第7章梁彎曲變形的計算

1、第7章 梁彎曲變形的計算§7-1 撓度與轉(zhuǎn)角及梁的剛度條件梁變形前后形狀的變化稱為變形，一般用各段梁曲率的變化表示。梁變形前后位置的變化稱為位移，位移包括線位移和角位移，如圖7-1所示。在小變形和忽略剪力影響的條件下，線位移是截面形心沿垂直于梁軸線方向的位移，稱為撓度，用表示；角位移是橫截面變形前后的夾角，稱為轉(zhuǎn)角，用表示。而，可見確定梁的位移，關(guān)鍵是確定撓曲線方程Y=f(x)。梁的設(shè)計中，除了需要滿足強(qiáng)度條件外，在很多情況下，還要將其彈性變形限制在一定范圍內(nèi)，即滿足剛度條件式中的和分別為梁的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，可從有關(guān)設(shè)計手冊中查得。§7-2 撓度曲線的近似微分方程忽略剪

2、力對變形的影響，梁平面彎曲的曲率公式為：式（a）表明梁軸線上任一點的曲率與該點處橫截面上的彎矩成正比，而與該截面的抗彎剛度成反比。如圖7-2所示。而梁軸線上任一點的曲率與撓曲線方程之間存在下列關(guān)系： （a） （b）將上式代入式（a），得到 （c）小撓度條件下，式（c）可簡化為： （d）在圖7-3所示的坐標(biāo)系中，正彎矩對應(yīng)著的正值（圖7-3a），負(fù)彎矩對應(yīng)著的負(fù)值（圖7-3b），故式（d）左邊的符號取正值 （8-1）式（7-1）稱為小撓度曲線微分方程，簡稱小撓度微分方程。顯然，小撓度微分方程僅適用于線彈性范圍內(nèi)的平面彎曲問題。§7-3 用積分法求彎曲變形將式（7-1）分別對 積分一次和

3、二次，便得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程： （a） （b）其中C、D為積分常數(shù)，由邊界條件和連續(xù)條件確定。對于載荷無突變的情形，梁上的彎矩可以用一個函數(shù)來描述，則式（a）和（b）中將僅有兩個積分常數(shù)，由梁的邊界條件（即支座對梁的撓度和轉(zhuǎn)角提供的限制）確定。兩種典型的邊界條件如圖7-4所示。對于載荷有突變（集中力、集中力偶、分布載荷間斷等）的情況，彎矩方程需要分段描述。對式（a）和（b）必須分段積分，每增加一段就多出兩個積分常數(shù)。由于梁的撓度曲線為一連續(xù)光滑曲線，在分段點處，相鄰兩段的撓度和轉(zhuǎn)角值必須對應(yīng)相等。于是每增加一段就多提供兩個確定積分常數(shù)的條件，這就是連續(xù)條件。例7-1 求圖示簡支梁的撓曲線

4、方程，并求和。解：（1）求支座反力，列彎矩方程梁的支座反力和所選坐標(biāo)系如圖所示。因載荷在處不連續(xù)，應(yīng)分二段列出彎矩方程。段 段 （2）列出撓曲線近似微分方程，并進(jìn)行積分 （a1） （a2） （b1） （b2） （c1） （c2）（3）確定積分常數(shù)根據(jù)連續(xù)條件處，求得，根據(jù)邊界條件， ，求得， ，求得將求得的4個積分常數(shù)代回、，求得兩段梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程。 （d1） （d2） （e1） （e2）（4）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度將代入式，求得 （順時針）將代入式，求得 （逆時針） ，發(fā)生在支座處。將代入式，求得 （順時針）故的截面位于段內(nèi)，令，可解得撓度為最大值截面的位置，進(jìn)而利用求出最大撓度值。但對簡

5、支梁，通常以跨中截面的撓度近似作為最大撓度。§7-4 用疊加法求彎曲變形在材料服從胡克定律和小變形的條件下，由小撓度曲線微分方程得到的撓度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系。因此，當(dāng)梁承受復(fù)雜載荷時，可將其分解成幾種簡單載荷，利用梁在簡單載荷作用下的位移計算結(jié)果，疊加后得到梁在復(fù)雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，這就是疊加法。例7-2 車床主軸如圖a所示。在圖示平面內(nèi)，已知切削力，嚙合力；主軸的外徑，內(nèi)徑，；處的許用撓度，軸承處的許用轉(zhuǎn)角；材料的彈性模量。試校核其剛度。解：將主軸簡化為如圖b所示的外伸梁，外伸部分的抗彎剛度近似地視為與主軸相同。（1）計算變形 主軸橫截面的慣性矩為由表7-1查得，因而引

