2016年10月24圓錐曲線(xiàn)解答題

1、2（2016天津）設(shè)橢圓+=1（a）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，已知+=，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與橢圓交于B（B不在x軸上），垂直于l的直線(xiàn)與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，若BFHF，且MOA=MAO，求直線(xiàn)l的斜率【解答】解：（1）由+=，得+=，即=，aa2（a23）=3a（a23），解得a=2橢圓方程為；（2）由已知設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x2），（k0），設(shè)B（x1，y1），M（x0，k（x02），MOA=MAO，x0=1，再設(shè)H（0，yH），聯(lián)立，得（3+4k2）x216k2x+16k212=0=（16k2）24（3+4k2）（16k21

2、2）=1440由根與系數(shù)的關(guān)系得，MH所在直線(xiàn)方程為yk（x02）=（xx0），令x=0，得yH=（k+）x02k，BFHF，即1x1+y1yH=1（k+）x02k=0，整理得：=1，即8k2=3k=或k=3（2016浙江）如圖，設(shè)橢圓C：+y2=1（a1）（）求直線(xiàn)y=kx+1被橢圓截得到的弦長(zhǎng)（用a，k表示）（）若任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓的離心率的取值范圍【解答】解：（）由題意可得：，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，得x1=0或x2=，直線(xiàn)y=kx+1被橢圓截得到的弦長(zhǎng)為：=（）假設(shè)圓A與橢圓由4個(gè)公共點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不

3、同的點(diǎn)P，Q，滿(mǎn)足|AP|=|AQ|，記直線(xiàn)AP，AQ的斜率分別為：k1，k2；且k1，k20，k1k2，由（1）可知|AP|=，|AQ|=，故：=，所以，（k12k22）1+k12+k22+a2（2a2）k12k22=0，由k1k2，k1，k20，可得：1+k12+k22+a2（2a2）k12k22=0，因此a2（a22），因?yàn)槭疥P(guān)于k1，k2；的方程有解的充要條件是：1+a2（a22）1，所以a因此，任意點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為：1a，e=得，所求離心率的取值范圍是：4（2016天津）設(shè)橢圓+=1（a）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A已知+=，其中O為原點(diǎn)，e為橢

4、圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與橢圓交于點(diǎn)B（B不在x軸上），垂直于l的直線(xiàn)與l交于點(diǎn)M，與y軸于點(diǎn)H，若BFHF，且MOAMAO，求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍【解答】解：（1）由+=，得，即，aa2（a23）=3a（a23），解得a=2橢圓方程為；（2）由已知設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x2），（k0），設(shè)B（x1，y1），M（x0，k（x02），MOAMAO，x01，再設(shè)H（0，yH），聯(lián)立，得（3+4k2）x216k2x+16k212=0=（16k2）24（3+4k2）（16k212）=1440由根與系數(shù)的關(guān)系得，MH所在直線(xiàn)方程為，令x=0，得，BFHF，即1x1+y1y

5、H=，整理得：，即8k23或5（2016山東）平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1（ab0）的離心率是，拋物線(xiàn)E：x2=2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn)（I）求橢圓C的方程；（）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線(xiàn)l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為D，直線(xiàn)OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線(xiàn)交于點(diǎn)M（i）求證：點(diǎn)M在定直線(xiàn)上；（ii）直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)G，記PFG的面積為S1，PDM的面積為S2，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)【解答】解：（I）由題意可得e=，拋物線(xiàn)E：x2=2y的焦點(diǎn)F為（0，），即有b=，a2c2=，解得a=1，c=，可得橢圓的方程為x2+4y2=1；（）（

6、i）證明：設(shè)P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的導(dǎo)數(shù)為y=x，即有切線(xiàn)的斜率為x0，則切線(xiàn)的方程為yy0=x0（xx0），可化為y=x0xy0，代入橢圓方程，可得（1+4x02）x28x0y0x+4y021=0，=64x02y024（1+4x02）（4y021）0，可得1+4x024y02設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中點(diǎn)D（，），直線(xiàn)OD的方程為y=x，可令x=x0，可得y=即有點(diǎn)M在定直線(xiàn)y=上；（ii）直線(xiàn)l的方程為y=x0xy0，令x=0，可得G（0，y0），則S1=|FG|x0|=x0（+y0）=x0（1+x02）；S2=|PM|x0|=（

