一堂高考復習變式教學案例

1、形如 |x-c|+|x-b|a 不等式的解法及應用學案一、內容和內容解析1內容：對本節(jié)內容的內涵和外延作簡要說明. |x-c|+|x-b|a 的解法是數(shù)學選修不等式選講三類含絕對值的不等式中的之一，是考試大綱中三個選考內容之一，是高考的考查熱點.2內容解析：本節(jié)課時的教學重點是讓學生熟練掌握此類型不等式的解法及數(shù)學思想方法（數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、函數(shù)思想）. 教學難點是在準確理解絕對值概念的基礎上如何脫掉絕對值符號化絕對值不等式為普通不等式求解.二、目標和目標解析1目標：要求學生學會利用將絕對值不等式轉化為普通不等式求解此類不等式的方法.2 目標解析：經歷、探究將絕對值不等式轉化為普通

2、不等式的思路，掌握求解此類不等式的通性通法，體驗數(shù)學思想方法（數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、函數(shù)思想）在解決數(shù)學問題中的神奇. 體驗變式研究、反思性思維在數(shù)學學習中的指導作用。加強反思性思維訓練，優(yōu)化數(shù)學品質，提高學生的思維能力.三、教學過程設計學習任務：問題1：請同學們回憶絕對值的概念、性質、絕對值不等式的類型. 解釋以下不等式的涵義.（1）、|x|， |x-c|，|x-c|+|x-b|, |x-c|-|x-b|;(2)、|a ± b|a|+|b|, | a - b| a - c |+|c-b| (說明取等條件)；（3）、| a x+ b |c ，| a x+ b |c ，|x-c

3、|±|x-b|a ，|x-c|-|x-b|a .問題2：解不等式 |x+2|+|x-3|6. （學生解答）問題3：要使 |x+2|+|x-3|a恒成立，求a的取值范圍. 學生反思：（1）、思知識.（2）、思方法. （3）、思多解.（4）、思變式. 可改變維度、加強或減弱條件、變化條件或結論、探究新結論等方法研究題目的變式.同時思考能否用以上方法解決各個變試題.變式1：（"+"變"-"） 已知 |x+2|-|x-3|a恒成立，求a的取值范圍.變式2：（"肯定"變"否定"） 已知 |x+2|-|x-3|a能成

4、立，求a的取值范圍.變式3：（"兩個"變"三個"） 已知 |x+6|+|x+2|+|x-3|a恒成立，求a的取值范圍.變式4：（改變絕對值前系數(shù)）已知 3|x+2|+2|x-3|a恒成立，求a的取值范圍.變式5：（"一元"變"二元"）已知 x、yR，不等式3|x+2|+2|Y-3|a恒成立，求a的取值范圍.（5）、思得失. 從變式題看，此類題的通性解法是函數(shù)法。解題結束后，應當對解題活動進行回顧和總結. 想一想哪些地方進行得順利，哪些地方遇到了困難，為什么在這些地方會感到困難，是知識不熟悉還是方法上生疏，后來是如何

5、克服困難找到解題方法的，這次解題有哪些地方做得很成功值得今后借鑒，又有哪些地方出現(xiàn)了不該有的失誤值得今后注意？最后別忘了自己給本次解題打個滿意分.問題4：（2012年新課程高考第24題）已知函數(shù)f ( x ) = |x+a|+|x- 2| (1)、當a=-3時，求不等式f ( x )3的解集； （2）、若f ( x ) |x- 4| 的解集包含1，2，求a的取值范圍. 點評：1、高考選考題難度有所提升，這是新課標高考命題成熟的表現(xiàn)，今后選考題不會送分了.2、此題以逆向思維的方式來考查此類不等式的解法. 還可以就此題研究幾個變式題目.變式：（2013年新課程高考第24題）已知函數(shù)f ( x )

6、= |2x-1|+ |2x+a|，g ( x ) = x+3，(1)、當a=-2時，求不等式f ( x )g ( x )的解集； (0， 2) （2）、若a>-1，且當x-a/2，1/2)時，f ( x )g ( x )成立，求a的取值范圍. -1， 4/3問題5：通過學習有何收獲?四、目標檢測設計1、（2013年新課程高考第24題）已知函數(shù)f ( x ) = |2x-1|+ |2x+a|，g ( x ) = x+3，(1)、當a=-2時，求不等式f ( x )g ( x )的解集； (0， 2) （2）、若a>-1，且當x-a/2，1/2)時，f ( x )g ( x )成立，求

