利用極點配置法設計調(diào)節(jié)器型系統(tǒng)

1、利用極點配置法設計調(diào)節(jié)器型系統(tǒng)考慮如圖4.2所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內(nèi)運動的二維問題。 圖4.2 倒立擺系統(tǒng)希望在有干擾（如作用于質(zhì)量m上的陣風施加于小車的這類外力）時，保持擺垂直。當以合適的控制力施加于小車時，可將該傾斜的擺返回到垂直位置，且在每一控制過程結束時，小車都將返回到參考位置x = 0。設計一個控制系統(tǒng)，使得當給定任意初始條件（由于擾引起）時，用合理的阻尼（如對主導閉環(huán)極點有=0.5），可快速地（如調(diào)整時間約為2秒）使擺返回至垂直位置，并使小車返回至參考位置（x = 0）。假設M、m和l的值為M = 2千克， m = 0.1千克， l

2、= 0.5米進一步設擺的質(zhì)量集中在桿的頂端，且桿是無質(zhì)量的。對于給定的角度和（/或）角速度的初始條件，設計一個使倒立擺保持在垂直位置的控制系統(tǒng)。此外，還要求控制系統(tǒng)在每一控制過程結束時，小車返回到參考位置。該系統(tǒng)何初始條件的干擾有效地做出響應（所期望的角d總為零，并且所期望的小車的位置總在參考位置上。因此，該系統(tǒng)是一個調(diào)節(jié)器系統(tǒng)）。這里，我們采用極點配置的狀態(tài)反饋控制方法來設計控制器。如前所述，對任意極點配置的充要條件為系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。設計的第一步是推導倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。4.4.1 數(shù)學建模當角度不大時，其數(shù)學模型為(4.19)(4.20)式（4.19）和(4.20)定義了如圖4.2所示

3、的倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型（只要不大，線性化方程就是有效的）。式（4.19）和（4.20）可改寫為(4.21)(4.22)式（4.21）可由式（4.19）和(4.20)消去得到。 式（4.22）可由式（4.19）和（4.20）消去得到。從式（4.21）可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為代入給定的數(shù)值，且注意到g = 9.81米/秒2，可得 顯然，該倒立擺系統(tǒng)在負實軸上有一個極點（s = -4.539），另一個極點在正實軸上（s = 4.539），因此，該系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定的。定義狀態(tài)變量為注意，表示擺桿圍繞點P的旋轉角，x表示小車的位置，將和x作為系統(tǒng)的輸出，即又由于和x均是易于量測的量。由狀態(tài)變量的定義和式（4

4、.21）和（4.22），可得 以向量-矩陣方程的形式表示，可得(4.23)(4.24)式（4.23）和（4.24）給出了該倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（注意，該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式不是唯一的，存在無窮多個這樣的表達式）。代入給定的M、m和l的值，可得于是，式（4.23）和（4.24）可重寫為：式中 采用下列線性狀態(tài)反饋控制方案 為此首先檢驗該系統(tǒng)是否狀態(tài)完全能控。由于的秩為4，所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。 系統(tǒng)的特征方程為因此 其次，選擇期望的閉環(huán)極點位置。由于要求系統(tǒng)具有相當短的調(diào)整時間（約2秒）和合適的阻尼（在標準的二階系統(tǒng)中等價于= 0.5），所以我們選擇期望的閉環(huán)極點為(i =1,2,3,4），其中 在這種情況下，1，和2是一對具有= 0.5和n = 4的主導閉環(huán)極點。剩余的兩個極點3和4位于遠離主導閉環(huán)極點對的左邊。因此，3和4響應的影響很小。所以，可滿足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程為因此現(xiàn)采用能控標準形的方法來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，即式中P由式（4.4）得到，即這里Q和W分別由式（4.5）和(4.6)得出。于是 變換