7、y0+）=x0，則=，令1+2x02=t（t1），則=2+=（）2+，則當(dāng)t=2，即x0=時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）6（2016寧波校級(jí)模擬）已知拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)其交點(diǎn)為M（）證明為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫(xiě)出S=f（）的表達(dá)式，并求S的最小值【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=1，顯然AB斜率存在且過(guò)F（0，1）設(shè)其直線(xiàn)方程為y=kx+1，聯(lián)立4y=x2消去y得：x24kx4=0，判別式=16（k2+1）0x1+x2=4k，x1x2

8、=4于是曲線(xiàn)4y=x2上任意一點(diǎn)斜率為y=，則易得切線(xiàn)AM，BM方程分別為y=（）x1（xx1）+y1，y=（）x2（xx2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，聯(lián)立方程易解得交點(diǎn)M坐標(biāo)，xo=2k，yo=1，即M（，1）從而，=（，2），（x2x1，y2y1）=（x1+x2）（x2x1）2（y2y1）=（x22x12）2（x22x12）=0，（定值）命題得證這就說(shuō)明ABFM（）由（）知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S=|AB|FM|，（x1，1y1）=（x2，y21），即，而4y1=x12，4y2=x22，則x22=，x12=4，|FM|=因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)

9、y=1的距離，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=+2=（）2于是S=|AB|FM|=（）3，由2知S4，且當(dāng)=1時(shí)，S取得最小值47（2016四川）已知橢圓E：+=1（ab0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P（，）在橢圓E上（）求橢圓E的方程；（）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線(xiàn)l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，直線(xiàn)OM與橢圓E交于C，D，證明：MAMB=MCMD【解答】（）解：如圖，由題意可得，解得a2=4，b2=1，橢圓E的方程為；（）證明：設(shè)AB所在直線(xiàn)方程為y=，聯(lián)立，得x2+2mx+2m22=0=4m24（2m22）=84m20，

10、即設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），則，|AB|=x0=m，即M（），則OM所在直線(xiàn)方程為y=，聯(lián)立，得或C（，），D（，）則MCMD=而MAMB=（105m2）=MAMB=MCMD8（2016上海）雙曲線(xiàn)x2=1（b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線(xiàn)l過(guò)F2且與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)（1）直線(xiàn)l的傾斜角為，F(xiàn)1AB是等邊三角形，求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程；（2）設(shè)b=，若l的斜率存在，且（+）=0，求l的斜率【解答】解：（1）雙曲線(xiàn)x2=1（b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，a=1，c2=1+b2，直線(xiàn)l過(guò)F2且與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l的傾斜角為，F(xiàn)1AB是等邊三角

11、形，可得：A（c，b2），可得：，3b4=4（a2+b2），即3b44b24=0，b0，解得b2=2所求雙曲線(xiàn)方程為：x2=1，其漸近線(xiàn)方程為y=±x（2）b=，雙曲線(xiàn)x2=1，可得F1（2，0），F(xiàn)2（2，0）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線(xiàn)的斜率為：k=，直線(xiàn)l的方程為：y=k（x2），由題意可得：，消去y可得：（3k2）x2+4k2x4k23=0，=36（1+k2）0，可得x1+x2=，則y1+y2=k（x1+x24）=k（4）=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），（+）=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）（x1x2，y1y2）=0，可得x1+x2+4+（y

12、1+y2）k=0，得+4+k=0可得：k2=，解得k=±l的斜率為：±9（2016山東）已知橢圓C：+=1（ab0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2（）求橢圓C的方程；（）過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（0，m）（m0）的直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P（P在第一象限），且M是線(xiàn)段PN的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交C于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B（）設(shè)直線(xiàn)PM，QM的斜率分別為k，k，證明為定值；（）求直線(xiàn)AB的斜率的最小值【解答】解：（）橢圓C：+=1（ab0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2可得a=2，c=，b=，可得橢圓C的方程：；（）過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（0，m）（m0）的直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P（P在第一象限）

