動(dòng)態(tài)電路復(fù)頻域分析

1、第5章 動(dòng)態(tài)電路復(fù)頻域分析 學(xué)習(xí)指導(dǎo)與題解 一、基本要求1.了解拉普拉斯變換的定義，明確其基本性質(zhì)和應(yīng)用拉普拉斯變換分析電路的概念。2.會(huì)查表得出電路中常用函數(shù)的拉氏變換；掌握運(yùn)用部分分式展開和查表方法進(jìn)行拉普拉斯反變換。3.掌握基爾霍夫定律和元件伏安關(guān)系的復(fù)頻域形式，復(fù)頻域阻抗與導(dǎo)鈉，會(huì)建立動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域模型。4.熟練掌握應(yīng)用復(fù)頻域方法分析電路中過度過程的方法和步驟二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)應(yīng)用拉普拉斯變換分析電路的方法，是現(xiàn)代電路與系統(tǒng)分析的重要方法，是本課程的重要內(nèi)容。本章教學(xué)內(nèi)容可以分為如下三:部分：1.拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)；2.動(dòng)態(tài)電路的S域模型與S域分析；3.拉普拉斯反變換與部分分式展開法

2、。著重套路拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)，拉普拉斯表的使用S域模型的建立與S域分析，以及拉普拉斯變換的部分分式展開法。現(xiàn)就教學(xué)內(nèi)容中的幾個(gè)問題分述如下。（一）關(guān)于變換域分析法的概念變換域分析電路的概念，我們從本課程第五章以來已經(jīng)應(yīng)用，就是正弦交流電路分析計(jì)算電壓和電流的向量法。向量法是一中變換域分析法，它是將時(shí)域電路中的正弦函數(shù)變換為頻域?qū)?yīng)的相量，如，；將時(shí)域單一頻率正弦交流電路變換為頻域的相量模型；即，或，或。根據(jù)相量形式的，和元件，分析計(jì)算得出相量形式的電壓和電流，最后反變?yōu)闀r(shí)域正弦電壓或正弦電流。相量法實(shí)質(zhì)是將時(shí)域正弦交流電路求解微分方程的計(jì)算，轉(zhuǎn)化為頻域求解復(fù)數(shù)代數(shù)方程問題，從而使分析計(jì)算

3、簡易有效。動(dòng)態(tài)電路的分析，除有時(shí)域分析法外，也還有變換域分析法，應(yīng)用拉普拉斯變換的復(fù)頻域分析法，是一中主要的變換域分析法。時(shí)域分析法易于一階電路和簡單二階電路的分析，這是因?yàn)閷?duì)于高階電路采用時(shí)域經(jīng)典法分析計(jì)算時(shí)，確定初始條件和積分常數(shù)計(jì)算很麻煩，然而，這時(shí)應(yīng)用拉普拉斯變換的復(fù)頻域分析法，可以簡化分析的計(jì)算。拉普拉斯變換是積分變化，它可以將時(shí)域電路描述動(dòng)態(tài)過程的常系數(shù)線形微分方程變換為復(fù)頻域的復(fù)數(shù)代數(shù)方程，在復(fù)頻域求解代數(shù)方程，得出待求響應(yīng)量的復(fù)頻域函數(shù)，最后經(jīng)拉氏反變換為所求解的時(shí)域響應(yīng)。這種變換分析方法，其實(shí)質(zhì)就是時(shí)域問題變換為復(fù)頻域來求解，使分析計(jì)算抑郁易于進(jìn)行。應(yīng)用拉普拉斯變換分析動(dòng)態(tài)電

4、路，有兩種方法，即變換方程和變換電路法。前者是將描述動(dòng)態(tài)電路的微分方程，經(jīng)拉氏變換為復(fù)頻域代數(shù)方程，在復(fù)頻域求解后，反變換為時(shí)域響應(yīng)；后者是時(shí)域電路直接變換為復(fù)頻域電路，即S域模型。根據(jù)S域模型進(jìn)行分析計(jì)算，得出響應(yīng)量的S域形式，最后反變換為時(shí)域響應(yīng)。本課程主要討論后一種方法。應(yīng)用拉普拉斯變換分析電路，主要的優(yōu)點(diǎn)有：1. 拉氏變換能將電路分析時(shí)域求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)頻域求解代數(shù)方程問題，從而使求解得以簡化。2.可以同時(shí)解出微分方程的齊次方程的通解和非齊次方程的特解，而且初始條件自動(dòng)地包含在變換式或S域模型中，不需要確定積分常數(shù)。從而避免了時(shí)域求解微分方程確定積分常數(shù)的繁瑣計(jì)算。3.應(yīng)用拉

