第9煉零點(diǎn)存在的判定與證明

1、資料來源：QQ群 545423319 群文件 共享第9煉 零點(diǎn)存在的判定與證明一、基礎(chǔ)知識：1、函數(shù)的零點(diǎn)：一般的，對于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的零點(diǎn)。2、零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即，使得 注：零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點(diǎn)不一定存在3、函數(shù)單調(diào)性對零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響：如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個(gè)。因此分析一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)4、幾個(gè)“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）（1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個(gè)零點(diǎn)。要分析的性質(zhì)與圖像，

2、如果單調(diào)，則“一定”只有一個(gè)零點(diǎn)（2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒有零點(diǎn)（3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖像影響。如果單調(diào)，則一定小于05、零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號：是一個(gè)在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時(shí)，；時(shí)，6、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）可直接判斷的幾個(gè)結(jié)論： 若為增（減）函數(shù)，則也為增（減）函數(shù) 若為增函數(shù)，則為減函數(shù)；同樣，若為減函數(shù)，則為增函數(shù) 若為增函數(shù)，且，則為增函數(shù)（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：判斷的單調(diào)性可分別判斷與的單調(diào)性（注意要利用的范圍求出的范圍），若，均為增函數(shù)或均為減函數(shù)，則單調(diào)遞增；若

3、，一增一減，則單調(diào)遞減（此規(guī)律可簡記為“同增異減”）（3）利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷求出單調(diào)區(qū)間從而也可作出圖像7、證明零點(diǎn)存在的步驟：（1）將所證等式中的所有項(xiàng)移至等號一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)（2）判斷是否要對表達(dá)式進(jìn)行合理變形，然后將表達(dá)式設(shè)為函數(shù) （3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點(diǎn)函數(shù)值異號的區(qū)間（4）利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在例1：函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 思路：函數(shù)為增函數(shù)，所以只需代入每個(gè)選項(xiàng)區(qū)間的端點(diǎn)，判斷函數(shù)值是否異號即可解： ， ，使得 答案：C例2：函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 思路：先能判斷出為增函數(shù)，然后利用零

4、點(diǎn)存在性判定定理，只需驗(yàn)證選項(xiàng)中區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號即可。時(shí)，從而，所以，使得 答案：A小煉有話說：（1）本題在處理時(shí)，是利用對數(shù)的性質(zhì)得到其的一個(gè)趨勢，從而確定符號。那么處理零點(diǎn)問題遇到無法計(jì)算的點(diǎn)時(shí)也要善于估計(jì)函數(shù)值的取向。（2）本題在估計(jì)出時(shí)，后，也可舉一個(gè)具體的函數(shù)值為負(fù)數(shù)的例子來說明，比如。正是在已分析清楚函數(shù)趨勢的前提下，才能保證快速找到合適的例子。例3：（2010，浙江）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（ ）A. B. C. D. 思路：條件給出了的零點(diǎn)，且可以分析出在為連續(xù)的增函數(shù)，所以結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得 答案：B例4：已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)，則_思路：由的范圍和解析式可判斷出為

5、增函數(shù)，所以是唯一的零點(diǎn)?？紤]，所以，從而 答案： 例5：定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，若的“新駐點(diǎn)”分別為，則（ ）A. B. C. D. 思路：可先求出，由“新駐點(diǎn)”的定義可得對應(yīng)方程為：，從而構(gòu)造函數(shù)，再利用零點(diǎn)存在性定理判斷的范圍即可解：所以分別為方程的根，即為函數(shù)：的零點(diǎn) 在單調(diào)減，在單調(diào)增，而，時(shí)，而 答案：C例6：若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對值不超過， 則可以是（ ）A B C D思路：可判斷出單增且連續(xù)，所以至多一個(gè)零點(diǎn)，但的零點(diǎn)無法直接求出，而各選項(xiàng)的零點(diǎn)便于求解，所以考慮先解出各選項(xiàng)的零點(diǎn)，再判斷的零點(diǎn)所在區(qū)間即可解：設(shè)各選項(xiàng)的零點(diǎn)分別為，則有 對于，可得： ，所

6、以C選項(xiàng)符合條件答案：C例7：設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 思路：可先根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷出的取值范圍：，從而；，從而 ，所以有，考慮，且發(fā)現(xiàn)為增函數(shù)。進(jìn)而，即 答案：A例8：已知定義在上的函數(shù)，求證：存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于 思路：本題要證兩個(gè)要素：一個(gè)是存在零點(diǎn)，一個(gè)是零點(diǎn)唯一。證明零點(diǎn)存在可用零點(diǎn)存在性定理，而要說明唯一，則需要函數(shù)的單調(diào)性解： 在單調(diào)遞增 ，使得 因?yàn)閱握{(diào)，所以若，且 則由單調(diào)性的性質(zhì)：與題設(shè)矛盾所以的零點(diǎn)唯一 小煉有話說：如果函數(shù)在單調(diào)遞增，則在中，即函數(shù)值與自變量一一對應(yīng)。在解答題中常用這個(gè)結(jié)論證明零點(diǎn)的唯一性例9：（2011年，天津

7、）已知，函數(shù)（的圖像連續(xù)不斷）（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）當(dāng)時(shí)，證明：存在，使得 解：（1） 令 解得： 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）思路：由（1）可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而從圖像上看必然會(huì)在存在使得，但由于是證明題，解題過程要有理有據(jù)。所以可以考慮將所證等式變?yōu)椋瑯?gòu)造函數(shù)，從而只需利用零點(diǎn)存在性定理證明有零點(diǎn)即可。解：設(shè) 由（1）可得：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 ，因?yàn)?根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得：，使得 即存在，使得小煉有話說：（1）在證明存在某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與常數(shù)相等時(shí)，往往可以將常數(shù)挪至函數(shù)的一側(cè)并構(gòu)造函數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化成為證明函數(shù)存在零點(diǎn)的問題。（2）本題在尋找小于零的點(diǎn)時(shí)，先觀察表達(dá)式的特點(diǎn)：，意味著只要取得足夠大，早晚比要大的多，所以只需要取較大的自變量便可以找到的點(diǎn)。選擇也可，選擇等等也可以。例10：已知函數(shù)，其中常數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證： 思路：若要證零點(diǎn)位于某個(gè)區(qū)間，則考慮利用零點(diǎn)存在性定理，即證且，即只需判斷的符號，可先由存在兩個(gè)零點(diǎn)判斷出的取值范圍為 ，從而，