13、，設(shè)N（t，0）t0，M是線(xiàn)段PN的中點(diǎn)，則P（t，2m），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交C于另一點(diǎn)Q，Q（t，2m），（）證明：設(shè)直線(xiàn)PM，QM的斜率分別為k，k，k=，k=，=3為定值；（）由題意可得，m2=4t2，QM的方程為：y=3kx+m，PN的方程為：y=kx+m，聯(lián)立，可得：x2+2（kx+m）2=4，即：（1+2k2）x2+4mkx+2m24=0可得xA=，yA=+m，同理解得xB=，yB=，xAxB=k=，yAyB=k+m（）=，kAB=，由m0，x00，可知k0，所以6k+，當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)取等號(hào)此時(shí)，即m=，符合題意所以，直線(xiàn)AB的斜率的最小值為：10（2016上海）雙曲線(xiàn)x2=1（

14、b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線(xiàn)l過(guò)F2且與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)（1）若l的傾斜角為，F(xiàn)1AB是等邊三角形，求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程；（2）設(shè)b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率【解答】解：（1）若l的傾斜角為，F(xiàn)1AB是等邊三角形，把x=c=代入雙曲線(xiàn)的方程可得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為b2，由tanAF1F2=tan=，求得b2=2，b=，故雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±bx=±x，即雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±x（2）設(shè)b=，則雙曲線(xiàn)為 x2=1，F(xiàn)2（2，0），若l的斜率存在，設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y0=k（x2），即y=kx2k，聯(lián)立，可得（3k2）

15、x2+4k2x4k23=0，由直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則3k20，即k=36（1+k2）0x1+x2=，x1x2=|AB|=|x1x2|=4，化簡(jiǎn)可得，5k4+42k227=0，解得k2=，求得k=l的斜率為11（2016天津一模）已知橢圓C：+=1（ab0）的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為等于圓R：x2+（y2）2=4的直徑，過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線(xiàn)l與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，與圓R交于兩點(diǎn)M，N（）求橢圓C的方程；（）求證：直線(xiàn)RA，RB的斜率之和等于零；（）求|AB|MN|的取值范圍【解答】解：（）因?yàn)闄E圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓R：x2+（y2）2=4的直徑，所以2a=4，a=2； （1分）由離心率為，得e2=

16、，所以=，得b2=2；（2分）所以橢圓C的方程為+=1；（3分）（）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+1，與+=1聯(lián)立，消去y，得（1+2k2）x2+4kx2=0；設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，（5分）由R（0，2），得kRA+kRB=+=+=2k（+）=2k=2k=0（7分）所以直線(xiàn)RA，RB的斜率之和等于零；（8分）（）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，|AB|=2，|MN|=4，|AB|MN|=8；（9分）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，|AB|=|x1x2|=，|MN|=2=2，（11分）所以|AB|MN|=×2=4；因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（0，1），所以

17、直線(xiàn)l與橢圓C和圓R均交于兩點(diǎn)，令1+2k2=t，則t1，所以|AB|MN|=4=48，又y=4在t1時(shí)單調(diào)遞增，所以|AB|MN|=44，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，k=0等號(hào)成立；（13分）綜上，|AB|MN|的取值范圍是4，8（14分）12（2016衡陽(yáng)三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2的正方形（1）求橢圓的方程；（2）若C、D分別是橢圓長(zhǎng)的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足MDCD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P證明：為定值（3）在（2）的條件下，試問(wèn)x軸上是否存異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線(xiàn)DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存

18、在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，b2=2；橢圓方程為（4分）（2）C（2，0），D（2，0），設(shè)M（2，y0），P（x1，y1），直線(xiàn)CM：，代入橢圓方程x2+2y2=4，得（6分）x1=，（8分）（定值）（10分）（3）設(shè)存在Q（m，0）滿(mǎn)足條件，則MQDP（11分）（12分）則由，從而得m=0存在Q（0，0）滿(mǎn)足條件（14分）13（2016河?xùn)|區(qū)一模）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線(xiàn)l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B（）求橢圓C的方程；（）是否存直線(xiàn)l，滿(mǎn)足？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答

19、】解：（）設(shè)橢圓C的方程為，由題意得解得a2=4，b2=3，故橢圓C的方程為（）若存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件，由題意可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x2）+1，由得（3+4k2）x28k（2k1）x+16k216k8=0因?yàn)橹本€(xiàn)l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），所以=8k（2k1）24（3+4k2）（16k216k8）0整理得32（6k+3）0解得又，且，即，所以即所以，解得所以于是存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件，其的方程為14（2016南昌校級(jí)二模）已知直線(xiàn)l：y=kx+1（k0）與橢圓3x2+y2=a相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，記l與y軸的交點(diǎn)為C（）若k=1，

