第13章 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)

1、思考題13-1 尖端放電的物理實(shí)質(zhì)是什么？答： 尖端放電的物理實(shí)質(zhì)，是尖端處的強(qiáng)電場(chǎng)致使四周的空氣分子電離，電離所產(chǎn)生的帶電粒子在電場(chǎng)的作用下急劇運(yùn)動(dòng)和相互碰撞，碰撞又使更多的空氣分子電離，并非尖端所帶的電荷直接釋放到空間去。13-2 將一個(gè)帶電+q半徑為RB的大導(dǎo)體球B移近一個(gè)半徑為RA而不帶電的小導(dǎo)體球A，試推斷下列說(shuō)法是否正確？并說(shuō)明理由。圖13-37 均勻帶電球體的電場(chǎng)能(1) B球電勢(shì)高于A球。答： 正確。不帶電的導(dǎo)體球A在帶電+q的導(dǎo)體球B的電場(chǎng)中，將有感應(yīng)電荷分布于表面。另外，定性畫(huà)出電場(chǎng)線，在靜電場(chǎng)的電力線方向上電勢(shì)逐點(diǎn)降低，又由圖看出電場(chǎng)線自導(dǎo)體球B指向?qū)w球A，故B球電勢(shì)高

2、于A球。(2) 以無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，A球的電勢(shì): VA < 0答： 不正確。若以無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)V0，從圖可知A球的電力線伸向無(wú)窮遠(yuǎn)處。所以，VA 0。13-3 怎樣能使導(dǎo)體凈電荷為零 ，而其電勢(shì)不為零?答：將不帶電的絕緣導(dǎo)體(與地絕緣并與其它任何帶電體絕緣)置于某電場(chǎng)中，則該導(dǎo)體有而導(dǎo)體的電勢(shì)V0。13-4 怎樣理解靜電平衡時(shí)導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為零？答： 必需留意以下兩點(diǎn)：（1） 這里的“點(diǎn)”是指導(dǎo)體內(nèi)的宏觀點(diǎn)，即無(wú)限小體積元。對(duì)于微觀點(diǎn)，例如導(dǎo)體中某電子或某原子核四周的一個(gè)幾何點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)一般不為零；（2） 靜電平衡的這一條件，只有在導(dǎo)體內(nèi)部的電荷除靜電場(chǎng)力以外不受其他力（如“化學(xué)力”

3、）的狀況下才能成立。13-5 怎樣理解導(dǎo)體表面四周的場(chǎng)強(qiáng)與表面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的電荷面密度成正比？答： 不應(yīng)產(chǎn)生這樣的誤會(huì)：導(dǎo)體表面四周一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，只是由該點(diǎn)的一個(gè)面電荷元產(chǎn)生的。實(shí)際上這個(gè)場(chǎng)強(qiáng)是導(dǎo)體表面上全部電荷所貢獻(xiàn)的合場(chǎng)強(qiáng)。假如場(chǎng)中不止一個(gè)導(dǎo)體，則這個(gè)場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)是全部導(dǎo)體表面上的全部電荷的總貢獻(xiàn)。13-6 為什么不能使一個(gè)物體無(wú)限制地帶電？答： 所謂一個(gè)物體帶電，就是指它因失去電子而有多余的凈的正電荷或因獲得電子而有多余的負(fù)的凈電荷。當(dāng)物體帶電時(shí)，在其四周空間產(chǎn)生電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度隨物體帶電量的增加而增大。帶電體四周的大氣中總是存在著少量游離的電子和離子，這些游離的電子和離子在其強(qiáng)電場(chǎng)作用下，獲得足夠

