小學(xué)的奧數(shù)幾何五大模型燕尾模型

1、燕尾定理燕尾定理：在三角形 ABC中，AD, BE, CF相交于同一點(diǎn) O,那么，上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)锳ABO和 MCO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個(gè)定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于， 它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過(guò)一道例題 一明燕尾定理:如右圖，D是BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你說(shuō)明：G :S4=S2：S3=BD :DC【解析】 三角形BED與三角形CED同高，分別以 BD、DC為底，所以有 G : S4 = BD : DC ；三角形ABE與三角形EBD同高，Si：&a

2、mp;=ED:EA； 三角形ACE與三角形CED同高，S4： S3 =ED :EA,所以S64=863；綜上可彳導(dǎo),S : S4 =8 : S3 =BD : DC .例1 （ 2009年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題）如圖，三角形ABC的面積是1, E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC上，且BD: DC =1: 2 , AD與BE交于點(diǎn)F .則四邊形DFEC的面積等 于.【解析】方法一：連接CF ,SaabfBD1Sa ABFAE,根據(jù)燕尾TE理， =一，=1,SaacfDC2SA cbfEC設(shè)S BDF =1份，則SADCF =2份, SAABF =3份, SAAEF = S EFC =3份，如圖所標(biāo)5

3、c 5所以 SDCEF = SA ABC =一12121 一1方法二：連接 DE ,由題目條件可得到Saabd =2SaABC =-,33G 1c 12G 1BFSaabd1S ADE =SADC =MS ABC =一，所以 二=一，22 33 FESa ade11111111L def =- Sa deb = Sa bec = Sa abc =一22 32 3 2122 11 .5而SAcde =- X-XSAabc =一 .所以則四邊形 DFEC的面積等于 一 . 3 2312【鞏固】如圖，已知 BD=DC , EC=2AE,三角形 ABC的面積是30,求陰影部分面積【解析】 題中條件只有

4、三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實(shí)際上是比例的關(guān)系，由此我們可以初步判斷這道題不應(yīng)該通過(guò)面積公式求面積.又因?yàn)殛幱安糠质且粋€(gè)不規(guī)則四邊形，所以我們需要對(duì)它進(jìn)行改造，那么我們需要連一條輔助線,（法一）連接CF ,因?yàn)锽D=DC ,EC=2AE,三角形 ABC的面積是30,所以Sa abe-1e Sa abc _10 , Sa abd3根據(jù)燕尾定理,SZ ABF AE _ 1SAcbf -EC -2二Sa abc =15 2S ABF BD =1 ,SA acfCD1c -G所以 Sa abf Saabc 7.5 , sa bfd4= 157.5=7.5 ,所以陰影部分面積是30 -10 7

5、.5=12.5 .（法二）連接DE ,由題目條件可得到Sa ABESa bdeJSa=Sa BEC21 2- 一 一=M Sa abc =10,所以2 31=-S3AF'A ABC =10 ,Sa abe1Sl DEF=Sa DEA11 cSa ADC2 3而 & CDESa ABC3 2FDSa bde1& ABC=10.所以陰影部分的面積為【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是200 cm2AE: EC =3:5于.,BD: DC =2:3 , AD與BE= 2.5 ，12.5.在AC上，點(diǎn)D在BC上，且交于點(diǎn)F .則四邊形DFEC的面積等【解析】連接CF,根據(jù)燕尾定理

6、,S ABFSa acfBD 2DCSa abfSa cbfAE 3EC 510設(shè) Sa ABFSa a, Sa bcf =10 份 ,Sz efc = 9 父-=- 環(huán)358Sa CDF =1【鞏固】如圖，已知2 3BD =3DC ,所以一45452Sdcfe =200-：-(6 9 10) (6)=8 (6)=93(cm )88EC =2AE , BE與CD相交于點(diǎn)O ,則 ABC被分成的4部分面積各占4ABC面積的幾分之幾？連接CO,設(shè)SAaeo =1份，則其他部分的面積如圖所示，所以S abc 12 9 '18= 30 份,所以四部分按從小到大各占1 2 4.5 13 ABC面

