連接梁的非線性耦合振動(dòng)分析與實(shí)驗(yàn)

1、第22卷第1期2009年2月振動(dòng)工程學(xué)報(bào)Vol.22No.1Feb.2009連接梁的非線性耦合振動(dòng)分析與實(shí)驗(yàn)王光遠(yuǎn)1,鄭鋼鐵1,韓潮2(1.清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京100084;2.北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院,北京100191)摘要:采用具有三次非線性剛度的金屬橡膠減振器連接兩個(gè)梁,對(duì)其非線性耦合振動(dòng)進(jìn)行了分析和實(shí)驗(yàn)研究。用格林函數(shù)法和諧波平衡法求解了其頻域響應(yīng)。制作了3組實(shí)物模型,進(jìn)行正弦掃描實(shí)驗(yàn),得到上梁中點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)之間的加速度傳遞率,與計(jì)算結(jié)果對(duì)應(yīng)良好。結(jié)合實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果,討論了連接參數(shù)對(duì)系統(tǒng)傳遞率的影響,發(fā)現(xiàn)連接剛度對(duì)耦合頻率有直接影響,非線性剛度使耦合頻率附近的傳遞率曲線出現(xiàn)了彎曲和

2、跳躍現(xiàn)象,增大阻尼會(huì)抑制非線性的影響。關(guān)鍵詞:柔性體;耦合振動(dòng);非線性振動(dòng);正弦掃描實(shí)驗(yàn);中圖分類號(hào):TB535+.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A:()076。Sciulli采用傳遞函數(shù)綜合方引言工程應(yīng)用中的隔振器一般都有一定的非線性。例如:減振橡膠具有非線性剛度,并且在動(dòng)態(tài)載荷下表現(xiàn)出粘彈性特性;廣泛應(yīng)用于航天、機(jī)械、交通等領(lǐng)域的金屬橡膠減振器1,以及類似的鋼絲繩減振器2,不僅具有非線性的剛度,還具有成分復(fù)雜的非線性阻尼;流體減振器同樣也具有非線性剛度和非線性阻尼,并且其特性隨激振頻率和激振振幅變化3。這些隔振器在振源和被隔振物體之間引入了非線性環(huán)節(jié),采用線性模型不能完全描述其動(dòng)力學(xué)特性。在實(shí)際應(yīng)用中,支

3、撐結(jié)構(gòu)和被隔振物體都有一定的柔性,并不是理想的剛體。當(dāng)柔性較大時(shí),支撐結(jié)構(gòu)和被隔振物體的耦合振動(dòng)會(huì)對(duì)隔振效果產(chǎn)生明顯的影響。如果忽略上述因素,設(shè)計(jì)得到的減振器可能無(wú)法滿足工程應(yīng)用的要求。因此,進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)須同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的柔性和隔振器的非線性。梁是基本的柔性體模型,關(guān)于兩個(gè)柔性梁耦合振動(dòng)的研究起步較早,文獻(xiàn)豐富。Dublin等利用差分求解了采用彈簧阻尼器連接的兩個(gè)非均質(zhì)梁的諧響應(yīng)4。Yamaguchi采用彈簧阻尼器和一個(gè)小梁作為主動(dòng)梁的動(dòng)力吸振器,討論了吸振器的參數(shù)對(duì)主動(dòng)梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響5。Shankar等基于有限元法和格林函數(shù)法對(duì)采用拉簧和扭簧連接的梁的能量傳法分析了采用一個(gè)或兩個(gè)彈簧阻尼

4、器連接的柔性基礎(chǔ)與柔性設(shè)備系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài),在研究中將柔性體簡(jiǎn)化成梁結(jié)構(gòu)7。Vu和Oniszczuk分別討論了由均布線彈性阻尼層連接的兩個(gè)梁的振動(dòng)模態(tài)和動(dòng)力響應(yīng)810。Gurgoze和Inceoglu等求解了通過(guò)一個(gè)或多個(gè)雙彈簧振子耦合梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)11,12。Gao等對(duì)兩個(gè)懸臂梁采用主被動(dòng)混合隔振器連接的情形進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究13。Tu等針對(duì)一般的柔性隔振系統(tǒng),基于子結(jié)構(gòu)思想在模態(tài)空間中討論了柔性體隔振不同于剛體的主要特征14。這些文獻(xiàn)中的模型都是采用各種形式的線性連接將兩個(gè)柔性體的振動(dòng)耦合起來(lái)。由于非線性振動(dòng)的復(fù)雜性,目前針對(duì)非線性連接應(yīng)用于柔性系統(tǒng)的研究并不多見(jiàn)。Xiong等采用諧波平衡法求解了

5、柔性基礎(chǔ)2非線性隔振器2剛性設(shè)備系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),并討論了非線性參數(shù)對(duì)系統(tǒng)功率流的影響15。Mikhlin分析了采用非線性彈簧振子作為柔性體動(dòng)力吸振器的問(wèn)題,他將柔性體近似等效為一個(gè)線彈性彈簧和一個(gè)集中質(zhì)量16。上述文獻(xiàn)都是通過(guò)適當(dāng)?shù)牡刃?求解系統(tǒng)近似的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。由于非線性連接件的參數(shù)控制和動(dòng)力學(xué)建模較為復(fù)雜,非線性連接柔性體的動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究不足,缺少實(shí)驗(yàn)的支持。文獻(xiàn)中等效方法的合理性、準(zhǔn)確度以及一些由非線性引起的現(xiàn)象仍有待驗(yàn)證。為了研究非線性連接與柔性體的耦合振動(dòng),本收稿日期:2007210224;修訂日期:200820723042振動(dòng)工程學(xué)報(bào)第22卷文選取了金屬橡膠減振器作為非線性連接件。由

