非線性有限元課后作業(yè)

1、有限元課后作業(yè)：第一章三節(jié)點(diǎn)等參梁單元的幾何陣B和單元剛度矩陣D首先明確梁的物理坐標(biāo)系，x軸延梁的軸線方向，y軸垂直于平面向外，z軸與x，y軸垂直，符合笛卡爾坐標(biāo)系原則，梁水平放置，原點(diǎn)位于梁的最左端，關(guān)于等參坐標(biāo)系，軸延梁的軸線。梁最左端坐標(biāo)為-1，中點(diǎn)為零，最右端坐標(biāo)為1，考慮梁的受力特點(diǎn)，所以梁一般是在某個平面內(nèi)發(fā)生變形，現(xiàn)假設(shè)梁的變形發(fā)生在x-z平面內(nèi)，則每個節(jié)點(diǎn)有四個自由度，= i=1,2,3 ，其中=0與=0。 梁中任意一點(diǎn)的應(yīng)變 = =+單元形函數(shù)如下： =-1/2(1-) = 1- =-1/2(1+)位移插值形式如下： U=由等參坐標(biāo)系變換到物理坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換式如下：x=x記

2、J=，稱為Jacobi矩陣,而在此處其為一階矩陣，則即可看做一關(guān)于的函數(shù)，記 =，稱為J的逆矩陣，在此處也可看作的反函數(shù)。應(yīng)變位移關(guān)系為 =+ = =其中 = i=1,2,3。由于= i=1,2,3，所以幾何陣為B=與應(yīng)變相對應(yīng)的應(yīng)力為：=其中 =EA=EJ= EJ=GA其中E為楊氏模量，G為剪切模量，A為梁截面積，J、J為梁截面繞x、y軸的轉(zhuǎn)動慣性矩，所以彈性陣D為D=所以單元剛度陣即為=det(J)d。第二章1.證明應(yīng)力偏張量的第二不變量的表達(dá)式形式：(1) =1/2即=1/2(+)=，=，=，=，=。原式=1/2()+()+()+()+()+()+()+()+()=1/2()+()+()

3、+2+2+2=1/2(-2+-2+-2+)+=1/2+3-2(+)+=1/2+3-2x3+=1/2+-3+2+2+2=1/2+-3+=1/2(-3)(2)=1/2=1/2(+)=1/2()+()+()+()+()+()+()+()+()=1/2()+()+()+2+2+2=1/2(-2+-2+-2+)+=1/2+3-2(+)+=1/63+3+3+9-6(+)+=1/63+3+3+9-6(+)+=1/63+3+3-(+)+=1/63+3+3-(+2+2+2)+=1/6(2+2+2-2-2-2)+=1/6(-2+-2+-2+)+=1/6(-) +(-)+ (-)+=1/6(-) +(-)+ (-)

4、+6+6+6(3) =-(+)+=-()()+()()+()()+=-(+)+ -(+)+-(+)+=-+-2(+)+3+=-1/33+3+3-6(+)+9+=-1/33(+)-6(+)+9+=-1/33(+)-(+2+2+2)+=-1/3-(+)+=1/6-2+-2+-2+=1/6(-) +(-)+ (-)+=1/6(-) +(-)+ (-)+6+6+6=1/2 (由(2)中的證明可知)2.證明應(yīng)變偏張量的第二不變量的表達(dá)式形式：(1)=1/2=-,=-,=-,=,=,=,=(+)/3。=1/2=1/2(+)=1/2(-) +(-) +(-)+2+2+2=1/2(-) +(-) +(-)+該多形式的形式與1.(2)中的形式相同，同理可推導(dǎo)得出:=1/6(-)+ (-) +(-)+6(+)證明完畢。(2) =1/6(-)+(-)+(-)+3/2(+)由于=1/2(+),=+,所以=2,將該式帶入上式中的結(jié)論即可證得=1/6(-)+(-)+(-)+3/2(+)，證明完畢。第六章推導(dǎo)下面等式1/2A+1/2A=A。證明：記L=，則有A=L，A=L。記M=，則有=M，