20、且|AB|=，求實(shí)數(shù)a的值；（）若=2，求AOB面積的最大值，及此時(shí)橢圓的方程【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），（）由得4x2+2x+1a=0，則x1+x2=，x1x2=，則|AB|=，解得a=2（）由，得（3+k2）x2+2kx+1a=0，則x1+x2=，x1x2=，由=2得（x1，1y1）=2（x2，y21），解得x1=2x2，代入上式得：x1+x2=x2=，則x2=，=，當(dāng)且僅當(dāng)k2=3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x2=，x1x2=2x22=2×，又x1x2=，則=，解得a=5所以，AOB面積的最大值為，此時(shí)橢圓的方程為3x2+y2=516（2016陜西校級(jí)模擬）已知F1、F

21、2分別是橢圓C：+y2=1的左、右焦點(diǎn)（1）若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，=，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線(xiàn)l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓方程為，知a=2，b=1，可得，設(shè)P（x，y）（x0，y0），則，又，聯(lián)立，解得，即為；（2）顯然x=0不滿(mǎn)足題意，可設(shè)l的方程為y=kx+2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，由=（16k）24（1+4k2）120，得，又AOB為銳角，即為，即x1x2+y1y20，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）0，又，可得k24又，即為，解得17（2

22、016威海一模）已知橢圓C：+=1（ab0）的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（1，）（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)與圓O：x2+y2=相切的直線(xiàn)l交橢圓C與A，B兩點(diǎn)，求OAB面積的最大值，及取得最大值時(shí)直線(xiàn)l的方程【解答】解：（1）由題意可得，e=，a2b2=c2，點(diǎn)（1，）代入橢圓方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有橢圓的方程為+y2=1；（2）當(dāng)k不存在時(shí)，x=±時(shí)，可得y=±，SOAB=××=；當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），將直線(xiàn)y=kx+m代入橢圓方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m23=0，x1+x2=，x

23、1x2=，由直線(xiàn)l與圓O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），|AB|=2，當(dāng)且僅當(dāng)9k2= 即k=±時(shí)等號(hào)成立，可得SOAB=|AB|r×2×=，即有OAB面積的最大值為，此時(shí)直線(xiàn)方程y=±x±118（2016河北區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓的焦距為2，一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)的兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，直線(xiàn)l1與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與直線(xiàn)x=4交于T點(diǎn)（i）求證：線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在直線(xiàn)OT上；（ii）求的取值范圍【解答】解：（）由橢圓得

24、，解得a=2，c=1，b=，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）（i）設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為：x=my+1，代入橢圓方程得（3m2+4）y2+6my9=0，則判別式=36m2+4×9（3m2+4）0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點(diǎn)G（x0，y0），則y1+y2=，y1y2=，則y0=（y1+y2）=，x0=my0+1=，即G（，），kOG=，設(shè)直線(xiàn)FT的方程為：y=m（x1），得T點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3m），kOT=，kOG=kOT，即線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在直線(xiàn)OT上；（ii）當(dāng)m=0時(shí)，PQ的中點(diǎn)為F，T（4，0），則|TF|=3，|PQ|=，當(dāng)m0時(shí)，|TF|=，|PQ|=12，則=（3

25、+），設(shè)t=，則t1，則y=3+=3t+=3（t+）在（1，+）為增函數(shù)，則y3+1=4，則（3+），綜上1，故求的取值范圍是1，+）19（2016石家莊二模）已知橢圓C：（ab0）的離心率為，過(guò)點(diǎn)M（1，0）的直線(xiàn)1交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，|MA|=|MB|，且當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，|AB|=（1）求橢圓C的方程；（2）若，2，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍【解答】解：（1）由題意可得，即，則a2=2b2，把x=1代入，得y=，則，聯(lián)立得：a2=2，b2=1橢圓C的方程為；（2）如圖，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l方程為y=k（x1），聯(lián)立，得（1+2k2）y2+2kyk2=0設(shè)A（x1，y1），B