7、積的一,30306093 13.59一 , 一30 10 3020（2007年香港圣公會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽 ）如圖所示,AP相交于點(diǎn) X ,若 ABC的面積為6 方法一：連接PQ.11.在 ABC 中，CP=CB, CQ=CA, BQ 與 23,則 ABX的面積等于 . 1 _由于 CP =CB , 2一 1-CQ =CA,所以 Sabq32_ 1_ 1=S ABC , SJBPQ =- S bcq = S ABC .3 -2 -6 -由蝴蝶定理知,-4一所以 S|_ABX S5-2 c 1 _AX : XP SL|ABQ : SJBPQ = S ABC : S ABC 4:1 ，3 -6 -4122A

8、BP =一父S ABC = S ABC =一 父 6 =2.4 .52 -5 -5方法二：連接 CX設(shè)Sacpx =1份，根據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積,所以 & ABX =6-7（1 1 4 4） 4=2.4【鞏固】如圖，三角形 ABC的面積是1 , BD=2DC , CE=2AE, AD與BE相交于點(diǎn)F ,請(qǐng)寫出 這4部分的面積各是多少 ？連接CF ,設(shè)SAaef =1份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標(biāo)出如圖所示，所以SA AEF162一, S ABF = = , & BDF21217eS, SFDCE21217如圖，E在AC上，D在BC上，且AE: EC=2:3 , BD

9、: DC =1:2, AD與BE交于點(diǎn)F .四 邊形DFEC的面積等于22 cm2,則三角形 ABC的面積.連接CF,根據(jù)燕尾定理，Sa abf BD ,Sa acf DC 2S ABFSa cbfAE 2EC 32及 Sabdf 1 傷，則 Sa d c f 2 傷，Sa abf _ 2 傷，S afc 4 傷，Sa aef = 4 父 = 1.62 3份,Sa efc - 4= 2.4 份，如圖所標(biāo)，所以 Sefdc =2+2.4=4.4 份，S abc=2+3+4=9 份所以 SLABC 22 - 4.4 9 =45 (cm2)三角形 ABC中，C是直角，已知AC =2 , CD = 2

10、, CB=3, AM =BM ,那么三角形 AMN (陰 影部分）的面積為多少？【解析】連接BN .ABC的面積為3 M2+ 2 =3根據(jù)燕尾定理， ACN :ABN =CD : BD =2:1 ;同理CBN:CAN =BM : AM =1:1設(shè)4AMN面積為1份，則4MNB的面積也是1份，所以 4ANB的面積是1 + 1=2份，而ACN的面積就是2父2=4份，ACBN也是4份，這樣 4ABC的面積為4十4十1十1=10 份，所以 4AMN的面積為3-10M1=03【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形 ABCD的面積是2平方厘米，EC=2DE , F是DG的中點(diǎn).陰影部分的面 積是多少平方厘米？55【解析】設(shè)

11、$A DEF =1份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所不陋影=?$ bcd平方厘米.1212例2如圖所示，在四邊形 ABCD中，AB=3BE, AD =3AF ,四邊形 AEOF的面積是12,那 么平行四邊形 BODC的面積為 .【解析】 連接 AO,BD ,根據(jù)燕尾定理 SAABO : SABDO =AF : FD =1： 2 , SAAOD ： SABOD = AE : BE =2:1 , 設(shè)$4BEO =1,則其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以Sbodc =2Saeof =2 12=24.【例3】ABCD是邊長(zhǎng)為12厘米的正方形，E、F分別是 AB、BC邊的中點(diǎn)，AF與CE交于G ,則四邊形 AG

