多邊形面積計算的復習

1、多邊形面積計算的復習教學設計一、教學目標：1、進一步理解并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，能應用公式計算這些圖形的面積，并解決一些簡單的實際問題。2、通過回憶、交流，將“多邊形的面積”這個單元所學的知識進行系統(tǒng)復習，形成完整知識體系；結合練習，加深對所學知識的理解，提高應用所學知識解決實際問題的能力。3、感受復習的必要性與重要性，逐步形成學生自己整理所學知識的意識和良好的學習習慣。二、教學重難點：歸納整理本單元所學的面積公式，能正確應用這些面積公式解決實際問題。三、教學準備：多媒體課件，作業(yè)紙，多邊形四、教學環(huán)節(jié)：一、回憶舊知課前談話：同學們，這個單元我們學習了平行四邊形、三角形、梯形

2、的面積及其計算。大家不僅要會利用面積公式求面積，還要掌握面積公式之間的聯(lián)系。今天我們就來復習這部分知識。（一）復習面積公式老師在黑板上畫出長方形后提問：長方形的面積公式是什么？（長方形面積=長×寬S=ab）板書：教師提問：“根據(jù)長方形的面積怎樣推導出平行四邊形、三角形、梯形面積公式呢？”讓學生互相說一說。學生討論后，教師指名讓學生說一說是怎么推導平行四邊形、三角形、梯形面積公式的？學生邊回答，教師邊板書出示如下圖形：隨后教師將這些圖形用連接起來。使學生看到這些公式的聯(lián)系。教師提問：在推導平行四邊形、三角形和梯形面積公式的時候，我們運用了什么方法？學生回答后教師小結：推導平行四邊形、三

3、角形、梯形面積公式。根據(jù)轉(zhuǎn)化的思想，運用了割補平行、旋轉(zhuǎn)平移的方法，把所求的圖形面積轉(zhuǎn)化為學過的圖形面積進行推導，這是一個重要的方法，以后學習新知識也要用這個方法。教學意圖：使學生清楚面積公式的算理，溝通知識之間的聯(lián)系，而不是機械地識記公式。1、回憶學習過的多邊形。（長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形）師：同學們，前段時間我們學習了多邊形的面積，俗話說“溫故而知新”，今天這節(jié)課我們就一起將多邊形的面積進行系統(tǒng)的整理與復習。（教師指名學生回答，并根據(jù)回答將多邊形粘貼在黑板上）2、回憶多邊形的面積。師：我們學習了這么多的多邊形，那他們的面積是怎么計算的呢？能不能挑一個你最喜歡的來說一說。（教

4、師指名學生回答，并將計算公式板書，寫在相應圖形下面）【評析：教學中，不是由教師直接給出面積公式的復習內(nèi)容，讓學習被動接受。而是大膽放手，讓學生自主回憶己學過的多邊形面積公式予以匯報、展示成果。尊重學生的需要，尊重學生的主體地位。】二、探討面積公式的推導及知識間的聯(lián)系。1、探討平行四邊形、三角形、梯形面積之間的聯(lián)系。師：我們在三年級的時候?qū)W習了長方形和正方形的面積，現(xiàn)在我們主要來探究平行四邊形、三角形、梯形面積之間的聯(lián)系。問題a：請仔細觀察平行四邊形、三角形、梯形面積的計算公式，它們有什么相同點？（都要乘高）問題b：三角形和梯形面積的計算有什么相同點？（都要除以2）問題c：三角形面積的計算為什么

5、要除以2？學生回答說：因為兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。此時，當學生說道這個點的時候，教師就邀請這位同學到臺前來拼一拼，并且要他說一說，拼成的三角形和平行四邊形有什么聯(lián)系。（三角形和拼成的平行四邊形是等底等高，拼成的平行四邊形的面積是三角形面積的2倍，三角形的面積是拼成平行四邊形面積的二分之一）問題d：梯形面積的計算為什么要除以2？（方法同問題c）2、建構多邊形面積計算的結構圖，體會新舊知識間的密切聯(lián)系。師：現(xiàn)在，我想研究平行四邊形、三角形和梯形的面積，你首先會選擇哪個圖形來進行研究呢？此處，大部分學生都會選擇平行四邊形，教師根據(jù)學生的回答，將平行四邊形粘貼在黑板上，并追問為什么