5、普拉斯變換，可以直接作出時(shí)域電路的S域模型。在S域模型的基礎(chǔ)上，用與直流電阻電路和在相量模型基礎(chǔ)上正弦交流電路相同的計(jì)算方法進(jìn)行分析計(jì)算，實(shí)現(xiàn)幾類電路分析方法的統(tǒng)一，而不必在時(shí)域列出微分方程，使分析計(jì)算大為簡化。4.易于對(duì)任意函數(shù)激勵(lì)的動(dòng)態(tài)電路進(jìn)行分析計(jì)算，是一種具有廣泛意義的分析方法。（二）關(guān)于拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)1. 拉普拉斯正變換與反變換稱為原函數(shù)的時(shí)域函數(shù)，經(jīng)下式積分變換后，便得出的象函數(shù)為 因是復(fù)數(shù)，即復(fù)頻率，故象函數(shù)是復(fù)頻域函數(shù)或S域函數(shù)，其變量是復(fù)數(shù)S，而不是時(shí)間t。由原函數(shù)經(jīng)上式變換為象函數(shù)，稱為拉氏正變換。拉氏正變換的符號(hào)為 若已知復(fù)頻域函數(shù)，則可按下式積分進(jìn)行反變換為原

6、函數(shù)，即由象函數(shù)經(jīng)過上式積分求出原函數(shù)，稱為拉氏反變換。拉氏反變換的符號(hào)為 電工技術(shù)中遇到的電量函數(shù)，一般都可以進(jìn)行拉普拉斯積分變換，從而奠定了應(yīng)用拉氏變換分析電路的基礎(chǔ)。2. 拉普拉斯變換的幾個(gè)基本性質(zhì)應(yīng)用拉普拉斯變換分析電路，需明確如下幾個(gè)基本性質(zhì)。（1）線性性質(zhì)若，則，為常數(shù)。若，則 （2）微分性質(zhì)若，則 （3）積分性質(zhì)若，則 式中：積分在處取值。由此可見，由電容和電感元件的伏安關(guān)系分別為 ，是微分和積分關(guān)系。所以，由拉氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì)，必然得出拉氏變換式中自動(dòng)包含有初始狀態(tài)和值的結(jié)果。3. 拉氏變換表的應(yīng)用在電路分析中，常用的時(shí)域函數(shù)如，、和等，它們的拉氏變換式，都已積分得出

7、，教材中制表列出，以備查用。我們要熟悉這些常用函數(shù)的拉氏變換，了解這些變換式的依據(jù)，以便在進(jìn)行電路分析時(shí)能熟練查表應(yīng)用。（三）關(guān)于進(jìn)行拉氏反變換的部分分式展開法應(yīng)用拉普拉斯變換分析線性動(dòng)態(tài)電路時(shí)，要經(jīng)過拉氏正變換和拉氏反變換兩個(gè)重要步驟。正變換一般可以根據(jù)原函數(shù)查表得出它的象函數(shù)，比較簡捷。但是，經(jīng)過復(fù)頻域分析計(jì)算得出向量的象函數(shù)，往往比較復(fù)雜，一般不能直接通過查表得出它的原函數(shù)。因此，需要找出求取原函數(shù)反變換的方法。求取較復(fù)雜象函數(shù)的原函數(shù)的拉氏反變換，通常有兩種方法，即圍線積分法和部分分式展開法。圍線積分法是直接進(jìn)行拉氏反變換的積分，這是一種復(fù)變函數(shù)積分，運(yùn)算比較困難，但它的適用范圍較寬。

