17 兩個(gè)重要極限練習(xí)題

1、1-7 兩個(gè)重要極限練習(xí)題 教學(xué)過(guò)程：引入：考察極限問(wèn)題1：觀察當(dāng)x®0時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)：x(弧度)0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.當(dāng)x取正值趨近于0時(shí)，®1，即=1； 當(dāng)x取負(fù)值趨近于0時(shí)，-x®0, -x>0, sin(-x)>0于是 綜上所述，得 一 的特點(diǎn)： (1)它是“”型，即若形式地應(yīng)用商求極限的法則，得到的結(jié)果是； (2)在分式中同時(shí)出現(xiàn)三角函數(shù)和x的冪 推廣如果j(x)=0,(a可以是有限數(shù)x0, ±¥或¥)，則=1

2、例1 求 解=例2 求 解=例3 求 解=例4 求解令arcsinx=t，則x=sint且x®0時(shí)t®0所以=例5 求 解= = 考察極限問(wèn)題2：觀察當(dāng)x®+¥時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)：x1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.當(dāng)x取正值并無(wú)限增大時(shí)，是逐漸增大的，但是不論x如何大，的值總不會(huì)超過(guò)3實(shí)際上如果繼續(xù)增大x即當(dāng)x®+¥時(shí)，可以驗(yàn)證是趨近于一個(gè)確定的無(wú)理數(shù)e2.718281828. 當(dāng)x®-¥時(shí)，函數(shù)有類(lèi)似的變化趨勢(shì)，只是它是逐漸減

3、小而趨向于e綜上所述，得 二=e=e的特點(diǎn)：（）lim(1+無(wú)窮小) ；（）“無(wú)窮小”與“無(wú)窮大”的解析式互為倒數(shù) 推廣（）若j(x)= ¥,(a可以是有限數(shù)x0, ±¥或¥)，則 =e；（）若j(x)=0,(a可以是有限數(shù)x0, ±¥或¥)，則 =e 變形令=t，則x®¥時(shí)t®0，代入后得到 如果在形式上分別對(duì)底和冪求極限，得到的是不確定的結(jié)果1¥，因此通常稱(chēng)之為1¥不定型例6 求解令=t，則x=當(dāng)x®¥時(shí)t®0，于是=e 2例7 求解令=1+

4、u，則x=2當(dāng)x®¥時(shí)u®0，于是=e -1例8 求解設(shè)t=tanx，則cotx當(dāng)x®0時(shí)t®0，于是=e小結(jié)：兩個(gè)重要極限在求極限過(guò)程中有著很重要的作用，特別要注意其變式。作業(yè)：見(jiàn)首頁(yè)§2-1 導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)過(guò)程：引入：一、兩個(gè)實(shí)例 實(shí)例1 瞬時(shí)速度 考察質(zhì)點(diǎn)的自由落體運(yùn)動(dòng)真空中，質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t=0到時(shí)刻t這一時(shí)間段內(nèi)下落的路程s由公式s=gt2來(lái)確定現(xiàn)在來(lái)求t=1秒這一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度當(dāng)Dt很小時(shí)，從1秒到1+Dt秒這段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度變化不大，可以這段時(shí)間內(nèi)的平均速度作為質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)速度的近似 Dt (s)Ds(m)(m/s

5、)0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049 上表看出，平均速度隨著Dt變化而變化，當(dāng)Dt越小時(shí)，越接近于一個(gè)定值9.8m/s考察下列各式： Ds=g×(1+Dt)2g×12=g2×Dt+(Dt)2， =g×=g(2+Dt)， 思考： 當(dāng)Dt越來(lái)越接近于0時(shí)，越來(lái)越接近于1秒時(shí)的“速度”現(xiàn)在取Dt®0的極限，得 g=9.8(m/s)為質(zhì)點(diǎn)在=1秒時(shí)速度為瞬時(shí)速度一般地，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位移規(guī)律是

6、s=f(t)，在時(shí)刻t時(shí)時(shí)間有改變量Dt，s相應(yīng)的改變量為Ds=f(t+Dt)-f(t)，在時(shí)間段t到t+Dt內(nèi)的平均速度為 =，對(duì)平均速度取Dt®0的極限，得 v(t)=，稱(chēng)v(t)為時(shí)刻t的瞬時(shí)速。研究類(lèi)似的例子實(shí)例2 曲線的切線設(shè)方程為y=f(x)曲線為L(zhǎng)其上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,f(x0)在曲線上點(diǎn)A附近另取一點(diǎn)B，它的坐標(biāo)是(x0+Dx, f(x0+Dx)直線AB是曲線的割線，它的傾斜角記作b由圖中的RtDACB，可知割線AB的斜率 f(x0+Dx)xyOABx0x0+Dxf(x0)TCbatanb=在數(shù)量上，它表示當(dāng)自變量從x變到x+Dx時(shí)函數(shù)f(x)關(guān)于變量x的平均變化