12、CD的面積是 平方厘米.【解析】連接AC、GB ,設(shè)S agc = 1份，根據(jù)燕尾定理得Sa agb =1份，Sa bgc = 1份，則 S正方形=（1+1+1 M2 =6份，Sadcg =3+1=4份，所以 Sadcg =122 + 6X4 = 96 （cm2）例4如圖，正方形 ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，四邊形 BGHF的面積是 平方厘米.【解析】連接BH，根據(jù)沙漏1K型得 BG:GD=1:2，設(shè)SA bhc =1份，根據(jù)燕尾定理SA chd =2份，127 一SABHD=2份，因此 S正方形=（1 *2 *2）父 2 =10 份 , Sb f H=&q

13、uot;G * -=,所 以236Sbfhg =120+10X7=14（平方厘米）.6【例5】如圖所示，在 4ABC中，BE: EC =3:1 , D是AE的中點(diǎn)，那么 AF : FC =. 【解析】連接CD.由于國(guó)abd : Sa bed =1:1 , Sa bed : Sa bcd =3: 4,所以 Saabd : Sa bcd =3: 4 ,根據(jù)燕尾定理，AF : FC = SAabd : Sabcd =3: 4 .【鞏固】在 MBC 中，BD:DC=3:2, AE : EC =3:1 ,求 OB:OE =?【解析】連接OC.3 .因?yàn)?BD : DC 3: 2 ,根據(jù)媒尾te理，S*）

14、b : s&oc BD : BC =3: 2 ,即 S&OB =_ S&oc ；43-3 4_一又 AE : EC 3:1 ,所以 SAOC =l S&OE .則 S&OB = S&OC = M S&OE = 2S&OE ,322 3 -所以 OB:OE =S&ob：S&°e =2:1 .【鞏固】在 MBC 中，BD:DC=2:1, AE : EC =1:3 ,求 OB : OE =?【解析】 題目求的是邊的比值，一般來(lái)說(shuō)可以通過(guò)分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過(guò)三角形的面積比來(lái)做橋梁，但題目沒(méi)告訴我

15、們邊的長(zhǎng)度，所以應(yīng)該通過(guò)面積比而得到邊長(zhǎng)的 比.本題的圖形一看就聯(lián)想到燕尾定理，但兩個(gè)燕尾似乎少了一個(gè)，因此應(yīng)該補(bǔ)全，所以 第一步要連接OC.連接OC .因?yàn)锽D: DC =2:1 ,根據(jù)燕尾定理,SAOB ： S. 'AOC =BD : BC =2:1 ,即 SAOB =2S*OC ；又 AE:EC =1:3 ,所以 SAOC =4Soe .則 SOB =2S/°c =2M4S&°e =8S°e ,所以 OB：OE =S&ob：S&oe =8:1 .【例6】（2009年清華附中入學(xué)測(cè)試題）如圖，四邊形ABCD是矩形， E、F分別是

16、 AB、BC上11的點(diǎn)，且 AE = AB , CF = BC , AF與CE相交于G ,若矩形 ABCD的面積為120,【解析】（法1）如圖，過(guò),1所以AE =EBF做CE的平行線交 AB于H ,則EH : HB =CF :FB =1:3 ,2-1所以S AEG =3r2且 EG =HF 3=2EH ,2小3 S abf2 3=EC3 4所以兩三角形面積之和為AG: GF = AE :EH =2 ,即 AG =2GF ,2 3 1c=-X X S abcd =10 .9 4 21 =EC ,故 CG =GE,則210 + 5=15 .一1 一SCGF =1 乂 4父 S&EG = 5

17、 .則 MEG與 MGF的面積之和為（法2）如上右圖，連接 AC、根據(jù)燕尾定理，1 一而 S.ABC =2SS ABG : S ACGABCD =6。,=BF :CF =3:1,S.CG :S淡CG =BE: AE=2:1 ,所以S ABG二c 1,SABC =360 =30 ,【例7】【解析】所以兩個(gè)三角形的面積之和為如右圖，三角形 ABC中，15.BD: DC =4:9 , CE: EA = 4:3 ,求 AF : FB .根據(jù)燕尾定理得 SAAOB : SAAOC =BD :CD =4:9 =12: 27c2c 1,S理CG = , S逸BC =一 父60 =20 ,3 2 1:311