4、的能量，使它們和中性分子碰撞時(shí)產(chǎn)生碰撞電離，從而不斷產(chǎn)生新的電子和離子，這種電子和離子的形成過(guò)程如雪崩一樣地進(jìn)展下去，導(dǎo)致帶電物體四周的大氣被擊穿。在帶電體帶電的作用下，碰撞電離產(chǎn)生的、與帶電體電荷異號(hào)的電荷來(lái)到帶電體上，使帶電體的電量削減。所以一個(gè)物體不能無(wú)限制地帶電。如尖端放電現(xiàn)象。13-7 感應(yīng)電荷的大小和分布怎樣確定？答： 當(dāng)施感電荷Q接近于一導(dǎo)體時(shí)，導(dǎo)體上消滅等量異號(hào)的感應(yīng)電荷±q´。其分布一方面與導(dǎo)體的表面外形有關(guān)，另一方面與施感電荷Q有關(guān)，導(dǎo)體靠近Q的一端，將消滅與Q異號(hào)的感應(yīng)電荷q´。而一般狀況下q´并不等于Q，q´的大小及其在

5、導(dǎo)體上的分布狀況由靜電平衡條件打算，最終總是使得±q´與施感電荷Q在導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)產(chǎn)生的合電場(chǎng)強(qiáng)度為零，只有在一些特殊情視下，q´的大小才會(huì)與Q相等。13-8 怎樣理解導(dǎo)體殼外電荷對(duì)殼內(nèi)的影響？答： 封閉導(dǎo)體殼不論接地與否，其內(nèi)部的電場(chǎng)均不受殼外電荷的影響，對(duì)此不能產(chǎn)生誤會(huì)，以為由于殼的存在，殼外電荷不在殼內(nèi)產(chǎn)生電場(chǎng)。實(shí)際上，殼外電荷也要在殼內(nèi)激發(fā)電場(chǎng)，只是由于這個(gè)場(chǎng)與殼外表面的感應(yīng)電荷在殼內(nèi)激發(fā)的場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)為零，才造成殼內(nèi)電場(chǎng)不受殼外電荷影響這一結(jié)果。13-9 怎樣理解導(dǎo)體殼內(nèi)電荷對(duì)殼外的影響？答： 對(duì)一個(gè)不接地的中性導(dǎo)體殼，殼外無(wú)帶電體，但殼外空間仍舊可能有場(chǎng)，

6、這個(gè)場(chǎng)是殼內(nèi)電荷間接引起的。例如殼內(nèi)有一正電荷q，則殼內(nèi)、外壁的感應(yīng)電荷將分別為-q和+q。外壁電荷將發(fā)出電場(chǎng)線，所以殼外空間有場(chǎng)。但是不要以為由于殼的存在，殼內(nèi)電荷q不在殼外空間激發(fā)場(chǎng)。實(shí)際上殼內(nèi)電荷q和內(nèi)壁感應(yīng)電荷-q都要在殼外空間激發(fā)場(chǎng)，只不過(guò)其合場(chǎng)強(qiáng)為零，才使得殼外空間的場(chǎng)只是由外壁感應(yīng)電荷+q所打算。而且應(yīng)當(dāng)留意，無(wú)論殼內(nèi)電荷分布如何，它和內(nèi)壁感應(yīng)電荷在殼外空間激發(fā)的合場(chǎng)強(qiáng)始終為零。殼外空間的場(chǎng)只與殼內(nèi)電荷的總電量有關(guān)，而與它們的分布無(wú)關(guān)。13-10 在靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)、導(dǎo)體表現(xiàn)出有何不同的特征？答： 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體的主要特征是表面有感應(yīng)電荷，內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零，表面為等勢(shì)面，導(dǎo)體為等