7、a的取值范圍. -1， 4/32、設函數(shù)f ( x ) = |2x+1|-|x- 4| (1)、解不等式f ( x )2； k（-，-7）（5/3，+)（2）、求函數(shù) y= f ( x ) 的最小值. -9/2五、教學反思引導學生反思以下問題：（1）、本題主要考察哪些知識點？這些知識點的掌握情況如何？還存在哪些問題？（2）、本題的條件部分非常充分嗎？如果去掉這個條件會怎樣？（3）、如何對本題的題設或結論進行適當變形后得到相應的正確命題？（4）、解題思想和解題策略是否可以推廣到一般情形？（5）、解決問題后還有沒有別的解法？有無更好的解法？（6）、解題中運用了哪些數(shù)學思維方法？六、作業(yè)布置1、完成

8、變式1-變式6.2、解不等式 |x-2|-|X-3| x2 -8X+15.3、已知函數(shù)f ( x ) = |2x-1| ，XR(1)、不等式f ( x ) a 的解集為x|0x1，求a的值；（2）、若g ( x ) =1/ f ( x ) +2f ( x+1 ) +m 的定義域為R，求m的取值范圍. 4、已知函數(shù).（1）解關于x的不等式；（2）若關于x的不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.5、設函數(shù)f（x）=|xa| +2x，其中a>0 （I） 當a=2時，求不等式f（x）2x+1的解集； （）若（-2，+）時，恒有f（x）>0，求a的取值范圍變式教學案例形如 |x-c|+|x-b|

9、a 不等式的解法及應用山西柳林聯(lián)盛中學 李寶林課題：形如 |x-c|+|x-b|a 不等式的解法及應用一、內容和內容解析1內容：對本節(jié)內容的內涵和外延作簡要說明. |x-c|+|x-b|a 的解法是數(shù)學選修不等式選講三類含絕對值的不等式中的之一，是考試大綱中三個選考內容之一，是高考的考查熱點.2內容解析：本節(jié)課時的教學重點是讓學生熟練掌握此類型不等式的解法及數(shù)學思想方法（數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、函數(shù)思想）. 教學難點是在準確理解絕對值概念的基礎上如何脫掉絕對值符號化絕對值不等式為普通不等式求解.二、目標和目標解析1目標：要求學生學會利用將絕對值不等式轉化為普通不等式求解此類不等式的方法.

10、3 目標解析：經歷、探究將絕對值不等式轉化為普通不等式的思路，掌握求解此類不等式的通性通法，體驗數(shù)學思想方法（數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、函數(shù)思想）在解決數(shù)學問題中的神奇. 體驗變式研究、反思性思維在數(shù)學學習中的指導作用。加強反思性思維訓練，優(yōu)化數(shù)學品質，提高學生的思維能力.三、教學問題診斷分析學生的認知基礎分析. 學生對此類不等式的解法有思路，但方法不靈活、通性解法不明確、解題跳步、表述不完美、易失分。學生對通過改變維度、變更條件、探索新結論等變式研究不夠，解題后不反思或反思不夠.對照教學目標在教學中引導學生利用數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、函數(shù)思想，學會用數(shù)學思想方法解決數(shù)學問題. 指導

11、學生養(yǎng)成解題后反思的習慣，體驗變式研究在數(shù)學學習中的作用，從而舉一反三、觸類旁通，提高數(shù)學學習效果.四、教學支持條件分析采取自測、變式拓展幫助學生提升數(shù)學思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更有效地掌握方法. 課堂中學生的課堂演算材料、學生在課堂上參與教學活動的情態(tài)和學習行為都是有效的教學支持條件.五、教學過程設計知識回顧：問題1：請同學們回憶絕對值的概念、性質、絕對值不等式的類型. 解釋以下不等式的涵義.（1）、|x|， |x-c|，|x-c|+|x-b|, |x-c|-|x-b|;(2)、|a ± b|a|+|b|, | a - b| a - c |+|c-b| (說明取等條件)；（3）

12、、| a x+ b |c ，| a x+ b |c ，|x-c|±|x-b|a ，|x-c|-|x-b|a .點評：（1）、從 數(shù)形兩個角度解釋. 比如：|x-c|幾何意義是：在數(shù)軸上表示數(shù)x的動點離表示數(shù)c的定點之間的距離.代數(shù)解釋為: 當 xc 時，|x-c|= c- x；當xc 時， | x- c | = x-c. （2）、數(shù)形結合解釋為： 數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.基礎自測：問題2：解不等式 |x+2|+|x-3|6. （學生解答）預設學生解答1： -|- - -|- -|-x -2 0 3預設學生解答2：函數(shù)y=|x+2|+|x-3|的圖象與函數(shù) y=6 圖象的交點為