18、一一則 S逸EG =1SBG =10 , S心FG =SaCG =5,34-（都有AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 S aoc : saboc 27:16 = AF : FB本題關(guān)鍵是把 4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=3:4, AE:CE =5:6 ,求AF : FB .【解析】 根據(jù)燕尾定理得 SAAOB : SAAOC =BD :CD =3: 4 =15: 20（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 S、aoc : S

19、A boc 20 :18 10:9 AF : FB【鞏固】如圖， BD:DC =2:3 , AE:CE =5:3，則 AF : BF =【解析】根據(jù)燕尾 7E 理有 SA ABG : SAACG =2 :3 =10:15 ,SA ABG : SA BCG=5：3 =10： 6，所以SAACG :SABCG =15: 6 =5: 2 =AF : BF【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=2:3, EA:CE =5: 4 ,求AF : FB .根據(jù)燕尾定理得 S八 AOB : SAAOC =BD :CD =2 :3 =10:15 / AOB / AOC（都有4AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公

20、倍數(shù)）所以 & AOC :SABOC =15:8 =AF : FB本題關(guān)鍵是把 4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！例8（2008年“學(xué)而思杯”六年級(jí)數(shù)學(xué)試題）如右圖，三角形ABCAF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形 ABC的面積是1,則三角形 ABE的面積為,三角形GHI的面積為,三角形 AGE的面積為【分析】連接AH、BI、CG .2 . 一一 2 一 2由于 CE : AE 3: 2 ,所以 AE = AC ,故 S&be = - S蘇bc =；555根據(jù)

21、燕尾定理，Sacg : S&bg =CD : BD =2 :3 , Sbcg : S蘇bg =CE : EA =3: 2 ,所以【鞏固】SACG : S©BG : SqCG =4： 6 ： 9 ,則 S型G2八 24那么 S age =Sagc =5：5 19同樣分析可得19S -BCG1995S ACH19則 E :GEG:EB =S戌cg：Scb =4:19 ,所以 EG G H =H 4 : 5,AG:GI : ID =10:5: 4,，55 215511所以 S圄E = SAE = 父=, SaHI = S布丘父= 10:10 5 5:19 ：19 5 19同樣分析可

22、得如右圖，三角形 ABC中，AF : FB =BD: DC =CE : AE = 3: 2,且三角形 GHI的面積是1,求三角形ABC的面積.【解析】連接BG, SAagc = 6份根據(jù)燕尾定理，Saagc : Sabgc =AF : FB =3: 2=6:4, Saabg : Saagc = BD :DC =3: 2=9:6得 SA BGC 4（ 份），SAABG = 9 （份）,則 SA ABC 19 （ 份），因此S AGCSA ABC19同理連接 AI、CH得SWH =-SA ABC19SA BIC _ 6SA ABC19所以SA GHISa ABC19 -6 -6 -6 11919三

23、角形GHI的面積是1,所以三角形 ABC的面積是19【鞏固】（2009年第七屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級(jí)）如圖,ABC 中 BD=2DA, CE = 2EB,AF =2FC ,那么AABC的面積是陰影三角形面積的 倍.【分析】如圖，連接AI .根據(jù)燕尾定理，S©ci : S&ci =BD : AD =2 :1 , Sci : S&bi =CF : AF =1: 2 ,所以，SA" : SACI : SAbi =1:2:4,2 一 2一那么， S&CI =S&BC = S&BC .12 47 .2同理可知 &ACG和 MB

24、H的面積也都等于 &ABC面積的-,所以陰影三角形的面積等于721.一 一 一 ,一 .MBC面積的1 1父3 =亍，所以 MBC的面積是陰影三角形面積的7倍.【鞏固】如圖在4ABC中，變=毀=史=1求4GH|的面積的值.DB EC FA 2 ABC 的面積【解析】連接BG,設(shè)Sabgc = 1份，根據(jù)燕尾定理SAAGC:SA BGC = AF ： FB = 2 :1 , SA ABG : SAAGC=BD :DC =2:1 得 SAagc =2（份），S 2Saabg 4（ 彳0，則 S abc =7 （分）,因此 =,同理連接 AI、CH 得Sa abc7& ABH2 &a