8、部分分式展開法，是將象函數(shù)分解為若干簡單變換式之和，然后分別查表求取原函數(shù)，這種方法適用于象函數(shù)是有理函數(shù)的情況。在集總線性電路中，常見的響應(yīng)量電壓和電流的象函數(shù)往往是S的有理函數(shù)。因此，它的拉氏反變換，可以將象函數(shù)展開為部分分式后，再逐項(xiàng)反變換為原函數(shù)。如果象函數(shù)是S的有理數(shù)，它可以表示 兩個(gè)S的多項(xiàng)式之比，即若n>m,是真分式。這時(shí)分母多項(xiàng)式可以用代數(shù)分解定律，求出的極點(diǎn)，有如下三種情況。1.單極點(diǎn)情況，得出n個(gè)不同的單實(shí).則便可展開部分分式為 待定常數(shù) 計(jì)算的一般公式為 計(jì)算得出待定常數(shù)后，根據(jù)部分分式，逐項(xiàng)進(jìn)行拉氏反變換，求出原函數(shù)為 2.復(fù)數(shù)極點(diǎn)情況分母多項(xiàng)式，得出含有復(fù)數(shù)根，

9、復(fù)數(shù)根一般都是以共扼形式出現(xiàn)的。如果有一對(duì)共扼復(fù)極點(diǎn)，則象函數(shù)為 上部分分式中的待定常數(shù)，仍按單極點(diǎn)情況方法進(jìn)行計(jì)算得出。應(yīng)該指出復(fù)極點(diǎn)項(xiàng)的待定常數(shù)是的共扼關(guān)系，即。計(jì)算出部分分式各項(xiàng)的待定常數(shù)后，便可逐項(xiàng)進(jìn)行拉氏反變換求出原函數(shù)。即 其中共扼極點(diǎn)項(xiàng)的拉氏反變換，按如下變換關(guān)系式得出。即 3.多重極點(diǎn)情況若分母，得出含為m個(gè)重根時(shí)，則的部分分式展開為 計(jì)算上部分分式中重積點(diǎn)各項(xiàng)的m個(gè)待定常數(shù)的一般公式為 其余單極點(diǎn)項(xiàng)的待定常數(shù)，仍按單極點(diǎn)情況方法進(jìn)行計(jì)算。部分分式各項(xiàng)的待定常數(shù)確定后，便可逐項(xiàng)進(jìn)行拉氏反變換得出原函數(shù)為 拉氏反變換是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，對(duì)以上三種情況確定部分分式各項(xiàng)待定常數(shù)的方法，應(yīng)

10、通過例題和做習(xí)題來掌握。 （四）關(guān)于線性動(dòng)態(tài)電路的S域分析法分析電路的S域分析法，是應(yīng)用拉普拉斯變換的變換電路模型法。其關(guān)鍵在于正確作出動(dòng)態(tài)電路的S域模型。作電路的S域模型和進(jìn)行S域分析。應(yīng)明確如下幾點(diǎn)。1.S域中的電壓和電流在S域模型中，時(shí)域電源激勵(lì)函數(shù)變換為象函數(shù)，各支路電壓用象函數(shù)表示。通常時(shí)域激勵(lì)函數(shù)由查拉氏變換表得出它的象函數(shù)，如，是常數(shù)；等。電路中的電壓和電流用它的象函數(shù)表示，如，等。2.R，L，C元件VAR的S域形式及其S模型（1）電阻元件R：VAR的S域形式為 ，或S域模型如圖5-1,所示。 （2）電感元件L：VAR的S域形式為或 S域模型如圖5-2,所示。其中稱為復(fù)頻域感抗，

11、稱為復(fù)頻域感納。是由電感元件初始狀態(tài)產(chǎn)生的附加電壓源復(fù)頻域電壓，與為非關(guān)聯(lián)參考方向；是由電感元件初始狀態(tài)產(chǎn)生的附加電流源電流，與中電流參考方向相同。 （3）電容元件C：VAR的S域形式為 或 S域模型如圖5-3,所示。其中稱為復(fù)頻域容納。是由電容元件初始狀態(tài)產(chǎn)生的附加電壓源復(fù)頻域電壓，與參考方向一致，是由電容元件初始狀態(tài)產(chǎn)生的附加電流源電流，與為非關(guān)聯(lián)參考方向。 由于R，L，C元件阻抗和導(dǎo)納兩種S域模型，故一個(gè)時(shí)域動(dòng)態(tài)電路便可以作出兩種S域模型。電路分析時(shí)宜采用哪一種S域模型呢？應(yīng)視電路的結(jié)構(gòu)而定。一般而言，串聯(lián)電路宜采用阻抗S域模型，并聯(lián)電路則宜采導(dǎo)納抗S域模型。3.KVL和KCL的S域形式

