牛頓迭代法在天線定位上的運(yùn)用

1、牛頓迭代法在天線定位上的運(yùn)用200820303030 闕濱城一、 問題敘述接收天線在拾取信號(hào)時(shí)，如果它的方向指向信號(hào)源，那么信號(hào)增益最高，接收效果最好。如圖1所示，每個(gè)天線都指向了信號(hào)源，這時(shí)它們各自都能接收到最好的信號(hào)。如果信號(hào)源是運(yùn)動(dòng)體的話，接收天線要接收到更好的信號(hào)就要重新定位。在這里將給出天線的二維的數(shù)學(xué)模型和一種牛頓迭代的定位算法，并用Matlab進(jìn)行建模、仿真和驗(yàn)證。相信這種算法可以很好地嵌入到MCU或DSP中。 圖1 定位好的天線二、 問題分析假設(shè)每個(gè)天線都有自已的輔助天線（定位天線）用于定位，為了簡(jiǎn)化模型，這里使用二維向量來分析天線定位（同理可以擴(kuò)展到三維）。如圖2，以天線支腳

2、為原點(diǎn)，紅點(diǎn)代表信號(hào)源，兩個(gè)向上的箭頭代表定位天線，當(dāng)天線沒有定位好時(shí)，信號(hào)源發(fā)射過來的信號(hào)方向與兩定位天線的夾角不同，于是接收到的信號(hào)強(qiáng)度也不同，令兩個(gè)夾角為別為1、2，則天線要轉(zhuǎn)動(dòng)的角度可以用三角函數(shù)關(guān)系式解得：定位天線1和定位天線2接收到的信號(hào)強(qiáng)度S1、S2為：其中d1、d2為信號(hào)源到接收天線的距離，k為接收因子。 圖2 未定位好的天線模型 圖3 定位好的天線模型在這里涉及的變量較多，如果要全部求出這些變量，在這個(gè)模型下不太可能，而且沒有必要。但是這個(gè)模型可以很好地運(yùn)用重定位后接收到的信號(hào)強(qiáng)度來迭代計(jì)算角度，并通過累加旋轉(zhuǎn)角來計(jì)算出角度，當(dāng)計(jì)算出角度時(shí)，此時(shí)的天線也定位好了。由于變量多，

3、條件少，在這里可以用輔助天線接收到的信號(hào)強(qiáng)度相同來判斷天線是否定位好。即：而在尋求兩信號(hào)強(qiáng)度相等的同時(shí)，這些中間過程天線旋轉(zhuǎn)的角度的累加可以計(jì)算出偏角：其中i為第i次旋轉(zhuǎn)時(shí)的所旋轉(zhuǎn)的角度，N為從不穩(wěn)定開始計(jì)數(shù)到轉(zhuǎn)到定位好時(shí)的旋轉(zhuǎn)次數(shù)，通過N也可以算出這次從新定位所用的時(shí)間。下面用流程圖來表示此過程：開始S1=S2()接收信號(hào)S1S2N+-結(jié)束YYNN圖4 算法流程圖其中，流程圖中的S1=S2 是在一定的容差情況下近似相等情況，為了加快迭代算法的收斂，這里的加減值可以根據(jù)S1和S2的比值大小來確定。具體實(shí)現(xiàn)方法可以查看代碼。三、 實(shí)驗(yàn)程序及注釋%這里用一個(gè)3*2的數(shù)組來存儲(chǔ)信號(hào)源、輔助天線1、輔

4、助天線2的坐標(biāo)；%其中，a1是輔助天線1的坐標(biāo)，a2是輔助天線2的坐標(biāo)，a3是信號(hào)源的坐標(biāo)；a=-1,0;1,0;30,40;c=0,pi/2;%c(1)是天線與地平面的夾角，c(2)是天線的法線與地平面夾的角，初態(tài)；k=10000;%假設(shè)接收因子為10000；%B1是輔助天線1指向信號(hào)源的向量，B2是輔助天線2指向信號(hào)源的向量；B=a(3,1)-a(1,1),a(3,2)-a(1,2);a(3,1)-a(2,1),a(3,2)-a(2,2);D1=B(1,1)2+B(1,2)2;%計(jì)算信號(hào)源到輔助天線1的距離的平方；D2=B(2,1)2+B(2,2)2;%計(jì)算信號(hào)源到輔助天線2的距離的平方；

5、d1=sqrt(D1);%計(jì)算信號(hào)源到輔助天線1的距離；d2=sqrt(D2);%計(jì)算信號(hào)源到輔助天線2的距離；%歸一化B1、B2,此時(shí)的b1、b2都是指向信號(hào)源的單位向量；b(1,1)=B(1,1)/d1;b(1,2)=B(1,2)/d1;b(2,1)=B(2,1)/d2;b(2,2)=B(2,2)/d2;c(2)=c(1)+pi/2;%重新計(jì)算法線角；e=cos(c(2),sin(c(2);%天線法線的單位向量f=(b*e);%計(jì)算信號(hào)在天線上的投影,f(1)是信號(hào)源在輔助天線上上的投影，f(2)同理；s1=k*f(1)/D1;%輔助天線1接收到的信號(hào)強(qiáng)度，k為接收因子；s2=k*f(2)

