概率論與數(shù)理統(tǒng)計資料隨機(jī)事件的概率

1、隨機(jī)事件1（1988 年、數(shù)學(xué)一、填空）若在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于5 6 ”的概率為（ ）。答案 填：25 17  2（1989 年、數(shù)學(xué)一、填空）設(shè) A,B 為隨機(jī)事件，且 P(A =0.5, P(B =0.6, P(B |A =0.8,則 P(A +B =( 。答案 填：0.7P(A+B=P(A+P(B-P(AP(B|A=0.5+0.6-0.5×0.8=0.7 3（1990 年、數(shù)學(xué)一、填空設(shè) A,B 為隨機(jī)事件，且 P(A=0.4, P(B=0.3, P(AB=0.6,則 P( =( 。答案 填：0.3

2、由 =A-AB 且 P(AB=P(A+P(B- P(AB=0.1 得 P( =P(A-AB=P(A-P(AB=0.4-0.1=0.3. 4（1991 年、數(shù)學(xué)一、填空）向半圓 0y2 2 x ax - ,(a 0內(nèi)任擲一點且落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率均與 該區(qū)域的面積成正比。則該點與原點的連線與 x 軸的夾角小于 4p的概率為（ ）。 答案 填：p 1 2 1 + 5（1992 年、數(shù)學(xué)一、填空）設(shè) P(A=P(B=P(C=4 1 ,P(AB=0,P(AC=P(BC=6

3、0;1 ,則事件A,B,C 都不發(fā)生的概率為 （ ）。答案 填：12 7  設(shè) =事件 A,B,C 都不發(fā)生，由 P(AB=0且 ABC ÌAB，可知0P（ABC）P（AB）=0，得P（ABC）=0，則P(ABC=P（A）+ P（B）+ P（C）- P（AB）- P（BC）- P（AC）+ P（ABC）=12 5 因 此 P（ ）= 1- P(ABC=1-12 5 =12 7 6（1994 年、數(shù)學(xué)一、填空設(shè) A,B 為隨機(jī)事件，且 P(A=p, P（AB）= P（ 

4、;）, 則 P（B）=( 。答案 填：1-p由 P（ ）=1-P（AB）=1-P（A）-P（B）+P（AB），根據(jù)條件 P（AB）= P（ ） 且 P(A=p，可知 P（B）=1-P(A=1-p 7（1987 年、數(shù)學(xué)三、選擇）設(shè) A,B 為兩事件且 P（AB）= 0,則( 。 . 與互斥 是不可能事件 未必是不可能事件 P(A=0 或 P（B）=0答案 選：概率為 0 的事件未必是不可能事件。這不難由“連續(xù)型隨機(jī)變量在具體一點取值的概 率恒為 0”看出。 8（1988 年、數(shù)學(xué)三、是非題）若事件 A，B，C 滿足等式 A+C=B+C，則 A=B （ ）。答案 填：非當(dāng)三事

5、件 A，B，C 滿足 A+C=B+C 時，A=B 未必成立。如 A=1，2，3，B=1，2，4， C=2，3，4且 A+C=1，2，3，4，B+C=1，2，3，4，則 A+C=B+C，但是AB. 9（1989 年、數(shù)學(xué)三、選擇）若用事件 A 表示“甲產(chǎn)品暢銷，乙產(chǎn)品滯銷” ，則事件 表示（ ）。 A甲產(chǎn)品滯銷，乙產(chǎn)品暢銷B. 甲、乙兩產(chǎn)品均暢銷. 甲產(chǎn)品滯銷甲產(chǎn)品滯銷或乙產(chǎn)品暢銷答案 選：D10 （1990 年、數(shù)學(xué)三、選擇）設(shè)隨機(jī)事件A 與 B 滿足 A ÉB，則（ ）成立。 AP（A+B）=P（A） B. P(AB=P(A C. P(B|A=P(B D. P(B-A=P

6、(B-P(A答案 選 A11 （1990 年、數(shù)學(xué)三、計算）從 0 到 9 十個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字,求：事件 1 A =三個數(shù)字中不含 0 和 5, 2 A =三個數(shù)字中不含 0或 5的概率。 解：設(shè) 1 B =三個數(shù)字中不含 0， 2 B =三個數(shù)字中不含5， 則 P（ 1 A ）=P（ 1 B  2 B ）=3 10 3 8 C C