25、mp; BIC2SAABC7 SA ABC7所以SGHL SaaBC7 -2 -2 -2177【點(diǎn)評(píng)】如果任意一個(gè)三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變 萬(wàn)化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題 思路，因此我們有對(duì)稱法作輔助線.【鞏固】如圖在 ABC中，匹=色=心二，求金的值.DB EC FA 3 ABC 的面積【解析】連接BG,設(shè)Sbgc =1份，根據(jù)燕尾定理Saagc ： Sabgc vAF : FB =3:1S abg ： Saagc = BD : DC =3:1，得 Sa agc =3 （ 份），Sa ABG =9(

26、份)，則$ ABCSa3二13（彳分），因此 上空=,同理連接 AI、CH得SA ABC 13SAABHSAABC=13,SA BICSA ABC3134Sa ghi13333 4所以=Saabc1313【鞏固】如右圖，三角形 ABC中，AF:FB=BD:DC =CE: AE=4:3 ,且三角形 ABC的面積是74, 求角形GHI的面積.【解析】連接BG, S.gc =12份根 據(jù) 燕 尾 定 理Saagc ：Sabgc =AF : FB =4:3 =12:9Saabg ： Saagc =BD ：DC =4:3 =16:12得Sa BGC =9(份)， Sa ABG =16(份),則S人&am

27、p;abc =9 + 12+16 =37(份)，因此 Sa ABC1237同理連接AI、CH得匡”H SA ABC12 SA bic37 SA ABC1237所以Saghi 37 -12 -12 -12 JSaabc _37- 37三角形ABC的面積是74,所以三角形GHI的面積是74父工=237【例9】?jī)蓷l線段把三角形分為三個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，如圖所示，三個(gè)三角形的面積 分別是3, 7, 7,則陰影四邊形的面積是多少？【解析】 方法一：遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點(diǎn)標(biāo)注字母，方便后面的計(jì)算.再看這道題，出現(xiàn)兩個(gè)面積相等且共底的三角形.設(shè)三角形為 ABC , BE和C

28、D交于F ,則BF = FE ,再連結(jié) DE .所以三角形 DEF的面積為3.設(shè)三角形 ADE的面積為x,則x:（3+3 ）=AD :DB =（x+10）:10 ,所以x=15,四邊形的面積為 18.方法:設(shè) SA ADF =x ,根據(jù)燕尾定理 SAABF ： SA BFC = S AFE ： SA EFC ,得到 SAAEF =x+3 ,再根據(jù)向右下飛的燕子，有（x+3+7）:7=x:3 ,解得x =7.5四邊形的面積為 7.5 + 7.5+3=18【鞏固】右圖的大三角形被分成5個(gè)小三角形，其中 4個(gè)的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積是.【解析】方法一：整個(gè)題目讀完，我們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何

29、與邊長(zhǎng)相關(guān)的條件，也沒(méi)有任何與高或者垂直有關(guān)系的字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個(gè)比例關(guān)系：2:S陰影=（1+3）4,解得南影=2.方法二：回顧下燕尾定理，有 2:（&o +4）=1:3,解得S陰影=2.【例10如圖，三角形ABC被分成6個(gè)三角形，已知其中4個(gè)三角形的面積， 問(wèn)三角形ABC的面積是多少？【解析】 設(shè)SAbof =x ,由題意知BD: DC =4:3根據(jù)燕尾定理，得SA ABO ： SAACO - SABDO ： SA CDO -4 ：3，所以 Sa ACO3再根據(jù)Saabo ： Sabco Saaoe ： Sacoe

