必修四第一章三角函數(shù)1.6 三角函數(shù)的周期性 （習題+解析）

1、.高中數(shù)學三角函數(shù)的周期性一、考點打破知識點課標要求題型說明三角函數(shù)的周期性1. 理解周期函數(shù)的定義；2. 知道正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期；3. 會求函數(shù)ysinx和ycosx的周期。填空解答高考必考周期性是三角型函數(shù)的重要性質，也是我們在所學的根本初等函數(shù)中唯一具備這一特性的函數(shù)。在解答題中往往出如今第1步，較為簡單?？陀^題往往與圖象等結合考查。二、重難點提示重點：求函數(shù)的周期、利用周期求函數(shù)值。難點：對定義的理解及定義的簡單應用。一、周期函數(shù)的定義一般地，對于函數(shù)fx，假如存在一個非零的常數(shù)T，使得定義域內的每一個x值，都滿足fxTfx，那么函數(shù)fx就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函

2、數(shù)的周期。【要點詮釋】函數(shù)周期性的理解：定義應對定義域中的每一個值來說，只有個別的值滿足fxTfx或不滿足，都不能說T是fx的周期。從fxTfx來看，應強調是自變量x本身加的常數(shù)才是周期，如f2xTf2x中，T不是周期，而應寫成，那么是fx的周期。對于一個周期函數(shù)，假如在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做的最小正周期。今后提到的三角函數(shù)的周期，如未特別指明，一般都是它的最小正周期。并不是所有的周期函數(shù)都存在最小正周期。例如常數(shù)函數(shù)為常數(shù)，其周期是任意實數(shù)，沒有最小正數(shù)。周期函數(shù)的周期不是唯一的，假如T是函數(shù)fx的周期，那么kTkZ，k0也一定是函數(shù)的周期?！竞诵臍w納】如

3、何利用定義判斷函數(shù)是不是周期函數(shù)？1首先看定義域假設是定義域D內的一個值，那么也一定屬于定義域D，因此周期函數(shù)的定義域D一定是無限集，而且定義域D一定無上界且無下界。2其次看恒等式是否成立對于定義域D內任意一個，是否有恒成立。假如成立，那么是周期函數(shù)。否那么，不是周期函數(shù)。二、的周期一般地，函數(shù)yAsinx和yAcosx其中A，為常數(shù)，且A0，0的周期T。【規(guī)律總結】求三角函數(shù)的周期，通常有三種方法。1定義法；2公式法，對yAsinx或yAcosxA，是常數(shù)，且A0，0，T；3圖象法。三種方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的構造特征，選擇適當方法求解，為了防止出現(xiàn)錯誤，求周期之前要盡可能將函數(shù)化為同名

4、同角的三角函數(shù)，且函數(shù)的次數(shù)為1。例如：函數(shù)的周期為3，那么 。思路分析：利用yAsinxA，是常數(shù)，且A0，0的最小正周期為T這一結論解決。答案：由題得，那么技巧點撥：在運用公式法求周期時不要忽略絕對值。例題1 求三角函數(shù)的周期求以下函數(shù)的周期：1y3sinx；2y2cos；3y|sin x|。思路分析：利用公式法或定義法求解即可。假設0，那么先用誘導公式轉化為正值，再用公式求周期。答案：1T4。2y2cos2cos，T4。3由ysin x的周期為2，可猜測y|sin x|的周期應為。驗證：|sinx|sin x|sin x|，由周期函數(shù)的定義知y|sin x|的周期是。例題2 函數(shù)周期性的

5、判斷設函數(shù)yfx，xR，假設函數(shù)yfx為偶函數(shù)并且圖象關于直線xaa0對稱，求證：函數(shù)yfx為周期函數(shù)。思路分析：要證函數(shù)yfx是周期函數(shù)，就是要找到一個常數(shù)TT0，使得對于任意實數(shù)x，都有fxTfx，可根據(jù)yfx的奇偶性與對稱性推導證明。答案：由yfx的圖象關于xa對稱得f2axfx，f2axfx，fx為偶函數(shù)，fxfx，f2axfx，fx是以2a為周期的函數(shù)?！局匾崾尽?. 斷定或證明一個函數(shù)是周期函數(shù)，就是找出一個詳細的非零常數(shù)T滿足fxTfx對定義域中一切x都成立。2. 假設函數(shù)fx對定義域內的一實在數(shù)x滿足fxafx或fxa或fxa，那么fx都是周期函數(shù)，且2a為它的一個周期，這里

6、a為非零常數(shù)。函數(shù)周期性概念理解不透徹致誤【總分值訓練】判斷函數(shù)ycos 4x，x，是否為最小正周期為的周期函數(shù)，假設不是，請說明理由?！惧e解】記fxcos 4x，設T為fx的周期，那么fxTfx，即cos 4xcos 4xT對任意實數(shù)x都成立，也就是cos4Tcos 對任意實數(shù)都成立，其中4x，由于ycos 的最小正周期為2，令4T2，得T，故函數(shù)ycos 4x，x，是最小正周期為的周期函數(shù)?！惧e因分析】導致錯誤的原因在于沒有注意條件x，的限制，x時，xT，不符合周期函數(shù)的定義，即忽略了fxfxT對任意x都成立。【防范措施】要判斷一個函數(shù)是否為周期函數(shù)，要看定義域I，對任意xI，有xTI；對任意xI，有fxfxT。要說明一個函數(shù)不是周期函數(shù)或者不是以T為周期的周期函數(shù)，只需要舉一反例即可?！菊狻坑芍芷诤瘮?shù)的定義可知，對定義域內的每一個x值，有fxTfx，故xT也應在定義域內，但是當x時，x，故函數(shù)ycos 4x，x，不是周期函數(shù)。利用周期解決多個值的和假設函數(shù)fnsinnZ，求f97f98f99f102的值。思路分析：直接求和較難，可以判斷fn的周期性，利用周期函數(shù)在一個周期內函數(shù)值的變化情況求解。答案：由題意得sinsin2sinnZ，fnfn12，9712×81，9812×82，10212