(shí)驗(yàn)由于三角形是渲染的基本單元，本文以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)（，），（，）和（，）為例，通過上述渲染管道和等角插補(bǔ)明暗處理的運(yùn)算，得到如圖所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。另外由得出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖所示，可以看出兩圖視覺效果相同。輸入?yún)?shù)分別透視投影變換矩陣，前一級(jí)變換的結(jié)果坐標(biāo)，輸出參數(shù)存入；，；臨時(shí)變量，暫存變換結(jié)果；（；）結(jié)語本文通過分析渲染管道和等角插補(bǔ)明暗處理，用語言實(shí)現(xiàn)了渲染管道的硬件計(jì)算部分，同時(shí)用語言實(shí)現(xiàn)了等角插補(bǔ)明暗處理，并給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。本文的實(shí)現(xiàn)可為渲染算法的研究和實(shí)現(xiàn)提供參考。參考文獻(xiàn)：，（）：，；輸出結(jié)果等角插補(bǔ)明暗處理給定一光照模型和光源，然后用掃描線和等角插補(bǔ)公式來，（）：，計(jì)算等角插補(bǔ)明暗處理。光照模型及光源本文采用簡單的光照模型，其模型示意圖