30、 , 列方程(84 +x):(40 +30) =(63+x35):35 解得x =56Sa aoe:35=（56 +84） : （40 +30），所以 Sa aoe 二70所以三角形 ABC的面積是84+40+30+35 + 56 + 70 = 315【例11】三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，求陰影部分的面積.【解析】 令BE與CD的交點(diǎn)為M ,CD與EF的交點(diǎn)為 N,連接 AM , BN.在 ABC中，根據(jù)燕尾定理,SA ABM : SABCM = AE : CE =1:1 , SA ACM : SA BCM=AD ：BD =1:1 ,所以S AB

31、M=Sa ACM = SabcnJSa ABC3由于S AEM1e1e=Sa amc = Sa abm22S,所以 BM :ME =2:1在4EBC中，根據(jù)燕尾定理,SABEN : SA CEN=BF：CF= 1:1 SA CEN : S CBN=ME :MB =1:2設(shè) S CEN =1（仿 ） 5 則 SA BEN =1（仿），SA BCNSA BCE = 4 （仿）,所以Sbcn = SabceSaabc , SabneSabce= -Sa ABC ,8因?yàn)锽M :ME= 2:1 ,F 為 BC 中所以所以S_2o0 BMN = Sa bne3c 11SW12 82 1 o 1 o=_

32、_ Sa abc = Sk3 812c_1e 1 1abc , Sabfn =_ Sabnc = -22 45 -5公 ABC =一8 ABC =-X15 =3.125（平萬(wàn)厘米）2424【例12】入ABC,8如右圖，4ABC中，G是AC的中點(diǎn)，D、E、F是BC邊上的四等分點(diǎn),AD 與 BG交于M , AF與BG交于N ,已知 ABM的面積比四邊形 FCGN的面積大7.2平方厘米, 則4ABC的面積是多少平方厘米？連接CM、CN .根據(jù)燕尾定理,Sa ABM : Sacbm =AG:GC =1 :1 , Sa ABM : Sa ACM =BD :CD =1:3 ,所以c .1cS ABM -

33、Sa ABC，5再根據(jù)燕尾定理,Sa ABN : Sa CBN = AG:GC =1:1 ,所以 Sa abn:Safbn Sacbn : Sa fbn =4:3,所以AN :那么Sa ang1:=4:3 ,=X -& AFC2 42515二 S AFC=X一 S ABC 一774281s-SA ABC5SA ABC= 7.2 ,528根據(jù)題意，有（SFCGN = 1 -SA ABC 可得Sa abc =336（平方厘米）（2007年四中分班考試題）如圖， MBC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn) E、F是邊BC的三 等分點(diǎn)，若 MBC的面積為1,那么四邊形 CDMF的面積是 .由于點(diǎn)D是邊

34、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F是邊BC的三等分點(diǎn)， 如果能求出 BN、NM、MD三段的比，那么所分成的六小塊的面積都可以求出來(lái),其中當(dāng)然也包括四邊形 CDMF的面積.連接CM、CN .根據(jù)燕尾定理，S叢BM:Sacm =BF :CF =2:1 ,c :M2S ;A, D所以SBM =2SCM =4SaDM ,那么BM =4DM ,即4BM = BD .5那么S.BmfBM BF SBCDBD BC-A15S四邊形CDMF=1一 21530另解：得出SABM = 2S, ACM =4S.ADM后，可得S AdmA10CDMF - S. ACF -S.ADM -31030【例13 如圖，三角形 ABC的面積

35、是1,BD=DE=EC, CF=FG=GA,三角形 ABC被分成9部分，請(qǐng)寫出這 9部分的面積各是多少？【解析】 設(shè)BG與AD交于點(diǎn)P, BG與AE交于點(diǎn) Q, BF與AD交于點(diǎn) M, BF與AE交于點(diǎn)N.連接 CP, CQ, CM , CN.根據(jù)燕尾定理,&abp:Scbp =AG:GC=1:2 , SAabp:SA ACP=BD ：CD =1： 2 ,設(shè)Sa abp =1（份）則 SAABC =1+2+2 =5（份），所以 SAabp理可得SA ABQ 7 , SAABN=1 ,而2SAABGSA APQSa aqg21同理,Sa bpm麗邊形MNED 二一3一353一 1 tSa