7、率(增長(zhǎng)率或減小率)現(xiàn)在讓點(diǎn)B沿著曲線L趨向于點(diǎn)A，此時(shí)Dx®0，過(guò)點(diǎn)A的割線AB如果也能趨向于一個(gè)極限位置直線AT，我們就稱(chēng)L在點(diǎn)A處存在切線AT記AT的傾斜角為a，則a為b的極限，若a¹90°，得切線AT的斜率為 tana= tanb=在數(shù)量上，它表示函數(shù)f(x)在x處的變化率上述兩個(gè)實(shí)例，雖然表達(dá)問(wèn)題的函數(shù)形式y(tǒng)=f(x)和自變量x具體內(nèi)容不同，但本質(zhì)都是要求函數(shù)y關(guān)于自變量x在某一點(diǎn)x處的變化率 1. 自變量x作微小變化Dx，求出函數(shù)在自變量這個(gè)段內(nèi)的平均變化率=，作為點(diǎn)x處變化率的近似； 2. 對(duì)求Dx®0的極限，若它存在，這個(gè)極限即為點(diǎn)x處變

8、化率的的精確值二、導(dǎo)數(shù)的定義 1. 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念 定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義對(duì)應(yīng)于自變量x在x0處有改變量Dx，函數(shù)y=f(x)相應(yīng)的改變量為Dy=f(x0+Dx)-f(x0)，若這兩個(gè)改變量的比 當(dāng)Dx®0時(shí)存在極限，我們就稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這一極限稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)，記作或f¢(x0)或或即 =f¢(x0)= (2-1) 比值表示函數(shù)y=f(x)在x0到x0+Dx之間的平均變化率，導(dǎo)數(shù)則表示了函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率，它反映了函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的變化的快慢 如果當(dāng)Dx

9、74;0時(shí)的極限不存在，我們就稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在在定義中，若設(shè)x=x0+Dx，則(2-1)可寫(xiě)成 f¢(x0)= (2-2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：第一步 求函數(shù)的改變量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)； 第二步 求比值； 第三步 求極限f¢(x0)= 例1 求y=f(x)=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù) 解 Dy=f(2+Dx)-f(2)=(2+Dx)2-22=4Dx+(Dx)2； =4+Dx； =(4+Dx)=4所以y¢|x=2=4 當(dāng)存在時(shí)，稱(chēng)其極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)，記作；當(dāng)存

10、在時(shí)，稱(chēng)其極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的右導(dǎo)數(shù)，記作據(jù)極限與左、右極限之間的關(guān)系 f¢(x0) Û 存在,，且= f¢(x0) 2. 導(dǎo)函數(shù)的概念 如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)這時(shí)，對(duì)開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)每一個(gè)確定的值x0都有對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f¢(x0)，這樣就在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這一新的函數(shù)稱(chēng)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作等f(wàn)¢(x)或y¢等 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，就可得出導(dǎo)函數(shù) f¢(x)=y¢= (2-3)導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)

11、為導(dǎo)數(shù)注意（）f¢(x)是x的函數(shù)，而f¢(x0)是一個(gè)數(shù)值（）f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f¢(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f¢(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值 例2 求y=C (C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù) 解因?yàn)镈y=C-C=0，=0，所以y¢=0即 (C)¢=0常數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零） 例3 求y=xn(nÎN, xÎR)的導(dǎo)數(shù) 解 因?yàn)镈y=(x+Dx)n-xn=nxn-1Dx+xn-2(Dx)2+.+(Dx)n， = nxn-1 +xn-2×Dx+.+(Dx)n-1，從而有 y¢= nxn-1 +xn-2×Dx+.+

12、(Dx)n-1= nxn-1即 (xn)¢=nxn-1 可以證明，一般的冪函數(shù)y=xa, (aÎR, x>0)的導(dǎo)數(shù)為 (xa)¢=a xa-1例如()¢=()¢=；()¢=(x-1)¢=-x-2=- 例4 求y=sinx, (xÎR)的導(dǎo)數(shù) 解=，在§1-7中已經(jīng)求得 =cosx，即 (sinx)¢=cosx 用類(lèi)似的方法可以求得y=cosx, (xÎR)的導(dǎo)數(shù)為 (cosx)¢=-sinx 例5 求y=logax的導(dǎo)數(shù)(a>0, a¹1, x>