26、（x2，y2），則，由|MA|=|MB|，得，（1x1，y1）=（x21，y2），則y1=y2，把代入消去y2得：，當(dāng)，2時(shí)，0，解得：|AB|=弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍為20（2016漳州二模）已知橢圓+=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別是點(diǎn)F1，F(xiàn)2，其離心率e=，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PF1F2面積的最大值為4（）求橢圓的方程；（）若A，B，C，D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)F1，=0，求|+|的取值范圍【解答】解：（）由題意知，當(dāng)P是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)PF1F2的面積取最大值；即；由離心率為得：；聯(lián)立解得a=4，c=2，b2=12；橢圓的方程為；（）由（）知F1（2，0）；，A

27、CBD；（1）當(dāng)直線(xiàn)AC，BD中一條直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，；（2）當(dāng)直線(xiàn)AC斜率為k，k0時(shí)，其方程為y=k（x+2），將該方程帶入橢圓方程并整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16k248=0；若設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則：；=；直線(xiàn)BD的方程為y=，同理可得；=；令k2+1=t，t1；=；設(shè)f（t）=，（t1），f（t）=；t（1，2）時(shí)，f（t）0，t（2，+）時(shí)，f（t）0；t=2時(shí)，f（t）取最大值，又f（t）0；綜上得的取值范圍為21（2016大慶校級(jí)模擬）如圖，曲線(xiàn)由兩個(gè)橢圓T1：和橢圓T2：組成，當(dāng)a，b，c成等比數(shù)列時(shí)，稱(chēng)曲線(xiàn)為“貓眼曲線(xiàn)”（1）若貓眼曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

28、且a，b，c的公比為，求貓眼曲線(xiàn)的方程；（2）對(duì)于題（1）中的求貓眼曲線(xiàn)，任作斜率為k（k0）且不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與該曲線(xiàn)相交，交橢圓T1所得弦的中點(diǎn)為M，交橢圓T2所得弦的中點(diǎn)為N，求證：為與k無(wú)關(guān)的定值；（3）若斜率為的直線(xiàn)l為橢圓T2的切線(xiàn)，且交橢圓T1于點(diǎn)A，B，N為橢圓T1上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)N與點(diǎn)A，B不重合），求ABN面積的最大值【解答】解：（1）由題意知，=，a=2，c=1，；（2）證明：設(shè)斜率為k的直線(xiàn)交橢圓T1于點(diǎn)C（x1，y1），D（x2，y2），線(xiàn)段CD中點(diǎn)M（x0，y0），由得，k存在且k0，x1x2，且x00，即；同理，kkON=2；（3）設(shè)直線(xiàn)l的方程為，聯(lián)立方程得，化簡(jiǎn)

29、得，由=0化簡(jiǎn)得m2=b2+2c2，聯(lián)立方程得，化簡(jiǎn)得，由=0得m2=b2+2a2，兩平行線(xiàn)間距離：，；ABN的面積最大值為22（2016撫順一模）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，過(guò)點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線(xiàn)交該橢圓于M、N兩點(diǎn)，直線(xiàn)A1M的斜率為（）求橢圓的離心率；（）若A1MN的外接圓在M處的切線(xiàn)與橢圓相交所得弦長(zhǎng)為，求橢圓方程【解答】解：（）由題意（1分）因?yàn)锳1（a，0），所以（2分）將b2=a2c2代入上式并整理得（或a=2c）（3分）所以（4分）（）由（）得a=2c，（或）（5分）所以A1（2c，0），外接圓圓心設(shè)為P（x0，0）由|PA1|=|PM|，得（6分）解得：（7分）

30、所以（8分）所以A1MN外接圓在M處切線(xiàn)斜率為，設(shè)該切線(xiàn)與橢圓另一交點(diǎn)為C則切線(xiàn)MC方程為，即（9分）與橢圓方程3x2+4y2=12c2聯(lián)立得7x218cx+11c2=0（10分）解得（11分）由弦長(zhǎng)公式得（12分）解得c=1（13分）所以橢圓方程為（14分）23（2016萊蕪一模）設(shè)橢圓C：+=1（ab0），定義橢圓C的“相關(guān)圓”方程為x2+y2=若拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形（）求橢圓C的方程和“相關(guān)圓”E的方程；（）過(guò)“相關(guān)圓”E上任意一點(diǎn)P作“相關(guān)圓”E的切線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（i）證明：AOB為定值；（