13、（-5/2, 6）、（7/2， 6）.預設學生解答3：“x-2且 -2x+66” 或 “-2x3且56”或 “x3且2x-16” .點評：（1）、規(guī)范學生的解答,解決跳不問題；（2）、學生提供多種思路，有函數(shù)法、幾何意義法、不等式法，滲透數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、函數(shù)思想四種數(shù)學思想方法.思維推展：問題3：要使 |x+2|+|x-3|a恒成立，求a的取值范圍. Y分析：此問題是問題2的變式，請同學解決，然后展示學生的解題過程. 5 學生解法1：令f（x）=|x+2|+|x-3，作出f（x）=|x+2|+|x-3的圖象如右圖 -2 0 3 X則據(jù)f（x）的圖象 知 f（x）的值域是 5，+）

14、 f（x）a恒成立，必須有a5.引導學生反思：解題后反思是對知識的回憶，是對方法的總結歸納，是對題目實質的再挖掘，是對解題活動的評價. 反思可提高數(shù)學解題的質量，培養(yǎng)解題能力. 數(shù)學教育家茀賴登塔爾就指出：反思是數(shù)學活動的核心和動力.（1）、思知識. 本題用到了不等式、絕對值、絕對值函數(shù)的圖象、函數(shù)的值域等方面的知識. 題做完后通過回顧，在記憶的倉貯里檢索一下這些知識. 遺忘是學習的最大敵人，應經常回顧與之作斗爭，更何況還能溫故而知新呢！（2）、思方法. 將不等式轉化為函數(shù)值域問題，體現(xiàn)了不等式與函數(shù)的聯(lián)系，是今后經常用的方法. 怎樣求函數(shù)的值域，這里用畫圖象的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結合的方思想.（

15、3）、思多解.學生解法2：考慮用絕對值不等式的性質解題. |x+2|+|x-3|（x+2）-（x-3）|=5，等號在x=0時取得， |x+2|+|x-3|a恒成立的充要條件是a5。學生解法3：可考慮用絕對值的幾何意義 -|- -|- -|-x -2 0 3由絕對值的幾何意義，知|x+2|+|x-3|=|AC|+|BC|讓點C在數(shù)軸上移動，當點C在線段AB上時，|AC|+|BC|取最小值5，故 |x+2| +|x-3| 5，從而 |x+2| + |x-3| a 恒成立的充要條件是a5.（4）、思變式. 可改變維度、加強或減弱條件、變化條件或結論、探究新結論等方法研究題目的變式.同時思考能否用以上

16、方法解決各個變試題.變式1：（"+"變"-"） 已知 |x+2|-|x-3|a恒成立，求a的取值范圍.變式2：（"肯定"變"否定"） 已知 |x+2|-|x-3|a能成立，求a的取值范圍.變式3：（"兩個"變"三個"） 已知 |x+6|+|x+2|+|x-3|a恒成立，求a的取值范圍.變式4：（改變絕對值前系數(shù)）已知 3|x+2|+2|x-3|a恒成立，求a的取值范圍.變式5：（"一元"變"二元"）已知 x、yR，不等式3|x+2|+2

17、|Y-3|a恒成立，求a的取值范圍.（5）、思得失. 從變式題看，此類題的通性解法是函數(shù)法。解題結束后，應當對解題活動進行回顧和總結. 想一想哪些地方進行得順利，哪些地方遇到了困難，為什么在這些地方會感到困難，是知識不熟悉還是方法上生疏，后來是如何克服困難找到解題方法的，這次解題有哪些地方做得很成功值得今后借鑒，又有哪些地方出現(xiàn)了不該有的失誤值得今后注意？最后別忘了自己給本次解題打個滿意分.反思對原來的解題過程從發(fā)散性、批判性、深刻性三個維度進行探索，把解題活動推向更全面、更深入的境界，使解題思維活動得以升華，收到"解一勝十"的效果. 解題不反思等于浪費時間.鞏固提升：問題

18、4：（2012年新課程高考第24題）已知函數(shù)f ( x ) = |x+a|+|x- 2| (1)、當a=-3時，求不等式f ( x )3的解集； （2）、若f ( x ) |x- 4| 的解集包含1，2，求a的取值范圍. 解：（1）、 有三種解法得解集為（-，14，+) （2）、當x1，2時，|x-4|-|x- 2|x+a|成立，即 4 - x -（2- x）|x+a|，也即 -2- a x2- a由條件得 -2- a 1且2+a2，即 -3a0 故滿足條件的a的取值范圍是a-3, 0. 點評：1、高考選考題難度有所提升，這是新課標高考命題成熟的表現(xiàn)，今后選考題不會送分了.2、此題以逆向思維的