7、60;=15 7 P（ 2 A ）=P（ 1 B + 2 B ）=P（ 1 B ）+P（ 2 B ）-P（ 1 B  2 B ）=3 10 3 8 3 10 3 9 3 10 3 9 C C C C C C +

8、 =15 14 12 （1991 年、數(shù)學(xué)三、選擇）設(shè)兩事件與互斥，且 P（A）0，P（B）0，則（ ）正確A 與互斥B.  與互容C. P（AB）=P（A）P（B）D. P（A-B）=P（A）答案 選：D13 （1992 年、數(shù)學(xué)三、選擇）設(shè)兩事件與同時發(fā)生時，事件 C 必發(fā)生，則（ ）成立。A. P(C P(A+P(B-1 B. P(C P(A+P(B-1 C. P(C=P(AB D. P(C=P(A+B答案 選：B事件與同時發(fā)生時，事件C 必發(fā)生，則 AB ÌC,故 P(AB P(C 由 P(A+B= P(A+P(B- P(AB 1， 得

9、 P(AB= P(A+P(B- P(A+B P(A+P(B-1 即 P(C P(AB P(A+P(B-1 14 （1992 年、數(shù)學(xué)三、填空）若將 C,C,E,E,I,N,S 這七個字母任排一行，則排成 SCIENCE 的概率為（ ）答案 填：11260 1 P=7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 P P P P P

10、60;P P P P × × × × × =11260 115 (1993 年、 數(shù)學(xué)三、選擇設(shè)兩事件與滿足P(B|A=1, 則（ ）正確。A. A 是必然事件B. P(B|=0C. AÉB D. AÌB答案 選：D 由 P(B|A= (  ( A P AB P =1,可知 P(AB= P(A，即知A ÌB。 16(1996 年、數(shù)學(xué)三、計算設(shè)方程 0 2 = + + 

11、;c bx x 中的 b,c 分別是連擲兩次一枚骰子先后出現(xiàn)的點數(shù)，求此方程 有實根的概率和有重根的概率。解：方程 0 2= + + c bx x 有實根，等價于 c b  4 2- 0，即 c4 2 b ,有重根等價于 c b  4 2 - =0.樣本點總數(shù)為 64，通過一一列舉（略）可知有利樣本點數(shù)分別為 19，2，則所求概率分別為36 19 與36 2 

12、;。 17 （2000 年、數(shù)學(xué)三、選擇）在電爐上安裝了四個溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機(jī)的。在使用過程中，只要有兩個溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度 0 t ，電爐就斷電，以E 表示事件“電爐斷電”而 4 3 2 1 T T T T £ £ £ 為四個溫控器顯示的按遞增順序排列的溫度值，則事件 E 等于（ ）。 A. ³ 1 T  0 t  B. ³ 2 T 

13、0;0 t  C. ³ 3 T  0 t  D. ³ 4 T  0 t 答案 選：C18 （1987 年、數(shù)學(xué)四、選擇） 設(shè) A,B 為兩事件，則P(A-B=( 。A.P(A-P(B B. P(A-P(B+P(AB C.P(A-P(AB D.P(A+P(B-P(AB答案 選：CA-B=A-AB,且A ÉAB，則 P(A-B=P(A-AB=P(A-P(AB 19 （1991 年、數(shù)學(xué)四、填空）設(shè) A,B 為兩事件且 P(A=0.7, P(A-B=0

14、.3,則 P(AB =( 。答案 填：0.6P( AB =1- P(AB=1- P(A+ P(A-B=0.620 (1992 年、 數(shù)學(xué)四、填空設(shè)A,B,C 為隨機(jī)事件且P(A= P(B=P(C=0.25,P(AB=P(BC=0， P(AC=0.125, 則A,B,C 至少出現(xiàn)一個的概率為（ ）。答案 填：0.625由 0P(ABC P(AB=0, 則 P(ABC=0,從而(A+B+C=P(A+P(B+P(C-P(AB-P(BC-P(AC+P(ABC=0.625 21 （1997 年、 數(shù)學(xué)四、填空）設(shè) A,B 為兩任意事件,則 P(A +B(A+B(A +B (A+B =( 。答案