7、勢(shì)體。而電介質(zhì)的主要特征是在電場(chǎng)中被極化產(chǎn)生極化電荷，介質(zhì)內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)不為零，方向與外加電場(chǎng)方向全都，一般說(shuō)介質(zhì)表面不是等勢(shì)面。13-11 電介質(zhì)的極化現(xiàn)象與導(dǎo)體的靜電感應(yīng)現(xiàn)象有什么區(qū)分？答： 導(dǎo)體的靜電感應(yīng)現(xiàn)象從微觀上看，是金屬中有大量自由電子，它們?cè)陔妶?chǎng)的作用下可以在導(dǎo)體內(nèi)作宏觀移動(dòng)，電子的移動(dòng)使導(dǎo)體中的電荷重新分布，結(jié)果在導(dǎo)體表面消滅感應(yīng)電荷。感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)與外電場(chǎng)的方向相反，因此隨著感應(yīng)電荷的積累，導(dǎo)體中的合場(chǎng)強(qiáng)漸漸減小，達(dá)到靜電平衡時(shí)，感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)與外加電場(chǎng)相互抵消，導(dǎo)體中的合場(chǎng)強(qiáng)為零，導(dǎo)體中自由電子的宏觀移動(dòng)也停止。電介質(zhì)的極化現(xiàn)象從微觀上看，分子中的電子與原子核的結(jié)合相當(dāng)緊

8、密，電子處于束縛狀態(tài)。把電介質(zhì)引入靜電場(chǎng)時(shí)，電子與原子核之間，只能作一微觀的相對(duì)位移，或者它們之間的連線略微轉(zhuǎn)變方向（有時(shí)兩種狀況都發(fā)生），結(jié)果在沿場(chǎng)強(qiáng)方向的兩個(gè)表面消滅極化電荷。極化電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)只是部分地抵消外加電場(chǎng)，達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，電介質(zhì)內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)度不為零。13-12 怎樣理解電勢(shì)能與電場(chǎng)能答： 電勢(shì)能是帶電體之間或帶電體與電場(chǎng)之間的相互作用能，隨電勢(shì)能零點(diǎn)的選取而轉(zhuǎn)變，其正負(fù)取決于相互作用性質(zhì)。由于電勢(shì)能在所求點(diǎn)A處的值等于將電荷從無(wú)限遠(yuǎn)（電勢(shì)能零點(diǎn)處）移至A處外力抵制電場(chǎng)力作的功，外力作的功的正負(fù)與電勢(shì)能正負(fù)全都。也可由相互作用推斷，如是排斥作用，則是正值，如是吸引作用，則是負(fù)值。電

9、場(chǎng)能是電場(chǎng)物質(zhì)所包含的固有能量，與勢(shì)能零點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。電勢(shì)能是電場(chǎng)能的一部分，也表示電場(chǎng)能隨位置轉(zhuǎn)變的變化。在有一些狀況，如電容器中，由于電場(chǎng)只存在于電容器內(nèi)部，電容儲(chǔ)能 既是電場(chǎng)能，又是電勢(shì)能。13-13 怎樣使導(dǎo)體有過(guò)剩的正(或負(fù))電荷，而其電勢(shì)為零？答： 將不帶電的導(dǎo)體置于負(fù)電荷(或正電荷)的電場(chǎng)中，再將該導(dǎo)體接地，然后撤除接地線。則該導(dǎo)體有正電荷(或負(fù)電荷)，并且電勢(shì)為零。13-14 怎樣使導(dǎo)體有過(guò)剩的負(fù)電荷，而其電勢(shì)為正？ 答： 將一帶少量負(fù)電荷-q的導(dǎo)體置于另一正電荷Q(Q>>q)的電場(chǎng)中，由于Q>>q ，帶負(fù)電荷的導(dǎo)體并未明顯轉(zhuǎn)變?cè)妶?chǎng)，這時(shí)該導(dǎo)體有過(guò)剩的

10、負(fù)電荷，而其電勢(shì)為正。13-15 電介質(zhì)在外電場(chǎng)中極化后，兩端消滅等量異號(hào)電荷，若把它截成兩半后分開(kāi)，再撤去外電場(chǎng)，問(wèn)這兩個(gè)半截的電介質(zhì)上是否帶電?為什么?答: 不帶電由于從電介質(zhì)極化的微觀機(jī)制看有兩類：非極性分子在外電場(chǎng)中沿電場(chǎng)方向產(chǎn)生感應(yīng)電偶極矩；極性分子在外電場(chǎng)中其固有電偶極矩在該電場(chǎng)作用下沿著外電場(chǎng)方向取向。其在外電場(chǎng)中極化的宏觀效果是一樣的，在電介質(zhì)的表面上消滅的電荷是束縛電荷，這種電荷不象導(dǎo)體中的自由電荷那樣能用傳導(dǎo)的方法引走。當(dāng)電介質(zhì)被裁成兩段后撤去電場(chǎng)，極化的電介質(zhì)又恢復(fù)原狀，仍各保持中性。13章習(xí)題13-1 半徑分別為1.0cm與2.0cm的兩個(gè)球形導(dǎo)體，各帶電量1.0