12、（1）KVL：在S域中沿任一閉合回路各支路電壓象函數(shù)的代數(shù)和為零，即（2）KCL：在S域中沿任一節(jié)點(diǎn)處各支路電流象函數(shù)的代數(shù)和為零，即4.S域阻抗與S域?qū)Ъ{（1）零狀態(tài)RLC串聯(lián)電路的S域阻抗，是各元件阻抗之和，即 （2）零狀態(tài)RLC并聯(lián)電路的S域?qū)Ъ{，是各元件導(dǎo)納之和，即 （3）S域阻抗與S域?qū)Ъ{，是互為倒數(shù)的關(guān)系，即 ，或（4）S域阻抗與S域?qū)Ъ{兩端電壓和通過電流象函數(shù)，符合歐姆定律，稱為歐姆定律的S域形式，即 或 5.S域方法分析電路過渡過程的基本步驟（1）作出時(shí)域電路時(shí)電路的S域模型。作S域模型時(shí)，注意電感和電容元件由于初始狀態(tài)產(chǎn)生的附加電壓源和附加電流源，以及電容電壓是復(fù)頻域阻抗與附

13、加電壓源串聯(lián)支路兩端的電壓，電感電壓則是復(fù)頻域阻抗與附加電壓源串聯(lián)支路兩端的電壓，并要正確標(biāo)定它們的參考方向。（2）根據(jù)S域模型，以KVL，KCL和元件的VAR的S域形式為依據(jù)，應(yīng)用等效化簡、節(jié)點(diǎn)分析法、網(wǎng)孔分析法、疊加定律和戴維南定律應(yīng)用等基本分析方法進(jìn)行分析計(jì)算，得出待求電量的象函數(shù)。（3）將待求電量的象函數(shù)展開為部分分式。（4）進(jìn)行拉氏反變換。采用查拉氏反變換表方法，逐項(xiàng)進(jìn)行反變換為時(shí)域原函數(shù)，最后解出時(shí)域響應(yīng)。 本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容是S域模型的建立和S域電路的分析計(jì)算。通過例題和做習(xí)題以熟練掌握。 三、解題指導(dǎo)（一）例題分析例題5-1 拉普拉斯反變換中，展開為部分分式的計(jì)算，下列復(fù)頻域象

14、函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換為原函數(shù).（1）（2）（3）解解題思路本題中各復(fù)頻域象函數(shù)，都是有理函數(shù)，并較為復(fù)雜，不能直接查拉氏變換表得出原函數(shù)，需經(jīng)部分分式展開為簡單復(fù)頻域函數(shù)之和，然后逐項(xiàng)查表得出原函數(shù)。進(jìn)行復(fù)頻域函數(shù)部分分式展開時(shí)，第一步將分母多項(xiàng)式，求出極點(diǎn)；第二步，寫出函數(shù)含有待定常數(shù)的部分分式；第三步是分別計(jì)算出各待定常數(shù)；最后，根據(jù)線性定律逐項(xiàng)查表得出原函數(shù).解題方法 1. （1）（2）計(jì)算待定常數(shù) （3）的部分分式為 （4）進(jìn)行拉氏反變換，查拉氏變換表得出 2.（1） （2）計(jì)算各待定常數(shù) （3）的部分分式為 （4）進(jìn)行拉氏反變換，查拉氏變換表得出 或 本題反變換中應(yīng)用的變換式有 以及歐