15、 填：0由( A +B(A+B(A +B (A+B =(A +B(A+B (A+B (A +B =(A A+BB +AB+A B(A A + BB +AB + A B =(AB+A B( AB + A B=(AB( AB +(AB(A B+(A B(AB +(A B( A B =(AA(BB +(AA （BB）+(A A(BB +(A A (BB =F 則所求為 P(F=0 22 (1987 年、數(shù)學(xué)一、填空設(shè)在每次貝努利試驗中，事件A 發(fā)生的概率均為p,則在 n 次貝努利試驗中，事件 A 至

16、少發(fā)生一次的概率為（ ），至多發(fā)生一次的概率為（ ）。答案 填：(1-(1-p n  (1-p n +np(1-p 1- n 由貝努利概型的概率計算公式，據(jù)題意可知， 事件 A 至少發(fā)生一次的概率為 k n k nk k n p p C - = - å  1 ( 1 或 n n p p C   1 

17、( 1 0 0 - - ，事件 A 至多發(fā)生一次的概率為 k n k k k n p p C - = - å  1 ( 1 0 = n n p p C   1 ( 0 0 - + 1 1 1  1 ( - - n n p

18、 p C 23 (1987 年、數(shù)學(xué)一、填空三個箱子中，第一箱裝有 4 個黑球 1 個白球，第二箱裝有 3 個黑球 3 個白球，第三箱 裝有 3 個黑球 5 個白球?，F(xiàn)先任取一箱，再從該箱中任取一球，問這球是白球的概率 為（ ），取出的白球是屬于第二箱的概率為（ ）。答案 填：（1） 120 53 ； （2） 53 20  （1）設(shè) i A =任取一球是第 i 箱的，B=取得白球， 則由題意可知 P(B=P( 1 A P(B| 1

19、60;A +P( 2 A P(B| 2 A +P( 3 A P(B| 3 A =8 5 3 1 6 3 3 1 5 1 3 1 + + = 120 53 （2）P( 2 A |B=6  (  ( 2 = B P B

20、60;A P = 53 20 24（1988 年、數(shù)學(xué)一、填空設(shè)在三次獨立試驗中，事件 A 出現(xiàn)的概率均相等且至少出現(xiàn)一次的概率為27 19 ，則在 一次試驗中事件 A 出現(xiàn)的概率為（ ）。答案 填：3 1 設(shè)所求概率為 p，由題意有 3 0 0 3  1 ( 1 p p C - - = 27 19 ，則 p=3 1 25 （1988 年、數(shù)學(xué)一、

21、填空設(shè)甲乙兩人獨立地射擊同一目標(biāo)，其命中率分別為 0.6 與 0.5，則已命中的目標(biāo)是被甲 射中的概率為（ ） 。答案 填：0.75設(shè) A=目標(biāo)是被甲射中的，B=目標(biāo)是被乙射中的，則 AB=目標(biāo)被射中 則 P(A|AB= (  ( ( B A P B A A P È È =  (  ( B A P A P È =0.7526 （1993 年、數(shù)學(xué)一、填空若從有 10

22、件正品 2 件次品的一批產(chǎn)品中，任取 2 次，每次取一個，不放回，則第二次 取出的是次品的概率為（ ）。答案 填：6 1 此為“抽簽問題” （抽簽結(jié)果與抽簽順序無關(guān)）的簡單應(yīng)用。 27 （1996 年、數(shù)學(xué)一、填空設(shè) A,B 兩廠產(chǎn)品的次品率分別為 1% 與2%，現(xiàn)從 A,B 兩廠產(chǎn)品分別占 60%與 40%的一批 產(chǎn)品中任取一件是次品，則此次品是 A 廠生產(chǎn)的概率為（ ）。答案 填：7 3 設(shè) A=任取一件產(chǎn)品是 A 廠生產(chǎn)的，B=任取一件產(chǎn)品是 B 廠生產(chǎn)的,C=任取一件產(chǎn) 品是次品，則 P(A=0.6,P(B=0.4,P(C|A=0.01,P(C|