6、？學生會說，因為三角形和梯形的面積都是根據(jù)平行四邊形的面積推導出來的。教師根據(jù)學生的回答將三角形和梯形也粘貼出來，并打上箭頭，表示推導過程。（如下圖）師：老師這里還有一個長方形和一個正方形，你覺得擺在上面位置好呢？你能不 能像老師一樣來擺一擺，并標上箭頭呢？（學生上臺操作，并說明理由）因為平行四邊形的面積是根據(jù)長方形的面積推算出來的，所以把長方形擺在平行四邊形的下面，正方形的面積是根據(jù)長方形的面積推算出來的，所以將正方形擺在長方形的旁邊。（如上圖）師：同學們，看到這幅結構圖，你想到了什么？（此處，教師用簡筆畫的形式將結構圖描成一顆大樹的形狀，學生就很清楚了）師：我們將多邊形的面積建立起向大樹一

7、樣的聯(lián)系，長方形和正方形相當于樹根，平行四邊形相當于樹干，三角形和梯形相當于樹枝。說明知識之間存在著十分緊密的聯(lián)系，新的知識可以轉(zhuǎn)化為舊的知識學習，舊的知識是學習新知識的基礎?！驹u析：復習課上教師沒有讓學生機械地背誦公式，而是讓學生通過擺圖形，找相同點，回憶推導過程，并由“一棵大樹圖怎樣擺圖形位置”這一問題展開討論，推動學生自主地把各種平面圖形的面積計算之間的關系聯(lián)系起來。讓學生通過操作、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，順利地形成合理的認知結構?！拷ㄗh：在這兩個環(huán)節(jié)中，可否把回憶面積公式以及圖形面積之間的推導過程放手讓學生自己課前先整理，課上再進行交流，指導，這樣讓學生有一個自主梳理個機會，

8、集體匯報交流時可以進行自我的查漏補缺。三：練習接下來，我們來做幾道聯(lián)系，看看你從中又能發(fā)現(xiàn)什么。1、每一個方格的邊長為1厘米，計算平行四邊形和三角形的面積。 A：認真觀察，說一說平行四邊形和三角形有什么聯(lián)系？（等底等高）B：計算它們的面積并說一說他們之間面積有什么聯(lián)系？（等底等高的三角形面積是平行四邊形面積的一半，平行四邊形面積是三角形面積的2倍）C：變換圖形兩次，說出兩個三角形的面積。（如下圖）     D：為什么能一眼就看出他們的面積？（因為等底等高三角形面積相等）E：學生在作業(yè)紙上畫一個與作業(yè)紙上三角形面積相等的三角形。可繼續(xù)提

9、問：畫一個三角形，面積是平行四邊形面積的一半2、判斷題。（指名學生回答，并說出理由。）A、三角形的面積是平行四邊形面積的一半。B、兩個面積相等的三角形可以拼成一個平行四邊形。3、求下面兩個梯形的面積。A、學生計算，之后指名學生匯報結果，教師板書。B、為什么這兩個梯形的形狀不一樣，但面積卻相同呢？（上底+下底的和相等，高相等）C、你認為怎樣的梯形的面積會和這兩個梯形的面積相等？能不能舉例說明。（上底+下底的和相等，高相等）D、根據(jù)學生舉出的例子，多媒體課件展示。師：如果繼續(xù)變下去將會出現(xiàn)什么情況？（變成三角形）師：當梯形的上底變成0以后，梯形就演變成了一個三角形。繼續(xù)發(fā)生變化。 

10、60;師：如果繼續(xù)變下去將會出現(xiàn)什么情況？（變成三角形）師：當梯形的上底變成0以后，梯形就演變成了一個三角形。繼續(xù)發(fā)生變化。師：當梯形上底和下底相等的時候，梯形就要變成了一個平行四邊形。E：將梯形、三角形、平行四邊形的面積公式統(tǒng)一成梯形面積公式的形式。                 S  =（a+b）× h÷ 2     &#