6、起的端的撓度和截面的轉(zhuǎn)角（圖c）分別為： 因而引起的截面的轉(zhuǎn)角（圖d）為因而引起的端的撓度為最后由疊加法可得，端的總撓度為處截面的總轉(zhuǎn)角為（2）校核剛度 主軸的許用撓度核許用轉(zhuǎn)角為：而故主軸滿足剛度條件。本題要點：（1）疊加法求梁的變形（2）剛度計算例7-3 梁受力如圖a所示，試?yán)L出其內(nèi)力圖。解：（1）該梁為一次靜不定。將中間支座C去掉，以簡支梁作為靜定基（圖b）。在靜定基上作用均布載荷和多余約束力，成為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)（圖c）。（2）相當(dāng)系統(tǒng)在點的撓度應(yīng)為零，即。根據(jù)此變形條件可寫出求解靜不定梁的補(bǔ)充方程式：求得 （3）利用靜力平衡條件求得其他支座反力（圖d）畫出靜不定梁的、圖，如圖e、

7、f所示。靜不定梁的，而簡支梁的，前者僅為后者的。本題要點用變形比較法求解簡單靜不定梁。要點討論1平面彎曲時，梁變形后的位移用撓度和轉(zhuǎn)角度量。在小變形和材料為線彈性的條件下，且忽略剪力對變形的影響，則撓度曲線上任一點切線的斜率即為該處截面的轉(zhuǎn)角，因此分析梁變形的關(guān)鍵是，求出梁軸線變形后的撓度曲線方程。2小撓度近似微分方程，反映了梁微段受力與變形的關(guān)系。將各微段的變形疊加起來即為梁的整體變形，但梁變形后的位移還與支承條件有關(guān)，這反映在根據(jù)邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)、上。3用疊加法求梁的變形時，要注意到梁的撓度曲線既與受力（彎矩）有關(guān)，又與梁的支承條件有關(guān)。4用變形比較法解靜不定梁時，次靜不定必

8、有個多余約束，除去這些多余約束，則有個多余約束力，必須有個補(bǔ)充方程才能解出這些多余約束力。由于相當(dāng)系統(tǒng)的受力（包括載荷和多余約束力）和變形與原靜不定梁相同，在那里拆除約束，則在那里找變形條件和建立相應(yīng)的補(bǔ)充方程式。§7-5 簡單靜不定梁靜不定梁：約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目的梁稱為靜不定梁。兩者數(shù)目的差稱為靜不定次數(shù)。靜定基：指將靜不定梁上的多余約束除去后所得到的“靜定基本系統(tǒng)”。相當(dāng)系統(tǒng)：在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，便得到受力和變形與靜不定梁完全相同的相當(dāng)系統(tǒng)。將相當(dāng)系統(tǒng)與靜不定梁相比較，在多余約束處，找到變形協(xié)調(diào)條件，進(jìn)而得到求解靜不定問題所需的補(bǔ)充方程。通過靜力平衡

9、方程和補(bǔ)充方程可聯(lián)立求解靜不定問題。例如圖7-5a中，車削工件的左端由卡盤夾緊，右端由尾頂針頂住，計算簡圖如圖7-5b所示。此為一次靜不定問題。圖7-5c為靜定基。圖7-5d為相當(dāng)系統(tǒng)，支座反力由表示，靜力平衡方程為，在多余約束處建立變形協(xié)調(diào)條件利用表7-1可知因此利用平衡方程可解得，和，畫出其彎矩圖如圖7-5g所示 。例7-4 試分析細(xì)長軸車削過程中頂尖的作用，已知：工件的抗彎剛度為EIZ，切削力為F，且作用在零件的中間位置，零件長度為l。l/2l/2FFBFAMAFFBABCFBB(a)ACFC(b)BA解：分析： 此題屬于一次超靜定問題。用變形比較法列出變形比較條件其中，解得：用疊加法解得C處的撓度為：其中，如果沒用頂尖的作用，在刀尖作用點處撓度為yC2。求得有無刀尖作用時，在刀尖處變形比為：結(jié)論：可見用頂尖可有效地減小工件的變形，因而，在細(xì)長軸加工中要設(shè)置頂尖，甚至使用跟刀尖。§7-6 提高梁剛度的措施從撓曲線的近似微分方程及其積分可以看出，彎曲變形與彎矩大小、跨度長短、支座條件，梁截面