11、15;10-8C，兩球心間相距很遠(yuǎn)，若用導(dǎo)線將兩球相連，求：（1）每個(gè)球所帶電量； （2）每球的電勢(shì)。解: 兩球相距很遠(yuǎn)，可視為孤立導(dǎo)體，互不影響，球上電荷均勻分布。設(shè)兩球半徑分別為r1和r2，導(dǎo)線連接后的帶電量分別為q1和q2，而 q1+q2= 2q，則兩球電勢(shì)分別是 ， 兩球相連后電勢(shì)相等，V1=V2，則有即兩球電勢(shì)圖 13-3813-2 A、B、C是三塊平行金屬板，面積均為200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C兩板都接地，如圖13-38所示。設(shè)A板帶正電3.0×10-7C，不計(jì)邊緣效應(yīng)，求B板和C板上的感應(yīng)電荷，以及A板的電勢(shì)。解: A板帶正電，B、C

12、兩板接地，且兩板在A板四周，所以A板上的正電荷電量為q，分布在左右兩表面，設(shè)B板感應(yīng)電荷為-q1，C板感應(yīng)電荷為-q2 ，則q1+q2=q 由于AB間和AC間均可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)所以 依據(jù)題意得 由 解得q1=1.0×10-7C， q2=2.0×10-7C B板上感應(yīng)電荷為 q1= 1.0×10-7C C板上感應(yīng)電荷為 q2= 2.0×10-7C 圖 13-3913-3 兩塊無(wú)限大均勻帶電導(dǎo)體平板相互平行放置，設(shè)四個(gè)表面的電荷面密度分別為、，如圖13-39所示。求證當(dāng)靜電平衡時(shí)，、。證明 垂直于板作柱狀高斯面，如圖所示，由于導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，兩板間場(chǎng)強(qiáng)垂直于板

13、平面，所以有所以 又左邊導(dǎo)體板內(nèi)場(chǎng)強(qiáng) 考慮到于是有 13-4如圖13-40所示，一內(nèi)半徑為a、外半徑為b的金屬球殼，帶有電荷Q，在球殼空腔內(nèi)距離球心r處有一點(diǎn)電荷q。設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，試求： (1) 球殼內(nèi)外表面上的電荷。 圖13-40 習(xí)題13-4圖 (2) 球心O點(diǎn)處，由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢(shì)。 (3) 球心O點(diǎn)處的總電勢(shì)。 解: (1) 由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感生電荷-q，外表面上帶電荷q+Q。 (2) 不論球殼內(nèi)表面上的感生電荷是如何分布的，由于任一電荷元離O點(diǎn)的距離都是a，所以由這些電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為 (3) 球心O點(diǎn)處的總電勢(shì)為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點(diǎn)電

14、荷q在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和 13-5有一"無(wú)限大"的接地導(dǎo)體板 ，在距離板面b處有一電荷為q的點(diǎn)電荷。如圖13-41所示，試求： (1) 導(dǎo)體板面上各點(diǎn)的感生電荷面密度分布。 圖13-41 習(xí)題13-5圖(2) 面上感生電荷的總電荷。解: (1) 選點(diǎn)電荷所在點(diǎn)到平面的垂足O為原點(diǎn)，取平面上任意點(diǎn)P，P點(diǎn)距離原點(diǎn)為r，設(shè)P點(diǎn)的感生電荷面密度為s 在P點(diǎn)左邊鄰近處(導(dǎo)體內(nèi))場(chǎng)強(qiáng)為零，其法向重量也是零，按場(chǎng)強(qiáng)疊加原理， 所以(2) 以O(shè)點(diǎn)為圓心，r為半徑，dr為寬度取一小圓環(huán)面，其上電荷為 總電荷為13-6如圖13-42所示，中性金屬球A，半徑為R，它離地球很遠(yuǎn)在與球心O相距