13、0) 解對(duì)a=e、y=lnx的情況，在§1-7中已經(jīng)求得為 (lnx)¢=對(duì)一般的a，只要先用換底公式得y=logax=，以下與§1-7完全相同推導(dǎo)，可得 (logax)¢=三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 方程為y=f(x)的曲線，在點(diǎn)A(x0,f(x0)處存在非垂直切線AT的充分必要條件是f(x)在x0存在導(dǎo)數(shù)f¢(x0)，且AT的斜率k=f¢(x0) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f¢(x0)，是函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0,f(x0)處切線的斜率，另一方面也可立即得到切線的方程為 y-f(x0)=f¢(x0)(x-x

14、0) (2-4) 過(guò)切點(diǎn)A (x0,f(x0)且垂直于切線的直線，稱(chēng)為曲線y=f(x)在點(diǎn)A (x0,f(x0)處的法線，則當(dāng)切線非水平(即f¢(x0)¹0)時(shí)的法線方程為 y-f(x0)=-(x-x0) (2-5) 例6 求曲線y=sinx在點(diǎn)(,)處的切線和法線方程解（sinx）¢=cosx=所求的切線和法線方程為y=(x)，法線方程y=(x) 例7 求曲線y=lnx平行于直線y=2x的切線方程 解設(shè)切點(diǎn)為A(x0, y0)，則曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率為y¢(x0)， y¢(x0)=(lnx)¢=，因?yàn)榍芯€平行于直線y=2x，所以

15、=2，即x0=；又切點(diǎn)位于曲線上，因而y0=ln=-ln2故所求的切線方程為 y+ln2=2(x-)，即y=2x-1-ln2四、可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則存在極限 =f¢(x0)，則=f¢(x0)+a (a=0)，或Dy= f¢(x0) Dx+a×Dx (a=0)，所以 Dy=f¢(x0) Dx+a×Dx=0這表明函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)但y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，在x0處不一定是可導(dǎo)的例如：（）y=|x|在x=0處都連續(xù)但卻不可導(dǎo)xyOy=|x|（）y=在x=0處都連續(xù)但卻不可導(dǎo)注意在點(diǎn)(0,0

16、)處還存在切線，只是切線是垂直的1xyOy=-1-11·· 學(xué)生思考： 設(shè)函數(shù)f(x)=，討論函數(shù)f(x)在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性 小結(jié)：明確導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)相對(duì)于自變量的變化率。 作業(yè)：見(jiàn)首頁(yè)§42換元積分法教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)引入1 不定積分的概念； 2 不定積分的基本公式和性質(zhì)。新課：一、第一類(lèi)換元積分法例如：，積分基本公式中只有：=sinx+C為了應(yīng)用這個(gè)公式，可進(jìn)行如下變換：u=2x回代令2x=u sinu+C sin2x+C,因?yàn)?sin2x+C)¢=cos2x，所以=sin2x+C是正確的定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，j¢(x)是連續(xù)

17、函數(shù)，那么 =Fj(x)+C證明思路 因?yàn)镕(u)是f(u)的一個(gè)原函數(shù)，所以F¢(u)=f(u)； 由復(fù)合函數(shù)的微分法得： d Fj(x)=F¢(u)×j¢(x)dx=fj(x)×j¢(x)dx，所以 =Fj(x)+C基本思想：作變量代換u=j(x), (dj(x)= j¢(x)dx)，變?cè)e分為，利用已知f(u)的原函數(shù)是F(u)得到積分，稱(chēng)為第一類(lèi)換元積分法例1求, (a,b為常數(shù))解 因?yàn)閐x=d(ax+b)，所以令ax+b=u +Cu=ax+b回代 (ax+b)11+C例2求解 因?yàn)閐x=d(lnx)，所以u(píng)=ln

18、x回代令lnx=u 原式= u2+C (lnx)2+C例3求解 因?yàn)閤dx=d(x2)，所以u(píng)=x2回代令x2=u 原式= =eu+C +C例4求令a2-x2=u解 因?yàn)閤dx=d(x2)=d(a2-x2)，所以 原式= = +Ca2-x2=u回代 +C學(xué)生思考：求第一類(lèi)換元積分法計(jì)算的關(guān)鍵：把被積表達(dá)式湊成兩部分，一部分為dj(x)，另一部分為j(x)的函數(shù)fj(x)，且f(u)的原函數(shù)易于求得因此，第一類(lèi)換元積分法又形象化地被稱(chēng)為湊微分法常用微分式： dx=d(ax)； xdx=d(x2)； dx=d(ln|x|)； dx=2d()； dx=d()； dx=d(arctanx)； dx=d(arcsinx)； exdx=d(ex)； sinxdx=d(cosx)； cosxdx=d(sinx)； sec2xdx=d(tanx)；