11、160;                           （上底為0）S   =（a+0）× h ÷ 2            

12、0;           （上底和下底相等）S   =（a+a）× h ÷ 2【評析：在練習中，教師設計了基本題，即計算各種圖形的面積的練習；變式題，即判斷正誤，再次加深理解面積公式；開放題，即聯(lián)系圖形之間的關系，運用知識解決問題。這樣既鞏固了本節(jié)課所學知識，又把數(shù)學和生活聯(lián)系起來，讓學生人人學習有價值的數(shù)學?！拷ㄗh：可再穿插些課外知識，如九章算術的割補知識。四、小結這節(jié)課你有什么收獲？（學生自由回答）教師小結：這節(jié)

13、課，我們復習了多邊形面積的計算，我們將它們建構成了向大樹一樣的聯(lián)系，長方形和正方形相當于樹根，平行四邊形相當于樹干，三角形和梯形相當于樹枝。說明知識之間存在著十分緊密的聯(lián)系，新的知識可以轉(zhuǎn)化為舊的知識學習，舊的知識是學習新知識的基礎。后來在練習中，我們通過把梯形的底發(fā)生變化，將三角形和平行四邊形的面積統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成梯形的面積來計算?？磥頊毓收娴哪軌蛑?。 總評：本節(jié)課的復習內(nèi)容為平行四邊形的面積、三角形的面積和梯形的面積計算，以及一些相關的求三種圖形的底或高的計算。本節(jié)課的目標是通過整理和復習，使學生進一步理解和掌握多邊形面積計算公式,能正確、靈活地運用公式進行有關計算，解決一些簡單的實

14、際問題。并且通過操作、觀察、比較，發(fā)展學生的空間觀念，建立良好的知識結構，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。在落實本節(jié)課的預設目標外，教師還做到了以下幾點：一、圍繞主線，層次分明。首先復習它的面積公式以及面積公式的推導過程，通過把平行四邊形分割成兩個三角形或梯形，復習三角形和梯形的面積公式，通過板書讓學生能直觀理解每個圖形面積之間的聯(lián)系。這個環(huán)節(jié)就是圍繞著平行四邊形的面積公式與其它幾個圖形的紐帶關系，很好的把各種圖形的面積串聯(lián)在一起，形成了一個知識的網(wǎng)絡。接著，又一次充分的利用平行四邊形這個圖形，通過把它分成三角形、平行四邊形和梯形三份，分別計算面積。又一次的利用這個平行四邊形，通過不斷的縮短它的底邊，完美

15、的演示了由平行四邊形到梯形再到三角形的動態(tài)變化過程，讓學生在不斷的圖形變化中深刻的體會圖形之間的某種必然聯(lián)系，很好的滲透一種極限的思想。二、有效的發(fā)展學生的思維能力在平行四邊形演變到梯形再到三角形的過程中，充分的給學生以時間去用語言描述各個圖形的變化過程，并且通過上底的變化經(jīng)過，讓學生感悟到實際上就是梯形的上底在不斷邊長或變短的過程中形成了梯形、平行四邊形和三角形三種圖形，很好的詮釋了用梯形的面積計算公式去概括三種圖形面積計算公式的內(nèi)在原由。不僅如此，當梯形的面積公式拓展到等差數(shù)列求和公式時，特別是學生計算從1一直加到10時，明明堆成的圖形看起來是三角形，為什么用梯形的面積公式去計算，接著又問

16、，能否用三角形的面積公式去計算，讓學生在不斷的挫折與挑戰(zhàn)中逐步的完善自己的思維，靈活的運用各種方法去解決問題?！窘虒W思考】      聽完這節(jié)課的過程，也是筆者不斷追問并試圖厘清“復習課的教學目標如何定位？怎樣達成？”的過程。    復習課的基本目標理中求清。        既是復習，其基本目標必然是對一個階段已學的內(nèi)容進行梳理，讓學生將頭腦中點狀的知識結構化、系統(tǒng)化，同時，抓住學生關鍵性的認知漏洞或誤區(qū)，讓其暴露，