15、分別為a與b的B、C兩點(diǎn)，分別放上電荷為qA和qB的點(diǎn)電荷，達(dá)到靜電平衡后，問(wèn)： (1) 金屬球A內(nèi)及其表面有電荷分布嗎？ 圖13-42 習(xí)題13-6圖(2) 金屬球A中的P點(diǎn)處電勢(shì)為多大？(選無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn))解: (1) 靜電平衡后，金屬球A內(nèi)無(wú)電荷，其表面有正、負(fù)電荷分布，凈帶電荷為零。 (2) 金屬球?yàn)榈葎?shì)體，設(shè)金屬球表面電荷面密度為s 由于所以13-7 半徑為R1的導(dǎo)體球，被一與其同心的導(dǎo)體球殼包圍著，其內(nèi)外半徑分別為R2、R3，使內(nèi)球帶電q，球殼帶電Q，試求：（1）電勢(shì)分布的表示式；（2）用導(dǎo)線連接球和球殼后的電勢(shì)分布；圖13-43 習(xí)題13-7圖（3）外殼接地后的電勢(shì)分布。 解

16、:（1）依據(jù)靜電平衡條件，導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零?？芍驓?nèi)表面感應(yīng)電荷為q，且均勻分布；導(dǎo)體球所帶電量q均勻分布在導(dǎo)體球表面。由電荷守恒得導(dǎo)體球殼外表面均勻分布電量(Q+q)，所以靜電平衡后空間電勢(shì)分布可視為三個(gè)均勻帶電球面的電勢(shì)疊加。均勻帶電球面電勢(shì)為所以當(dāng)，（2）導(dǎo)體連接后，導(dǎo)體球帶電量q與球殼內(nèi)表面感應(yīng)電荷q中和，導(dǎo)體殼與導(dǎo)體球等勢(shì)，電荷分布在導(dǎo)體殼外表面，電量為，所以，（3）外殼接地后，外表面電荷q+Q被中和，則為兩均勻帶電球面電勢(shì)疊加，13-8 已知導(dǎo)體球半徑為R1，帶電量為q。一導(dǎo)體球殼與球同心，內(nèi)外半徑分別為R2和R3，帶電量為Q，如圖13-44所示。求：（1）場(chǎng)強(qiáng)的分布；（2）球和球

17、殼的電勢(shì)V1和V2以及它們的電勢(shì)差；（3）若球殼接地，V1和V2以及電勢(shì)差；（4）用導(dǎo)線連接球與球殼后V1和V2的值。圖13-44 習(xí)題13-8圖解: （1）先確定電荷的分布：因內(nèi)球表面帶電量為q，則球殼內(nèi)表面的感應(yīng)電荷為-q；又因球殼所帶的電量為Q，依據(jù)電荷守恒定律，球殼外表面的帶電量肯定為q+Q。下面用兩種方法求此帶電系統(tǒng)的場(chǎng)強(qiáng)分布。方法一：用高斯定理求解。因電荷分布具有球?qū)ΨQ性，可用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)。取以半徑為r的同心球面為高斯面。當(dāng)r<R1時(shí)：，所以，即；當(dāng)R1<r<R2時(shí)：，所以，即；當(dāng)R2<R<R3時(shí)：，所以，即；當(dāng)r>R3時(shí)：，所以，即。方法二：