19、方式來考查此類不等式的解法. 還可以就此題研究幾個變式題目.變式1：已知函數(shù)f ( x ) = x |x-a| - 2 (1)、當a=1時，求不等式f ( x )0的解集； （-，2） （2）、當x2， 3時，f ( x )0恒成立，求a的取值范圍. （7/3, 3）變式2：已知函數(shù)f ( x ) = |2x-a| (1)、若f ( x ) x的解集為1， 3，求a的取值范圍； （2）、在（1）的條件下，若函數(shù) g（x）=1/(f ( x )+ f ( x+1 )+m) 的定義域為R，求m的取值范圍. 變式3：已知函數(shù)f ( x ) = |x+a| (1)、當a=-1時，求不等式f ( x )

20、|x+1|+1的解集； （2）、若不等式f ( x ) +f ( -x )2存在實數(shù)解，求a的取值范圍. 變式4：（2013年新課程高考第24題）已知函數(shù)f ( x ) = |2x-1|+ |2x+a|，g ( x ) = x+3，(1)、當a=-2時，求不等式f ( x )g ( x )的解集； (0， 2) （2）、若a>-1，且當x-a/2，1/2)時，f ( x )g ( x )成立，求a的取值范圍. -1， 4/3課堂小結：1、 此類不等式解法滲透四種數(shù)學思想方法，有三種解法，但函數(shù)法更具有通性通法.2、數(shù)學學習中提倡反思性思維. 反思思維定勢，巧設試誤練習，加深對數(shù)學概念、定

21、理、公式的質的理解. 反思思維過程，確定解題關鍵，尋找解決數(shù)學問題的最佳方案. 反思思維策略，研究變式，引導總結規(guī)律，掌握數(shù)學基本思想方法.平時做題將做錯的題歸類整理在反思卡中，有利于總結解題的經驗教訓，快速提高解題的能力.錯 題 反 思 卡錯 題 題 號錯 誤 原 因思知識、多解、變式、得失、思維偏差改 正 方 法說 明選擇題1填空題1解答題1六、目標檢測設計檢驗課堂教學目標是否達成，需要一定的練習。值得強調的有兩點，其一是對于每一個（組）習題或練習都要寫明設計目的，以加強檢測的針對性、有效性；其二是目標檢測設計題，強調的是針對本節(jié)內容、符合本節(jié)教學目標的檢測題組，并且是可以當堂完成的，能檢

22、測學生是否達到本節(jié)學習目標的.1、設函數(shù)f ( x ) = |2x+1|-|x- 4| (1)、解不等式f ( x )2； k（-，-7）（5/3，+)（2）、求函數(shù) y= f ( x ) 的最小值. -9/22、對于任意的實數(shù)a(a0)和b，不等式|a+b|-|a- b|a|(|x-1|+|x- 2|)恒成立，求x的取值范圍. 1/2 , 5/23、已知函數(shù)f ( x ) = |x-a|+ |x+2| （aR）(1)、當a=1時，求不等式f ( x )5的解集； -3， 2 （2）、若存在x0R ，使得f ( x0 )5成立，求a的取值范圍. -7， 3學生做題，教師巡回指點，最后展示學生解

23、答并點評學生做題中的亮點及問題.七、教學反思1、作為教師，課后反思是以嚴謹?shù)膽B(tài)度、科學的精神對已講內容、所用教學策略有批判性的再思考，以求得新的深入的認識.2、在數(shù)學教學中，教師要善于引導學生反思以下問題：（1）、本題主要考察哪些知識點？這些知識點的掌握情況如何？還存在哪些問題？（2）、本題的條件部分非常充分嗎？如果去掉這個條件會怎樣？（3）、如何對本題的題設或結論進行適當變形后得到相應的正確命題？（4）、解題思想和解題策略是否可以推廣到一般情形？（5）、解決問題后還有沒有別的解法？有無更好的解法？（6）、解題中運用了哪些數(shù)學思維方法？通過這些提問，并給學生一點思維空間，學生一般會進入積極的反

24、思性思維活動狀態(tài)。學生的學習過程應是一種經常檢查與反思的過程，通過回顧與檢查，可以自我了解到學習上還存在的問題，對知識掌握的層次是否形成知識體系，解答問題的思想方法和策略是否清楚，發(fā)現(xiàn)學習上漏洞產生的原因，從而思考彌補知識和改進學習方法的途徑. 教師在數(shù)學教學中應注重培養(yǎng)學生獨立反思性思維習慣，有效地指導學生改進學習方法，提高學生參與意識，鼓勵學生探索求異精神，確立學生在教學中的主體性地位，促進學生積極地參與反思性學習的實踐活動.八、作業(yè)布置1、完成變式1-變式6.2、解不等式 |x-2|-|X-3| x2 -8X+15.3、已知函數(shù)f ( x ) = |ax+1|(aR), 不等式f ( x