17、進 行彌補，使學生學得更全面、更完整。可見，復習梳理，理的是知識，清的是認識。既然如此，教師需要思考以下兩個問題：    （）已學過的知識，是每一個學生都真正認識的嗎？顯然，當我們立足于每一個學生，我們都會清晰地看到，個體之間的差異是客觀存在的。同樣的內(nèi)容，同樣的教學，在不同的學生那兒，并不會達到同樣的理解和把握。所以，復習和梳理，首先應該是學生自我整理的過程。一旦這樣的個體行為，變成一種集體式的步伐共進時，就很容易將梳理的過程變成“炒冷飯”的局面，變成一個學生興致索然、效果了了的過程。如此看來，教材中提出的要求：回想一下，我們學習了哪些平面圖形的面積計

18、算？聯(lián)系各圖形面積公式的推導過程，用你認為合適的方式整理出來。比較恰當?shù)慕虒W方式應是，在此要求下課前自主梳理，根據(jù)各自梳 理 的 內(nèi) 容 和 方 式，再 進 行 交 流 和引導。我們可以預想的是，學生自主梳理中可能出現(xiàn)三種不同的層次：最低層次，僅僅理出了各種平面圖形面積計算的方法或公式；一層次，不僅理了面積計算的方法，還理了各圖形面積公式的推導過程；最高層次，能根據(jù)各圖形面積公式的推導過程用個性化的方式恰當?shù)乇磉_出它們之間的聯(lián)系。應該說，這三種層次反映出前期學習中不同學生過程性目標的達成度，折射出不同學生對這部分內(nèi)容的掌握是機械性學習的結果，還是理解性學習的成分居多。照這樣的分析，課堂上對各自

19、梳理內(nèi)容的交流和引導，按“理結論理過程理聯(lián)系”的脈絡予以展開，其意義，就是在“理”中讓不同層次的學生都獲得對各圖形面積計算的清晰認識。對于第三層次的學生來說，梳理后的交流，是在比照中豐富將知識結構化的經(jīng)驗；對于第二層次的學生來說，他們收獲的，還有更強烈的將知識結構化的意識；而對于第一層次的學生而言，交流的過程，還有幫助他們理解結論產(chǎn)生過程的功效。  （）在“知道的”當中，有普遍性的疏漏或誤區(qū)嗎？     小學階段，圖形面積的推導過程，主要是聚焦影響面積的兩個長度變量，通過溝通不同圖形長度變量間的聯(lián)系來獲得各圖形面積計算方法。

20、從某種意義上說，這容易讓學生對等底等高和面積相等（或面積是一半）的內(nèi)涵和外延存在一定程度的混淆與模糊理解。而對于等底等高與面積相等（或面積是一半）之間的密切聯(lián)系、“等底等高完全相等”等關鍵點，學生會在前期的學習和變式練習中產(chǎn)生比較強烈的印象。但同時，也容易將決定“面積 相 等”的 范 疇 就 此 窄 化 為 “等 底 等高”?；谶@樣的學情分析，基本練習后的變式，從三角形的變形予以展開?！叭绻嬕粋€三角形，它的面積是和方格中三角形面積一樣，你行嗎？用最快的速度在方格紙上畫出一個這樣的三角形”。果然，速度要求之下，學生呈現(xiàn)的第一想法都是畫一個和它等底等高的三角形，稍有不同的，只是形 狀 的 差

21、異。如此看來，抓住“面積相等” “等底等高”之間的不同，讓學生在畫中關注“形”，在“形”中聚焦“數(shù)”，是有助于學生厘清面積與影響其變化的長度變量之間的關系的。 復習課的核心宗旨通中達融。  復習課除了梳理、補漏、糾錯，更重要的意義是什么？布魯納“每一門學科都有其自身的結構”“教知識不如教結構”的觀點，可以給我們以啟發(fā)。既是對一個階段所學內(nèi)容的整理和復習，顯然，將所學知識彼此間建立聯(lián)系，形成結構，是必 須 的。這 也 是 復 習 課 的要 旨所在。（）聚焦學習過程，需要“通”什么？   如前所述，梳理各多邊形面積計算的方法和推導過程，形