18、利用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理求分布。空間任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)都可以看為三個(gè)帶電量分別為q、- q和q+Q的帶電球面在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。設(shè)三個(gè)帶電球面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為E1、E2和E3，利用均勻帶電球面的場(chǎng)強(qiáng)公式可得依據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理，空間任意一點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)所以，場(chǎng)強(qiáng)大小分布為（2）求球體和球殼的電勢(shì)及它們的電勢(shì)差。方法一：用電勢(shì)定義式計(jì)算。球的電勢(shì)： 球殼的電勢(shì)：球與球殼的電勢(shì)差：方法二：用電勢(shì)疊加原理計(jì)算。空間任一點(diǎn)的電勢(shì)都可以看作這三個(gè)帶電球面在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和。利用均勻帶電球面產(chǎn)生電勢(shì)的公式同樣可以得到， ，所以（3）若導(dǎo)體球接地，球殼外表面電荷中和。用高斯定理可求得場(chǎng)強(qiáng)分布所以得，所以（4

19、）用導(dǎo)線聯(lián)結(jié)球與球殼時(shí)，球與球殼內(nèi)表面電荷中和，導(dǎo)體球殼外表面帶電量為q+Q。這時(shí)場(chǎng)強(qiáng)的分布為因球和球殼相聯(lián)，所以它們的電勢(shì)相等，即球與球殼的電勢(shì)差為 13-9一半徑為R的帶電介質(zhì)球體，相對(duì)介電常量為er，電荷體密度分布r = k / r。 (k為已知常量)，試求球體內(nèi)、外的電位移和場(chǎng)強(qiáng)分布。 解:取半徑為+d的薄殼層，其中包含電荷 應(yīng)用的高斯定理，取半徑為r的球形高斯面球內(nèi)： D1 = k / 2 ，( 為徑向單位矢量)E1 = D1 / (e0er) = k / (2e 0er)， 球外： , ， 13-10半徑為R的介質(zhì)球，相對(duì)介電常量為er、其體電荷密度rr0(1r / R)，式中r0

20、為常量，r是球心到球內(nèi)某點(diǎn)的距離。試求： (1) 介質(zhì)球內(nèi)的電位移和場(chǎng)強(qiáng)分布。 (2) 在半徑r多大處場(chǎng)強(qiáng)最大？ 解: (1) 取半徑為d的薄殼層，其中包含電荷 應(yīng)用的高斯定理，取半徑為r的球形高斯面 則： ， ， ， 為徑向單位矢量(2) 對(duì)E(r)求極值 得 且因，所以 處E最大 圖13-45 習(xí)題13-11圖13-11一平行板電容器，極板間距離為10 cm，其間有一半充以相對(duì)介電常量er10的各向同性均勻電介質(zhì)，其余部分為空氣，如圖13-45所示當(dāng)兩極間電勢(shì)差為100 V時(shí)，試分別求空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。 (真空介電常量e08.85×10-12 C2

21、3;N-1·m-2) 解:設(shè)空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度矢量分別為、和、，則 U = E1d = E2d (1)D1 = e0E1 (2)D2 = e0erE2 (3)聯(lián)立解得 V/m 方向均相同,由正極板垂直指向負(fù)極板 13-12 一平行板空氣電容器充電后，極板上的自由電荷面密度s1.77×10-6 C/m2將極板與電源斷開(kāi)，并平行于極板插入一塊相對(duì)介電常量為er8 的各向同性均勻電介質(zhì)板。計(jì)算電介質(zhì)中的電位移場(chǎng)強(qiáng)和電極化強(qiáng)度的大小。(真空介電常量e08.85×10-12 C2 / N·m2)解:由的高斯定理求得電位移的大小為 D = s 1.

22、77×10-6 C/m2 由=e0er的關(guān)系式得到場(chǎng)強(qiáng)的大小為 2.5×104 V/m 介質(zhì)中的電極化強(qiáng)度的大小為 P = e0ceE = e0 ( er-1 )E1.55×10-6 C/m213-13一導(dǎo)體球帶電荷Q1.0 C，放在相對(duì)介電常量為er5 的無(wú)限大各向同性均勻電介質(zhì)中。求介質(zhì)與導(dǎo)體球的分界面上的束縛電荷Q'。解:導(dǎo)體球處于靜電平衡時(shí)，其電荷均勻分布在球面上在球表面外四周，以球半徑R作一同心高斯球面按的高斯定理有 4pR2D = Q。得到電位移的大小為 D = Q / (4pR2)該處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為 E = D / (e0er)= Q /