31、ii）連接PO并延長(zhǎng)交“相關(guān)圓”E于點(diǎn)Q，求ABQ面積的取值范圍【解答】解：（）拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，b=c=1，a2=1+1=2，橢圓C的方程為“相關(guān)圓”E的方程為x2+y2=證明：（）（i）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線(xiàn)AB方程為x=，則A（，），B（，），當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組，得x2+2（kx+m）2=2，即（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，=16k2m24（1+2k2）（2m22）=8（2k2m2+1）0，即2k2m2+10，（

32、*），直線(xiàn)與圓相切，=，3m2=2+2k2，+km（x1+x2）+m2=0，為定值解：（ii）PQ是“相關(guān)圓”的直徑，要求ABQ的面積的取值范圍，只需求弦長(zhǎng)|AB|的范圍，當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，由（i）知|AB|=，|AB|=，當(dāng)k0時(shí)，|AB|=，0，3，|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)，取“=”號(hào)當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=|AB|的取值范圍為|AB|，ABQ面積的取值范圍是，24（2016邯鄲模擬）已知橢圓G：+=1（ab0）的焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)在圓x2+y2=4上（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)P（3，2），若斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，試探討以AB為底邊的等腰三角形ABP是否存在？若

33、存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在，說(shuō)明理由【解答】解：（）設(shè)橢圓G的右焦點(diǎn)為F（c，0），由題意可得：b=c，且b2+c2=8，b2=c2=4，故a2=b2+c2=8，橢圓G的方程為（4分）（）以AB為底的等腰三角形ABP存在理由如下設(shè)斜率為1的直線(xiàn)l的方程為y=x+m，代入中，化簡(jiǎn)得：3x2+4mx+2m28=0，（6分）因?yàn)橹本€(xiàn)l與橢圓G相交于A，B兩點(diǎn)，=16m212（2m28）0，解得2，（8分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，于是AB的中點(diǎn)M（x0，y0）滿(mǎn)足=，已知點(diǎn)P（3，2），若以AB為底的等腰三角形ABP存在，則kPM=1，即=1，將M（）代入式，得m=3（2，2）

34、滿(mǎn)足（10分）此時(shí)直線(xiàn)l的方程為y=x+3（12分）25（2016廣州一模）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F1（2，0），點(diǎn)B（2，）在橢圓C上，直線(xiàn)y=kx（k0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線(xiàn)AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N（）求橢圓C的方程；（）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得無(wú)論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有MPN為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（）由題意可設(shè)橢圓方程為+=1（ab0），則c=2，a2b2=c2，+=1，解得：a2=8，b2=4可得橢圓C的方程為+=1；（）如圖，設(shè)F（x0，y0），E（x0，y0），則+=1，A（2，0

35、），AF所在直線(xiàn)方程y=（x+2），取x=0，得y=，N（0，），AE所在直線(xiàn)方程為y=（x+2），取x=0，得y=則以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為（0，），半徑r=，圓的方程為x2+（y）2=，即x2+（y+）2=取y=0，得x=±2可得以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（±2，0）可得在x軸上存在點(diǎn)P（±2，0），使得無(wú)論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有MPN為直角26（2016陜西二模）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：x2+3y2=6的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且P，Q是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，（I）若直線(xiàn)PQ過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2，且傾斜角為30°，求證：|F1P|、|PQ|、|

36、QF1|成等差數(shù)列；（）若P，Q兩點(diǎn)使得直線(xiàn)OP，PQ，QO的斜率均存在且成等比數(shù)列求直線(xiàn)PQ的斜率【解答】解：（I）證明：x2+3y2=6即為+=1，即有a=，b=，c=2，由直線(xiàn)PQ過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2（2，0），且傾斜角為30°，可得直線(xiàn)PQ的方程為y=（x2），代入橢圓方程可得，x22x1=0，即有x1+x2=2，x1x2=1，由弦長(zhǎng)公式可得|PQ|=，由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4，可得|F1P|+|QF1|=4=2|PQ|，則有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數(shù)列；（）設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=kx+m，代入橢圓方程x2+3y2=6，消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m22）=0，則=36k2m212（1+3k2）（m22）=12（6k2m2+2）0，x1+x2=，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，直線(xiàn)OP、PQ、OQ的斜率依次