22、成網(wǎng)絡圖。這是對一單元學習內(nèi)容的疏通與架構，是幫助學生形成認知結構必做之事。這是“通”的首要環(huán)節(jié)。 （）回望認知基礎，可以“通”什么？      除此之外，回望已學的內(nèi)容，面積的計算是由面積的意義這一“根基”上生長出來的。三年級認識面積時，學生理解了面積的含義。而對于面積的一個重要特性面積的可加性，在前面具體內(nèi)容的學習中（如平行四邊形面積公式的推導），往往是就事論事式的通過某個例子的觀察比較，作為一種公認的現(xiàn)象，讓學生知道圖形變形前后大小未變。因著這樣的思考，才有了本節(jié)課在“畫一個是三角形面積和紙上三角形面積一樣”的要求之下

23、，在對學生呈現(xiàn)出的各種“底不等高不等但面積相等”的數(shù)據(jù)的追問“這些三角形既不等底又不等高，怎么面積就相等了呢？”這樣的設計，凸顯了“形”與“算”之間的聯(lián)系。同時，可呈現(xiàn)各種割補法之后的追問“大家有沒有想過，為什么這些圖形可以切切、補補、拼拼，變成別的圖形來推導它的面積計算方法呢？”亦是讓學生對“平面圖形切割拼補后不改變面積的大小”這樣的經(jīng)驗作出一個綜合性的闡述。  （）放眼后續(xù)發(fā)展，還可“通”什么？     放眼整個 關 于 平 面 圖 形 面 積 計 算 的 研究，各種圖形面積公式的推導方法和路徑其實是多元的?；趯W生已有

24、的知識基礎，小學階段的教材，都采用了借助兩個全等的三角形或梯形來推導它們的面積 公 式。但 其實，割補法的普適性和生命力更強。這一點，一千七百多年前劉徽在九章算術中所呈現(xiàn)的各種用割補法進行面積推導的路徑亦可作為佐證。也正因為此，不同版本的教材都在“你知道嗎？”等欄目中或多或少地予以提示和拓展。對于這樣的“節(jié)點”，教師自然都不會放過。那么，怎么處理？作為一個知識點呈現(xiàn)，是一種方式；作為另一種不同的轉(zhuǎn)化方法予以演示，也是一種方式；在復習課中，作為一個內(nèi)通外聯(lián)、留有韻味的載體，也是一種方式。本節(jié)課中，筆者嘗試從方格圖上梯形的變形入手，通過直觀圖形和抽象公式的比較，打通梯形和三角形的聯(lián)系，教師可在此基

25、礎上，介紹九章算術中幾種主要的割補推導的方法，引發(fā)學生對其他轉(zhuǎn)化方式的遐想和思考，并為今后研究這些轉(zhuǎn)化方式的合理性留下伏筆“為什么任意一個三角形或梯形，都可以割割補補變成長方形  呢？或 者 說，怎 么 剪 拼 才 能 變成 長 方形呢？”筆者以為，“內(nèi)通”認識成框架，“前通”結構找皈依，“后通”節(jié)點促生長，應是復習課需要把 握 的 關 鍵。 只 有 實 現(xiàn) 這 三 個 方 向  的“通”，才有可能幫助學生到達“融”的境界，讓學生在知識的學習中豐富認識并積淀可持續(xù)發(fā)展的能量。        復習課的本質(zhì)意義思中得慧?！爸R是他人經(jīng)驗的累積。智慧是自己經(jīng)驗的累積?！蹦敲矗绾巫寣W生在數(shù)學學習中生長智慧？數(shù)學的本質(zhì)是思維。顯然，讓學生在思考中獲得思考的經(jīng)驗，從而發(fā)展其思維、啟迪其智慧，是數(shù)學教學的重要價值所在。故此，