23、(4pe0er R2) 電極化強(qiáng)度的大小為 P = e0 (er-1)E 極化電荷面密度為 = Pcos180° 分界面上的束縛電荷為 = 4pR20.8 C 13-14半徑為R，厚度為h (<<R)的薄電介質(zhì)圓盤(pán)被均勻極化，極化強(qiáng)度與盤(pán)面平行，如圖13-46所示求極化電荷在盤(pán)中心產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解:建坐標(biāo)如右圖 圓盤(pán)均勻極化，只有極化面電荷，盤(pán)邊緣處極化電荷面密度為s = Pcosq圖13-46 習(xí)題13-14圖dq = Rdq·h·sRhPcosqdq dEx = dEcos(p+q)，dEy = dEsin(p+q) 由極化電荷分布的對(duì)稱性可知

24、 = 0 圖13-47 習(xí)題13-15圖13-15如圖13-47所示，一各向同性均勻電介質(zhì)球，半徑為R，其相對(duì)介電常量為er，球內(nèi)均勻分布有自由電荷，其體密度為r 0求球內(nèi)的束縛電荷體密度r¢ 和球表面上的束縛電荷面密度s'。解:由于介質(zhì)是球?qū)ΨQ的，且r0均勻分布，所以 r'，s' 也必為球?qū)ΨQ分布因而電場(chǎng)必為球?qū)ΨQ分布用的高斯定理可求得 ， 略去dr的高次項(xiàng)，則 (與r0異號(hào)) , 同號(hào) 13-16 有兩個(gè)半徑分別為R1和R2的同心金屬球殼，其間各布滿一半相對(duì)介電常數(shù)分別為的各向同性的均勻介質(zhì)，如圖13-48所示。當(dāng)內(nèi)球殼帶電量為-Q，外球殼帶電量為+Q時(shí)，

25、忽視邊緣效應(yīng)。試求：（1）空間中D、E的分布；圖13-48 習(xí)題13-16圖（2）兩球殼的電勢(shì)差。解: （1）作半徑為r的同心球形高斯面，依據(jù)導(dǎo)體靜電平衡后等勢(shì)即又；忽視邊緣效應(yīng)，電荷分別在上、下半球和球殼均勻分布，依據(jù)高斯定理，當(dāng)即得當(dāng)， ， （2）由定義即13-17 平行板電容器極板面積為S，間距為d，中間有兩層厚度各為d1和d2（d=d1+ d2）、介電常數(shù)各為的電介質(zhì)，計(jì)算其電容。解:設(shè)兩極板各帶電荷+q和-q，兩極板電勢(shì)差：13-18三個(gè)電容器如圖如圖13-49聯(lián)接，其中C1 = 10×10-6 F，C2 = 5×10-6 F，C3 = 4×10-6 F

26、，當(dāng)A、B間電壓U =100 V時(shí)，試求： (1) A、B之間的電容； 圖13-49 習(xí)題13-18圖(2) 當(dāng)C3被擊穿時(shí)，在電容C1上的電荷和電壓各變?yōu)槎嗌伲?解: (1) 3.16×10-6 F (2) C1上電壓升到U = 100 V，電荷增加到1×10-3 C 圖13-50 習(xí)題13-圖13-19如圖13-50所示，一空氣平行板電容器，極板面積為S， 兩極板之間距離為d，其中平行地放有一層厚度為t (t<d)、相對(duì)介電常量為er的各向同性均勻電介質(zhì)略去邊緣效應(yīng)，試求其電容值。 解:設(shè)極板上的自由電荷面密度為s應(yīng)用D的高斯定理可得兩極板之間的電位移為 D =