6、/D2;%輔助天線1接收到的信號(hào)強(qiáng)度，k為接收因子；if s1s2 dir=1;else dir=0;end %判斷天線應(yīng)該旋轉(zhuǎn)的方向，1為逆時(shí)針，0為順時(shí)針；N=1;%計(jì)算累加系數(shù)；%以下進(jìn)入迭代算法的主要部分for i=1:4 if i=1 step=180;%步進(jìn)為1度 end if i=2 step=1800;%步進(jìn)為0.1度 end if i=3 step=18000;%步進(jìn)為0.01度 end if i=4 step=180000;%步進(jìn)為0.001度 endEn=1;%用于控制是否運(yùn)行程序塊的變量； while En if s1s2 c(1)=c(1)+pi/step;%逆時(shí)針旋

7、轉(zhuǎn)1度； if dir=0 En=0; end %前一個(gè)過程是順時(shí)針方向轉(zhuǎn)的，現(xiàn)在轉(zhuǎn)過頭了，找到了合適的位置； else c(1)=c(1)-pi/step;%順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1度； if dir=1 En=0; end %前一個(gè)過程是逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)的，現(xiàn)在轉(zhuǎn)過頭了，找到了合適的位置； end a(1,1)=cos(c(1)-pi);a(1,2)=sin(c(1)-pi); a(2,1)=cos(c(1);a(2,2)=sin(c(1);%重新計(jì)算出輔助天線1、2的坐標(biāo)； %B1是輔助天線1指向信號(hào)源的向量，B2是輔助天線2指向信號(hào)源的向量； B=a(3,1)-a(1,1),a(3,2)-a(1,2)

8、;a(3,1)-a(2,1),a(3,2)-a(2,2); D1=B(1,1)2+B(1,2)2;%計(jì)算信號(hào)源到輔助天線1的距離的平方； D2=B(2,1)2+B(2,2)2;%計(jì)算信號(hào)源到輔助天線2的距離的平方； d1=sqrt(D1);%計(jì)算信號(hào)源到輔助天線1的距離； d2=sqrt(D2);%計(jì)算信號(hào)源到輔助天線2的距離； %歸一化B1、B2,此時(shí)的b1、b2都是指向信號(hào)源的單位向量； b(1,1)=B(1,1)/d1;b(1,2)=B(1,2)/d1; b(2,1)=B(2,1)/d2;b(2,2)=B(2,2)/d2; c(2)=c(1)+pi/2;%重新計(jì)算法線角； e=cos(c

9、(2),sin(c(2);%天線法線的單位向量 f=(b*e);%計(jì)算信號(hào)在天線上的投影,f(1)是信號(hào)源在輔助天線上上的投影，f(2)同理； s1=k*f(1)/D1;%輔助天線1接收到的信號(hào)強(qiáng)度，k為接收因子； s2=k*f(2)/D2;%輔助天線1接收到的信號(hào)強(qiáng)度，k為接收因子； N=N+1;%計(jì)算累加系數(shù)加1；endend四、 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果及分析1、 在以上程序的默認(rèn)值中，輸入命令：N,c(1)*180/pi,atan(a(3,2)/a(3,1)*180/pi即顯示迭代次數(shù)（天線轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)）、天線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度、以及計(jì)算所提的信息號(hào)源與水平面的夾角。顯示結(jié)果如下： N,c(1)*180/pi

10、,atan(a(3,2)/a(3,1)*180/piN = ans = ans =68 -36.8690 53.1301分析可以得出：天線轉(zhuǎn)動(dòng)了68次（40次左右的時(shí)候就可以說是很好的定位了，經(jīng)過更多次之后定位精度更高），順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了36.869度，由計(jì)算機(jī)得出的信號(hào)源與水平面的夾角為53.1301度，定位誤差為：90-36.869-53.1301=0.0001度。2、 多組數(shù)據(jù)測(cè)試。為了評(píng)估數(shù)學(xué)模型以及程序的性能，這里給出了多組數(shù)據(jù)檢測(cè)模型和程序的正確性。其中表1是信號(hào)源變動(dòng)，其它量不變的數(shù)據(jù)；表2是信號(hào)源不動(dòng)，天線距離變動(dòng)的數(shù)據(jù)；表3是其它點(diǎn)不動(dòng)，天線角變動(dòng)的數(shù)據(jù)。表1 信號(hào)源變動(dòng)，其它量

11、不變的數(shù)據(jù)信號(hào)源坐標(biāo)迭代次數(shù)旋轉(zhuǎn)角度(度)信號(hào)源夾角(度)(10,60)30-9.46280.5377(20,50)39-21.80168.1986(30,40)68-36.86953.1301(-30,40)6836.869126.8699(-10,60)309.46399.4623表2 信號(hào)源不動(dòng)，天線距離變動(dòng)的數(shù)據(jù)輔助天線距離迭代次數(shù)旋轉(zhuǎn)角度(度)信號(hào)源夾角(度)168-36.86953.1301268-36.86953.1301368-36.86953.1301468-36.86953.1301568-36.86953.1301表3 其它點(diǎn)不動(dòng)，天線角變動(dòng)的數(shù)據(jù)天線夾角(度)迭代次數(shù)旋轉(zhuǎn)角度(度)信號(hào)源夾角(度)-6060.13153.1301-3038-6.86953.1301068-36.86953.13013098-66.86953.130160128-98.86953.13013、結(jié)果分析：從以上數(shù)據(jù)可以看出該迭代算法比較有規(guī)律，而且從實(shí)測(cè)及程序代碼理上分析都可以得出定位誤差是0.01度，而且是絕對(duì)收斂；但是對(duì)于一般情況下的天線定位，可以不用做到這么高的精度（這里說明的是該算法可以做到足夠高的精度），當(dāng)然在實(shí)