23、B=0.02,由Bayes 公式，所求即 P(C|A= 7 3 28 （1997 年、數(shù)學(xué)一、填空）袋子中裝有 50 個乒乓球，其中 20 個黃的，30 個白的，現(xiàn)有兩人依次隨機(jī)地從袋中各 取一球，取后不放回，則第二人取得黃球的概率是( 。答案 填：5 2 29(1998 年、數(shù)學(xué)一、選擇設(shè) A,B 為兩事件，且0P(A1,P(B0,P(B|A=P(B| A ,則（ ）成立。 A. P(A|B=P(A |B B. P(A|BP(A |BC.P(AB=P(AP(BD. P(AB P(AP(B答案 選：C在等式 P(B|A=P(B|A 兩

24、端同時乘以 P(AP(A ,再考慮到 P(A =1- P(A，展開即得 30（1999 年、數(shù)學(xué)一、填空）設(shè)兩兩相互獨立的三個事件 A,B,C 滿足條件: ABC=,P(A=P(B=P(C 2 1 ,且已知 P(A+B+C= 16 9 ,則 P(A=( 。 答案 填：4 1 由題設(shè)得： 16 9 =3P(A-3P(AP(A,再考慮到 P(A=2 1 ，可算出 P(A= 4 1 。 31（2000 年、數(shù)學(xué)一、填空）設(shè)兩個相互獨立的事件 A,B 都

25、不發(fā)生的概率為9 1 ， A 發(fā)生 B 不發(fā)生的概率與B 發(fā)生 A 不 發(fā)生的概率相等，則P(A=( 。答案 填：3 2 32 （1987 年、數(shù)學(xué)三、計算） 設(shè)兩箱內(nèi)裝有同種零件，第一箱裝 50 件，有 10件一等品，第二箱裝 30 件，有 18件 一等品，先從兩箱中任挑一箱，再從此箱中前后不放回地任取兩個零件，求： （1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的條件下，后取的仍是一等品的條件概率。解：設(shè)事件 i A =從第 i 箱取的零件， i B =第 i 次取的零件是一等品 （

26、1）P( 1 B =P( 1 A P( 1 B | 1 A +P( 2 A P( 1 B | 2 A =5 2 30 18 2 1 50 10 2 1 = + （2）P( 1 B  2 B =194 . 0 2 

27、;1 2 1 2 30 2 18 2 50 2 10 = + C C C C ,則 P( 2 B | 1 B = (  ( 1 2 1 B P B B P =0.485 33 （1988 年、數(shù)學(xué)三、填空）設(shè) P(A=0.4,P(A+B=0.7,若事件 A 與 B 互斥

28、，則 P(B=( ,若事件 A 與 B 獨立，則 P(B=( 。答案 填：0.3 ; 0.534 （1988 年、數(shù)學(xué)三、計算）設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱 20只，各箱含 0，1，2 只殘次品的概率分別為 0.8,0.1,0.1, 一顧客欲購買一箱玻璃杯，由售貨員任取一箱，經(jīng)顧客隨機(jī)察看4 只，若無殘次品， 則買此箱玻璃杯，否則不買。求： （1）顧客買此箱玻璃杯的概率；（2）在顧客買的此箱玻璃杯中，確實沒殘次品的概率。解：（1）設(shè)事件 i A =一箱的玻璃杯中含 i 個殘次品，i=0,1,2,且 P( 0 A =0.8, P( 

29、1 A =P( 2 A =0.1,事件 B=從一箱中任取四只杯子無殘次品，則由全概率公式可得： P(B= P( 0 A P(B| 0 A + P( 1 A P(B| 1 A + P( 2 A P(B| 2 A = 0.8×4 20 4 20 C C +0.1×4 20 

30、4 19 C C +0.1×4 20 4 18 C C =0.94（2）P( 0 A |B=94 . 0 8 . 0  (  ( 0 = B P B A P =0.85 35（1990 年、數(shù)學(xué)三、填空）某射手對目標(biāo)獨立射擊四次，至少命中一次的概率為81 80 ，則此射手的命中率