25、 ) 3的解集為x|-2x1.(1)、求a的值；（2）、若| f ( x ) 2f ( x/2 ) |k，求k的取值范圍.4、已知函數(shù)f ( x ) = |2x-1| ，XR(1)、不等式f ( x ) a 的解集為x|0x1，求a的值；（2）、若g ( x ) =1/ f ( x ) +2f ( x+1 ) +m 的定義域為R，求m的取值范圍. 5、若.（1）求的最大值；（2）若對任意的，不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.6、已知函數(shù).（1）解關于x的不等式；（2）若關于x的不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.7、已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若關于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍8、設函

26、數(shù)f（x）=|xa| +2x，其中a>0 （I）當a=2時，求不等式f（x）2x+1的解集； （）若（-2，+）時，恒有f（x）>0，求a的取值范圍答案：2、5-，6 3、a=2，k1, +) 4、a=1，m( -2, +)5、（1）令，則,則函數(shù)可以化為，顯然在上單調遞減，故最大值為，當且僅當，即時，函數(shù)取值最大值；（2）由條件只需，即，即或，解之得，即實數(shù)m的取值范圍是.6、（1）由可得，即，兩邊同時平方可得，即，解之得或.即原不等式的解集為.（2）由可得，即.而，故，故只需，所以實數(shù)m的取值范圍是.7、（1），即，等價于或或，解得或，所解不等式的解集為.（2）=，在是減函數(shù)，

27、在是增函數(shù)，（8分），關于x的不等式有解，實數(shù)a的取值范圍是.8、（）時，或， 解集為 （）當時，只需即可， 作者地址：山西省柳林縣聯(lián)盛中學 李寶林 郵編 033300課 題：形如 |x-c|+|x-b|a 不等式的解法及應用學習內容：1內容：對本節(jié)內容的內涵和外延作簡要說明. |x-c|+|x-b|a 的解法是數(shù)學選修不等式選講三類含絕對值的不等式中的之一，是考試大綱中三個選考內容之一，是高考的考查熱點.2內容解析：本節(jié)課時的教學重點是讓學生熟練掌握此類型不等式的解法及數(shù)學思想方法（數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、函數(shù)思想）. 教學難點是在準確理解絕對值概念的基礎上如

28、何脫掉絕對值符號化絕對值不等式為普通不等式求解.學習目標：1目標：要求學生學會利用將絕對值不等式轉化為普通不等式求解此類不等式的方法.2. 目標解析：經歷、探究將絕對值不等式轉化為普通不等式的思路，掌握求解此類不等式的常見方法，體驗數(shù)學思想方法（數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、函數(shù)思想）在解決數(shù)學問題中的神奇. 體驗變式研究、反思性思維在數(shù)學學習中的指導作用。加強反思性思維訓練，優(yōu)化數(shù)學品質，提高學生的思維能力.學習任務:問題1：請同學們回憶絕對值的概念、性質、絕對值不等式的類型. 從幾何、代數(shù)、數(shù)形結合三方面解釋以下不等式的涵義.（1）、|x|， |x-c|，|x-c|+|x-b|, |x-c

29、|-|x-b|;(2)、|a ± b|a|+|b|, | a - b| a - c |+|c-b| (說明取等條件)；（3）、| a x+ b |c ，| a x+ b |c ，|x-c|±|x-b|a ，|x-c|-|x-b|a .問題2：（2009年新課程高考題）解不等式 |x+2|+|x-3|6. （學生解答）預設學生解答1：預設學生解答2：預設學生解答3：點評：問題3：（2010年新課程高考題）要使 |x+2|+|x-3|a恒成立，求a的取值范圍. 分析：此問題是問題2的變式，請同學解決，然后展示學生的解題過程. 學生解法1：引導學生反思：（1）、思知識. （2）、思方法.（3）、思多解.學生解法2：學生解法3：（4）、思變式.變式1：（"+"變"-"） 已知 |x+2|-|x-3|a恒成立，求a的取值范圍.變式2：（"肯定"變"否定"） 已知 |x+2|-|x-3|能成立，求a的取值范圍.變式3：（"兩個"變"三個"） 已知 |x+6|+|x+2|+|x-3|a恒成立，求a的取值范圍.變式4：（改變絕對值前系數(shù)） 已知 3|x+2|+2|x