15、拉公式 3.（1）（2）計(jì)算各項(xiàng)待定系數(shù) （3）的部分分式為 （4）進(jìn)行拉氏反變換，查拉氏變換表得出 本題計(jì)算待定常數(shù)時(shí)，應(yīng)用微分公式為 反變換中應(yīng)用拉氏變換公式有 例5-2 應(yīng)用域分析法求一般二階電路的階躍響應(yīng)。如圖5-4(a)所示電路，求階躍響應(yīng)和。解 解題思路 本題是一般直流二階電路求階躍響應(yīng)，即零狀態(tài)響應(yīng)。作域模型時(shí)，初始狀態(tài)為零，電感元件和電容元件域模型中沒有附加電壓源。域分析計(jì)算的步驟是，首先作出時(shí)域電路的域模型，然后應(yīng)用節(jié)點(diǎn)分析法求解出待求量的象函數(shù)，并將其展開為部分分式，最后反變換為時(shí)域響應(yīng)。 圖5-4 解題方法 （1）作出時(shí)域電路的域模型如圖5-4()所示。其電壓源電壓的象函

16、數(shù)是，復(fù)頻域感抗，復(fù)頻域容抗（2）求電壓.應(yīng)用節(jié)點(diǎn)分析法，列出節(jié)點(diǎn)方程為 計(jì)算待定常數(shù) 進(jìn)行拉氏反變換得出 （3）求 電路的域阻抗為 故 計(jì)算待定常數(shù) 進(jìn)行拉氏反變換得出 A 例5-3 激勵(lì)為指數(shù)函數(shù)RLC電路的域分析計(jì)算。如圖5-5()所示電路，V，V，.試用域分析法求電阻元件兩端電壓. 圖5-5 解題思路 本題是非直流激勵(lì)二階電路的分析。分析時(shí)關(guān)鍵在于作出域模型，激勵(lì)函數(shù)查表得出它的象函數(shù)，同時(shí)要注意電感元件和電容元件由于初始狀態(tài)產(chǎn)生的附加電壓源或附加電流源并正確確定它們的參考方向。作出域模型后，按域分析方法的基本步驟進(jìn)行分析計(jì)算得出結(jié)果。解題方法 （1）作出域模型，如圖5-5所示。其中電

17、源象函數(shù)；由于，故電容元件域模型的附加電壓源電壓為；又因，故電感元件域模型中沒附加電壓源電壓。（2）列KVL方程為 上式等號(hào)兩邊乘s得出移項(xiàng)得出 故待求電阻元件兩端的電壓象函數(shù)為 確定各項(xiàng)待定常數(shù) （3）進(jìn)行拉氏反變換得出 V（二）部分練習(xí)題解答練習(xí)題13-5求下列時(shí)間函數(shù)的拉氏變換。（1）（2）（3）解（1）（2）（3）練習(xí)題5-9 如圖5-6所示電路，應(yīng)用拉氏變換的方法，求時(shí)電流。解 電路微分方程為 將上式進(jìn)行拉氏變換為 進(jìn)行拉氏反變換得出 圖5-6練習(xí)題5-11 如圖5-7所示電路，.試?yán)美献儞Q方法求. 圖5-7解 按KCL和元件VAR，列出以為變量的微分方程為 將上式進(jìn)行拉氏變換得

18、出 進(jìn)行拉氏反變換得出 V 練習(xí)題13-14 求的原函數(shù). 解 進(jìn)行拉氏反變換時(shí)，查變換表時(shí)應(yīng)用如下變換公式 ， 練習(xí)題13-21 如圖 5-8(a)所示電路，已知 V， V.求，. (a) (b) 圖5-8解 （1）作域模型，如圖5-8(b)所示。其中（2）應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法解題，列域節(jié)點(diǎn)方程為 （3）確定， 故得出 （4）進(jìn)行拉氏反變換 V （三）部分習(xí)題解答習(xí)題十三3若電路微分方程為，且 V， . 求時(shí). 解 將微分方程進(jìn)行拉氏變換為 確定，和 進(jìn)行拉氏反變換 V 5如圖5-9(a)所示電路，時(shí)刻開關(guān)K打開，開關(guān)動(dòng)作前電路處于穩(wěn)態(tài)。試用s域分析法求時(shí).解 （1）求，并作時(shí)電路的s域模型。由于開關(guān)動(dòng)作前電路處于穩(wěn)態(tài)，則 V A故作出時(shí)電路的s域模型，如圖5-9(b)所示。 (a) (b) 圖5-9 （2）列s域KVL方程為 （3）確定常數(shù)， （4）解出電流的s域形式為 （5）進(jìn)行