31、為（ ）。 答案 填：3 2 36 （1994 年、數(shù)學(xué)三、選擇）設(shè) 0P(A1, 0P(B1,P(A|B+P(A |B =1,則 A 與B（ ）。 A.互斥B.對立C.不獨立D.獨立答案 選 D由于 P(A |B =1- P(A |B ，根據(jù)已知條件不難知 P(A|B= P( A |B ，對此等式兩 端同乘以 P（B）P(B ,展開整理即得 P(AB=P(AP(B。37 （1995 年、數(shù)學(xué)三、計算）某廠生產(chǎn)的每臺儀器，可直接出廠的占0.7,需調(diào)試的占 0.3,調(diào)試后可出廠的占 0.8， 不能出廠的不合格品占 0.2,現(xiàn)新生產(chǎn) n（n2）臺儀器（設(shè)每臺儀器的生產(chǎn)

32、過程相互 獨立），求：（1）全部能出廠的概率；（2）恰有兩臺不能出廠的概率； （3）至少有兩臺不能出廠的概率。解：設(shè) A=生產(chǎn)的儀器可直接出廠，B=生產(chǎn)的儀器可以出廠， 則 P(B=P(A+P(A P(B|A =0.7+0.7×0.8=0.94設(shè) X 表示 n（n2）臺儀器中最后能出廠的臺數(shù)，則X 服從 B(n,0.94分布，所求概率 分別為PX=n= n  94 . 0 PX=n-2= 2 2 2 06 . 0 94 . 0 - - 

33、n n n C  PXn-2=1-PXn-1=1- n  94 . 0 - 06 . 0 94 . 0 1 1- n n C 38（1996 年、數(shù)學(xué)三、選擇）設(shè) 0P(B1,且 P( 1 A + 2 A |B= P( 1 A |B+ P( 2 A |B,則（ ）成立。

34、 A.( 1 A + 2 A |B =P( 1 A |B +P( 2 A |B B.P( 1 A B + 2 A B= P( 1 A B+ P( 2 A B C.P( 1 A + 2 A =P( 1 A |B+ P( 2 A |B D.P(

35、B= P( 1 A P(B| 1 A + P( 2 A P(B| 2 A 答案 選 B對已知等式 P( 1 A + 2 A |B= P( 1 A |B+ P( 2 A |B兩端同時乘以P(B即知。 39 （1998 年、數(shù)學(xué)三、計算）設(shè)考生的報名表來自三個地區(qū)，分別有 10份，15 份，25 份，其中女生的分別為 3份， 7 份，5 份。隨機(jī)地從一地區(qū)，先后

36、任取兩份報名表，求： (1先取的那份報名表是女生的概率 p；(2已知后取到的報名表是男生的，而先取的那份報名表是女生的概率 q。解：(1 設(shè) i A =考生的報名表是第 i 個地區(qū)的，i=1,2,3, B=取到的報名表是女生 的，由全概率公式知：p=P(B= P( 1 A P(B| 1 A + P( 2 A P(B| 2 A +P( 3 A P(B| 3 A =  ´

37、 1 3  1  7  1  1  29  + ´ + ´ = 3  10  3  15  3  5  90  （2）設(shè) C=先取的那份報名表是女生的,D=后取到的報名表是男生的,則 q=P(C|D=  P  CD  (    P(    CD  =  P  D  (    P  CD  + P&#

38、160; C D  (    (    其中 P(CD= P( A  P(CD| A  + P( A  P(CD| A  +P( A  P(CD| A  1  1  2  2  3  3  =  ´ 1 3  7  1  7  8  1  1  20  2&#

39、160; ´ + ´ ´ + ´ ´ = 3  10  9  3  15  14  3  5  24  9  61  90  P( C  D= P( A  P( C  D | A  + P( A  P( C  D | A  +P( A  P( C  D | A  =&#

40、160; 1  1  2  2  3  3  所以可計算得 q=  20  61  40 (1993 年、數(shù)學(xué)四、填空 設(shè) 10 件產(chǎn)品中有 4 件不合格品， 從中任取兩件， 已知所取的兩件中有一件是不合格品， 則另一件也是不合格品的概率為（ ） 。 答案 填：  1  5  設(shè) A  =所取的第 i 件產(chǎn)品是不合格品 ,i=1,2, A=所取的兩件中有一件是不合格品 i  則顯然有：A = A  + A  , 1  2  4 3  P  A A  A  P  A  A    10 9  1  (