27、s由DE關(guān)系知，空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度為 E0 = s / e0介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為E = s / (e0er)兩極板之間的電勢(shì)差為 U = E0(d - t) + Et電容器的電容為 作法二： 看成二個(gè)電容串聯(lián)， ， 圖13-51 習(xí)題13-20圖13-20如圖13-51所示，一平行板電容器，極板面積為S，兩極板之間距離為d，中間布滿介電常量按 e = e0 (1+)規(guī)律變化的電介質(zhì)在忽視邊緣效應(yīng)的狀況下，試計(jì)算該電容器的電容。 解:設(shè)兩極板上分別帶自由電荷面密度±s，則介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度分布為 兩極板之間的電勢(shì)差為 該電容器的電容值為 13-21 半徑分別為a和b的兩個(gè)金屬球，它們的間距比

28、本身線度大得多。今用一細(xì)導(dǎo)線將兩者相連接，并給系統(tǒng)帶上電荷Q，求：（1）每個(gè)球上安排到的電荷數(shù)。（2）按電容定義式計(jì)算此系統(tǒng)的電容。解:（1） ；即得；（2）系統(tǒng)電容13-22如圖13-52所示，一平行板電容器的極板面積S=200cm2，兩板間距d=5.0mm，極板間充以兩層均勻電介質(zhì)。電介質(zhì)其一厚度d=2.0mm，相對(duì)介電常數(shù)r1=5.0；其二厚度d2=3.0mm，相對(duì)介電常數(shù)r2=2.0。若以3800V的電勢(shì)差(VA-VB) 加在此電容器的兩極板上，求：（1）板上的電荷面密度；（2）介質(zhì)內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)、電位移及電極化強(qiáng)度；圖13-52 習(xí)題13-22圖（3）介質(zhì)表面上的極化電荷密度。解:（1）由

29、于（2）如圖作閉合圓柱形高斯面S，依據(jù)高斯定理所以有用同樣的方法作高斯面S´，則介質(zhì)內(nèi)電位移所以介質(zhì)1內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)介質(zhì)2內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)介質(zhì)內(nèi)1電極化強(qiáng)度介質(zhì)內(nèi)2電極化強(qiáng)度（3）介質(zhì)1表面束縛電荷面密度介質(zhì)2表面束縛電荷面密度13-23 有兩個(gè)半徑分別為R1和R2的同心金屬球殼，內(nèi)球殼帶電量為Q0，緊靠其外面包一層半徑為R、相對(duì)介電常數(shù)為r的介質(zhì)。外球殼接地，如圖13-53所示。求：（1）兩球殼間的場(chǎng)強(qiáng)分布；（2）兩球殼的電勢(shì)差；（3）兩球殼構(gòu)成的電容器的電容值；（4）兩球殼間的電場(chǎng)能量。圖13-53 習(xí)題13-23圖解:（1）由于電荷分布是球?qū)ΨQ的，介質(zhì)分布又是與帶電球同心的球?qū)ΨQ分布，因而不會(huì)破

30、壞電場(chǎng)分布的球?qū)ΨQ性，所以可用介質(zhì)中的高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的分布。設(shè)介質(zhì)內(nèi)（即R1<r<R范圍內(nèi)），電位移矢量為D1，電場(chǎng)強(qiáng)度為E1，由介質(zhì)中高斯定理所以， 設(shè)介質(zhì)外，即R<r<R2范圍內(nèi)，電位移矢量為D2 ，電場(chǎng)強(qiáng)度為E2，由介質(zhì)中的高斯定理所以， 因此，在兩金屬球殼之間，場(chǎng)強(qiáng)的分布為（2）兩球殼間的電勢(shì)差（3）兩球殼構(gòu)成的電容器的電容值（4）兩球殼間的電場(chǎng)能量 也可以用電容器能量公式計(jì)算13-24 用輸出電壓U作為穩(wěn)壓電源，給一電容為C的空氣平行板電容器充電。在電源保持連接的狀況下，試求把兩個(gè)極板間距增大至n倍時(shí)外力所做的功。 解: 因保持與電源連接，兩極間電勢(shì)保持不變，而電容值為電容器儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量由 在兩極板間距增大過(guò)程中電容器上帶電量由Q減至Q' ,電源做功