36、 bdm =，所以2135 70 42S四邊形PQMN,Sh邊形 NFCE1 一213 21 42 ?35 701 <=,Si邊形 GFNQ63 21 6 42【鞏固】如圖， MBC的面積為1,點(diǎn)D、E是BC邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn) 那么四邊形JKIH的面積是多少？【解析】連接CK、CI、CJ .F、G是AC邊的三等分點(diǎn),根據(jù)燕尾定理，S&K : SBK =CD :BD =1: 2 , S所以 S ACK : S ABK : S CBK -1:2:4 ,那么S4CK ABK :1=AG :CG =1:2 ,12 421類似分析可得Sagi15又 S&BJ : S在BJ = AF

37、: CF =2 :1 ,S&BJ : S&CJ=BD:CD=2:1,可得S 'acj那么，SCGKJ11174 2184根據(jù)對(duì)稱性，可知四邊形 CEHJ的面積也為17 一一，那么四邊形為 Scgkj2 S agi - S abe =8461JKIH周圍的圖形的面積之和841570,所以四邊形,61JKIH的面積為1【例14】如右圖，面積為1的4ABC中AH :HI : IB =1:2:1 ,求陰影部分面積.【解析】 設(shè)IG交HF于M , IG交HD于N ,BD:DE:EC =1:2:1 ,70 70CF: FG:GA = 1:2:1 ,IF. AI : AB=3:4,

38、AF:AC=3: 4, J, SAFIM : SA AMF = IH : HA 22. , SA fimDF交EI于P .連接AM ,SA AIF-Sa ABC16S aim =FG:GA=2,1- -SA AIM - - SA AIF49八 八SA ABC- AH : AI =1:3Saahm64 Sa ABC , 64. AH : AB =1:4AF: AC 3 :4 '1 Sa AHF向理SACFD - SA BDHSA ABC, , SA FDH16且SSa ABC167 sSA ABC16HM : HF64:力1:4, AI : AB =3: 4, AF : AC =3: 4

39、 , .IF II BC ,又. IF :BC =3:4,DE : BC=1:2 , .DE : IF =2:3, DP : PF =2:3 ,同理 HN : ND =2:3，; HM : HF =1:4 , : HN : HD =2:5- -Sa hmn =Sa hdf10Sa abc160160同理6個(gè)小陰影三角形的面積均為160陰影部分面積工61602180【例15 如圖，面積為l的三角形 ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分 點(diǎn)，求陰影部分面積.【解析】三角形在開(kāi)會(huì)，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI與CD的交點(diǎn)為 M , AF與CD的交點(diǎn)

40、為 N, BI與AF的交點(diǎn)為 P,BI與CE的交點(diǎn)為 Q,連接AM、BN、CP求甌邊形 ADMI : 在 ABC中，根據(jù)燕尾定理,Sa abm : Sa cbm = AI :CI =1:2 SA acm : Sa cbm = AD :BD = 1: 2設(shè) SA ABM =1 （份），則 SA CBM =2（彳分）,SA ACM二1（份）Sabc =4（份）,1°所以 S ABM =Sz ACM = Sa ABC ,所以 Sa ADM411=Sa abm =Sa abc , Sa aim312-1 Sa ABC,121所以SI邊形ADMI -（12Sa abc = Sa abc ,6同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是 1ABC面積的一6求 呈邊形DNPQE :在 ABC中，根據(jù)燕尾定理Sa ABN ：Sa acn =BF :CF =1: 2 SA acn ：Sabcn =AD : BD =1:2,-1_1 1Lc所以 S adn Sa abn 父Sa abc Sa abc，向理 Sabeq Sa abc33 72121在 ABC 中，根據(jù)燕尾定理Saabp : Saacp