全等三角形經(jīng)典題型輔助線

1、全等三角形常見輔助線作法【例1】已知：如圖6，、分別是以、為斜邊的直角三角形，且，是等邊三角形求證：是等邊三角形【例2】、如圖，已知BC > AB，AD=DC。BD平分ABC。求證：A+C=180°.一、線段的數(shù)量關(guān)系: 通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段相等。1、倍長中線法第3題【例. 3】如圖，已知在中，平分，交于點(diǎn).求證：證明：延長DC到E，使得CE=CD,聯(lián)結(jié)AE ADE=60° AD=AEC=90° ADE為等邊三角形ACCD AD=DEECD=CE DB=DAAD=AE BD=DEB=30°C=90°

2、BD=2DCBAC=60°AD平分BACBAD=30°DB=DA ADE=60°【例4.】 如圖，是的邊上的點(diǎn)，且，是的中線。求證：。證明：延長AE到點(diǎn)F,使得EF=AE 聯(lián)結(jié)DF在ABE和FDE中 ADC=ABD+BDA BE =DE ABE=FDE AEB=FED ADC=ADB+FDE AE=FE 即 ADC = ADFABE FDE（SAS） 在ADF和ADC中AB=FD ABE=FDE AD=ADF AB=DC ADF = ADC FD = DC DF =DCADC=ABD+BAD ADF ADC(SAS) AF=AC AC=2AE【變式練習(xí)】、 如圖，

3、ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.【小結(jié)】熟悉法一、法三“倍長中線”的輔助線包含的基本圖形“八字型”和“倍長中線”兩種基本操作方法，倍長中線，或者倍長過中點(diǎn)的一條線段以后的對(duì)于解決含有過中點(diǎn)線段有很好的效果?！咀兪骄毩?xí)】：如圖所示，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。求證：AE=EF。2、運(yùn)用角平分線構(gòu)造全等【例5】如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD證明：在AC上截取AF=AE ,聯(lián)結(jié)OF 在AOE和AOF中在ABC中，B+BAD+ACB=180° AE=AFB

4、=60 ° EAO=FAOBAD+ACB=120° AO = AOFAD平分BAC AOE AOF（ASA） 在COD和 COF中BAC= 2OAC AOE=AOE OE=OF DCO =FCO CE平分ACB AOE=60° CO=COACB= 2ACO AOE+AOE+FOC=180° DOC=FOC2OAC+2ACO=120° FOC=6O° COD COF（ASA） OAC+ACO=60° AOE=COD OD =OFAOE=OAC+ACO COD=60° OE=OFAOE=60° OE=ODF【

5、例6】如圖，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長線于F求證：BD=2CE【小結(jié)】解題后的思考：1）對(duì)于角平分線的問題，常用兩種輔助線；2）見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。 3、 旋轉(zhuǎn)【例7】正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). GAE=FAE延長EB到點(diǎn)G，使得BG =BE DAF+BAF=90°先證明ADF ABE GAB =FAD 可得到 AF =AG DAF = GAB GAF = 90°EF =BE +DF EAF = 45°

6、G EF = BE+BG =GEGAE FAE 【例8】. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_ ；【例9】如圖，已知ABC=DBE=90°，DB=BE，AB=BC(1)求證：AD=CE，ADCE (2)若DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到ABC外部，其他條件不變，則(1)中結(jié)論是否仍成立?請(qǐng)證明【例10】.如圖在RtABC中,AB=AC,BAC=90°,O為BC中點(diǎn). (1)寫出O點(diǎn)到ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離關(guān)系(不要求證明) (2)如果M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng),在移動(dòng)過程中保持AN=BM,請(qǐng)判 斷O M N的形狀,并證明你的結(jié)論.聯(lián)結(jié)OA則OAC和OAB

7、D都為等腰直角三角形OA=0B=0CANO BMO（NOA=OBM）可得ON=OM NOA=MOB可得到NOM=AOB=90°【例11】如圖，已知為等邊三角形，、分別在邊、上，且也是等邊三角形（1）除已知相等的邊以外，請(qǐng)你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的；（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程4、截長補(bǔ)短法【例12】、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC【例13】如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點(diǎn)E，求證;ABAC+BD【例14】如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的

8、角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP證明：如圖（1），過O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=180°60°40°=80°，又AQO=C+QBC=80°，    ADO=AQO，    又DAO=QAO，OA=AO，    ADOAQO，    OD=OQ，AD=AQ，    又ODBP，    PBO=

9、DOB，    又PBO=DBO，    DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70°，    BOP=OBA+BAO=70°，BOP=BPO，BP=OB，    AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。               &#

10、160;     【例15】如圖，在ABC中，ABC=60°，AD、CE分別平分BAC、ACB，求證：AC=AE+CD 方法同【例5】【例16】已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=AC【例17】 如圖，為等邊三角形，點(diǎn)分別在上，且，與交于點(diǎn)。求 的度數(shù)。先證明 ABM BCN (SAS)可得CBN = BAM AQN=ABQ+BAQBAM=CBN AQN=ABQ+CBN即 AQN=ABC = 60°作平行線：過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”【例18

11、】：如圖，ABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。證明：過E作EG/AC交BC于G，則EGB=ACB，G又AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。. 【例19】已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，BC = DC，CF平分BCD，DFAB，BF的延長線交DC于點(diǎn)E. 求證：（1）BFCDFC；（2）AD = DE.聯(lián)結(jié)BD證明：CF平分BCD ADB=CDB BCF=DCF DFAB 在BCF和DCF中 ABD=BDF BC=CD BF=DFBCF=

12、DCF FDB=FBD CF=CF ABD=FBDBCF DCF（SAS） 在ABD和EBD中 BF=DF ABD=EBD(2) ADBC BD=BDADB =CBD ADB=EDBBC = DC ABD EBD （ASA） CBD=CDB AD = DE【課堂練習(xí)】1如圖，已知AE平分BAC，AE垂直于BE, 且EDAC，BAE=36°，那么BED= 2如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AMAN。綜合題：已知在ABC中，高所在的直線與高所在的直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn),聯(lián)結(jié).（1）當(dāng)是銳角三角形時(shí)（如圖a所示）， 求證：；（2）當(dāng)是

13、鈍角時(shí)（如圖b所示），寫出線段、三者之間的數(shù)量關(guān)系，不必寫出證明過程，直接寫結(jié)論； 當(dāng),時(shí)，求的長. 第27（b）題第27（a）題 可知 FDC和AFG都為等腰直角三角形 圖（b）中FD=DC AF =FG ABD和AFG都為等腰直角三角形AD=AF+FD ADC BDF AD=FG+DC DC = FD FD=AF +AD CD=FD【總結(jié)】常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理