偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 2

1、一、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用1.空間曲線的切線和法平面設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為假定均可導(dǎo),不同時為零,曲線上對應(yīng)于及的點分別為和.割線的方程為當沿著曲線趨于時,割線的極限位置是在處的切線.上式分母同除以得當(即)時,對上式取極限,即得曲線在點的切線方程向量是切線的方向向量,稱為切線向量.切線向量的方向余弦即為切線的方向余弦.通過點與切線垂直的平面稱為曲線在點的法平面.它是通過點,以切線向量為法向量的平面.因此,法平面方程為【例1】求螺旋線在點的切線及法平面方程.解點對應(yīng)的參數(shù).因為,所以切線向量,因此,曲線在點處的切線方程為在點處的法平面方程為即【例2】求曲線上點處的切線和法平面方程.解把看作參數(shù),此時

2、曲線方程為在點處的切線方程為法平面方程為即2.曲面的切平面與法線設(shè)曲面的方程為是曲面上的一點,假定函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零,設(shè)是曲面上過點的任意一條曲線,的方程為,與點相對應(yīng)的參數(shù)為,則曲線在處的切線向量為.因在上,故有此恒等式左端為復(fù)合函數(shù),在時的全導(dǎo)數(shù)為記,則,即與互相垂直.由于曲線是曲面上過的任意一條曲線,所以在曲面上所有過點的曲線的切線都與同一向量垂直,故這些切線位于同一個平面上.這個平面稱為曲面在處的切平面.向量是切平面的法向量,稱為曲面在處的法向量.切平面方程為過點與切平面垂直的直線,稱為曲面在點處的法線,其方程為若曲面方程由給出,則可令于是這時曲面在處的切平面方程為法線

3、方程為【例3】求橢球面在點處的切平面和法線方程.解設(shè)故在點處橢球面的切平面方程為即法線方程為【例4】求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面方程和法線方程.解由得切平面方程為即法線方程為二、多元函數(shù)極值1. 二元函數(shù)的極值【例5】曲面在點有極小值.【例6】曲面在點有極大值.與一元函數(shù)極值類似,多元函數(shù)的極值也是相對某個鄰域而言的,是一個局部概念.定義1設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義,若對改鄰域內(nèi)任一點都有(或)則稱函數(shù)在點有極大值(或極小值).而稱點為函數(shù)的極大(或極小)值點.極大值點與極小值點統(tǒng)稱極值點.2.極值的檢驗法(1)一階偏檢驗定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)在點處有極大值,且在該點的偏導(dǎo)數(shù)存在,則必有.證

4、明不妨設(shè)在點處有極大值,根據(jù)極值定義,對的某一鄰域內(nèi)的任一點,有在點的鄰域內(nèi),也有,這表明一元函數(shù)在處取得極大值.因此,有同理可證與一元函數(shù)類似,使一階偏導(dǎo)數(shù)的點稱為函數(shù)的駐點.由定理1及例5、例6可以看出：二元函數(shù)的極值點必然是駐點或一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點.(2)二階偏檢驗定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)的一點處有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且.記,則(1)當且時,函數(shù)在點處有極小值;當且時,函數(shù)在點處有極大值;(2)當時,函數(shù)在點處無極值;(3)當時,函數(shù)在點處可能有極值,也可能無極值.綜上可得,具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),其極值求法如下:(1)先求出偏導(dǎo)數(shù);(2)解方程組,求出定義域內(nèi)全部駐點;(3)

5、求出駐點處的二階偏導(dǎo)數(shù)值:,確定的符號,并判斷是否有極值,如果有,求出其極值.【例7】求函數(shù)的極值.解先求偏導(dǎo)數(shù)解方程組,求得駐點為.在駐點處,于是不是函數(shù)的極值點.在駐點處,且,所以點是函數(shù)的極小值點,為函數(shù)的極小值.3.最大值與最小值如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù),則函數(shù)在上一定取得最大值和最小值.如果函數(shù)的最大值或最小值在區(qū)域的內(nèi)部取得,則最大值點或最小值點必為駐點.因此,求處駐點的函數(shù)值及邊界上函數(shù)的最大值和最小值,其中最大值便是函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值,最小值便是函數(shù)在閉區(qū)域上的最小值.具體問題中,常常通過分析可知函數(shù)的最大值或最小值存在,且在定義域內(nèi)部取得,又知在定義域內(nèi)只有唯一駐點,于

6、是可以肯定駐點處的函數(shù)值便是函數(shù)的最大值或最小值.【例8】求函數(shù)在上的最大值.解在內(nèi)(),由解得駐點為.在的邊界上()故函數(shù)在處有最大值.【例9】要做一容積為的無蓋長方體鐵皮容器,問如何設(shè)計最省材料?解所謂最省材料,即無蓋長方體表面積最小.該容器的長、寬、高分別為，表面積為，則有消去，得表面積函數(shù)其定義域為由，求得駐點為.由于為開區(qū)域,且該問題必有最小值存在,于是必為的最小值點,此時,即長方體長、寬、高分別為,時,容器所需鐵皮最少,其表面積為.【例10】某公司每周生產(chǎn)單位產(chǎn)品和單位產(chǎn)品,其成本為產(chǎn)品的單位售價分別為200元和300元.假設(shè)兩種產(chǎn)品均很暢銷,試求使公司獲得最大利潤的這兩種產(chǎn)品的生

7、產(chǎn)水平及相應(yīng)的最大利潤.解依題意,公司的收益函數(shù)為因此,公司的利潤函數(shù)為令,得駐點.利用二階偏檢法,求二階偏導(dǎo)數(shù)，顯然二階偏導(dǎo)數(shù)在駐點的值為。由此可見，當產(chǎn)品的周產(chǎn)量均為50個單位時，公司可獲得最大利潤，其最大利潤為（元）三、條件極值如果函數(shù)的自變量除了限制在定義域內(nèi)以外，再沒有其他限制，這種極值問題稱為無條件極值。但在實際問題中，自變量經(jīng)常會受到某些條件的約束，這種對自變量有約束條件的極值問題稱為條件極值.條件極值問題的解法有兩種,一是將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值,如例9就是求在自變量滿足約束條件時的條件極值.當我們從約束條件中解出代入中,得,就成了無條件極值,于是可以求解.但實際問題中的許多

8、條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值時,時很復(fù)雜甚至是不可能的.下面介紹條件極值的另外一種更一般的方法拉格朗日乘數(shù)法.設(shè)是函數(shù)在約束條件下的條件極值問題的極值點,如果函數(shù),在點的鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(不妨設(shè)),則一元函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù).由復(fù)合函數(shù)微分法,有由于是由所確定的,所以代入上式,消去,得即令,則有(*)稱滿足方程組(*)的點為可能的極值點.我們構(gòu)造一個函數(shù)則(*)等價于于是,用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值問題可歸納為以下步驟:(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘數(shù);(2)解方程組得點,為可能極值點；(3)根據(jù)實際問題的性質(zhì),在可能極值點處求極值.【例11】求平面上點到直線的距離.解設(shè)點到直線上動點的距離為,則問題歸結(jié)為求距離函數(shù)在約束條件之下的極小值.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解方程組得代入,得由于最短距離是存在的,所以所以 小結(jié):學習了多元函數(shù)的