6、文獻(xiàn)17可知,金屬橡膠具有典型的三次非線性剛度,在小激勵(lì)幅值條件下,可以采用線性剛度、線性阻尼和三次非線性剛度的組合來(lái)描述其動(dòng)力學(xué)特性。本文針對(duì)由金屬橡膠連接的兩個(gè)梁,采用格林函數(shù)法和諧波平衡法求解了其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。制作了3組不同參數(shù)的實(shí)物模型,進(jìn)行正弦掃描實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算結(jié)果,并結(jié)合實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果討論了各連接參數(shù)對(duì)耦合特征的影響。兩個(gè)金屬橡膠的恢復(fù)力f1,f2可寫為f1=kv2(x4)-v1(x1)+v2(x4)-v1(x1)3+cv2(x4)-v1(x1)f2=kv2(x5)-v1(x3)+v2(x5)-v1(x3)3+cv2(x5)-v1(x3)當(dāng)系統(tǒng)受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí),雖然金屬橡膠是非線性

7、的,但是響應(yīng)通道的波形基本上是簡(jiǎn)諧的。因此可設(shè)ititv1(x,t)=V1e,v2(x,t)=V2e󰃖󰃖(5)󰃖󰃖(6)(7)1頻域響應(yīng)求解非線性連接梁的模型如圖1所示。主梁彎曲剛度E1I1,線密度1A1,長(zhǎng)度L1;副梁彎曲剛度E2I2,線密度2A2,長(zhǎng)度L2。主梁受到簡(jiǎn)諧的單點(diǎn)激勵(lì),主梁和副梁通過(guò)金屬橡膠連接。在圖1中標(biāo)出。f1=F1eit,f2=F2eit式中V1,V2,F1,F2為復(fù)數(shù)。代入式(3),得44(x-x1)+11=4-11dx2(x+ext(x-x2)4F1(x-x4)+2V2=-4-E2I2dx(8)F2(x-

8、x5)式中24EiIi(i=1,2)i=iAi󰃗(9)將式(6)和(7)代入式(5)得F1eF2eit=k3V2(x4)-V1(x1)eit+=kV2(x5)-V1(x3)e+3itV2(x4)-V1(x1)3e3itit(10)圖1非線性連接梁模型V2(x5)-V1(x3)3e3it其中k3金屬橡膠的恢復(fù)力可以用線性剛度、三次非線性剛度和粘性阻尼的組合近似描述。當(dāng)變形為時(shí),恢復(fù)力可由下式表出󰃖(1)f=k+3+c式中k,c分別為剛度系數(shù),非線性系數(shù)和阻尼系數(shù)。設(shè)激振力為it(2)fext(t)=Fexte梁的控制方程為24+E1I14=f1(x-x1)+1A1

9、5t25xf2(x-x3)+fext(t)(x-x2)(3)24+E2I24=-f1(x-x4)-2A25t25xf2(x-x5)式中v1,v2分別表示主梁和副梁的撓度。兩梁均為自由邊界條件,因此有23=0,3=0x2x=0,l1xx=0,l1(4)23=0,3=05x2x=0,l25xx=0,l2=k+ic(11)由式(10)中同次諧波系數(shù)相等得3F1=kV2(x4)-V1(x1)+V2(x4)-V1(x1)34V2(x5)-V1(x3)343F2=kV2(x5)-V1(x3)+(12)設(shè)G1(x,u)和G2(x,u)是下述方程的解d4Gi(x,u)󰃗dx4-4u)iGi(x

10、,u)=(x-(i=1,2)(13)由疊加原理,方程(8)的解可以表示為V1=E1I1G(x,u)F(u-011lx1)+F2(u-x3)+Fext(u-x2)duV2=-E2I2G(x,u)F(u-01l(14)x4)+F2(u-x5)du積分后得第1期王光遠(yuǎn),等:連接梁的非線性耦合振動(dòng)分析與實(shí)驗(yàn)43V1=E1I1F1G1(x,x1)+式(15)(17),(19)(21)組成非線性代數(shù)方程組,該方程組不易得到解析解,本文采用牛頓迭代法數(shù)E1I1FextG1(x,x2)E1I1F2G1(x,x3)+值求解得到系統(tǒng)的響應(yīng)。V2=-E2I2F1G2(x,x4)-E2I2F2G2(x,x5)2實(shí)驗(yàn)方

11、法本文分別采用3組參數(shù)不同的金屬橡膠連接兩個(gè)均質(zhì)鋁梁,組成了3組試件。所采用的梁參數(shù)都完全一樣,在分別距主梁和副梁左右端點(diǎn)各0115m處,用同一組的兩個(gè)金屬橡膠連接。試件的參數(shù)如表1和2所示,金屬橡膠的參數(shù)由文獻(xiàn)17的方法得到。由于單位選取的問(wèn)題,的量級(jí)較大,系統(tǒng)中由非線性剛,系統(tǒng)非線性2,往往僅對(duì)結(jié)(如慣導(dǎo)的支撐點(diǎn)),因此本文在實(shí)驗(yàn)研究中,取副梁中點(diǎn)的加速度與激勵(lì)點(diǎn)的加速度比值作為系統(tǒng)的傳遞率進(jìn)行研究。響應(yīng)求解過(guò)程中,也可以得到這一結(jié)果。表1梁參數(shù)幾何尺寸󰃗mm(長(zhǎng)×寬×厚)1000×40×6(kgm-3)彈性模量󰃗GP

12、a密度󰃗702700(15)將式(15)代入式(12)得F1=-F1G2(x4,x4)+F2G2(x4,x5)+E1I1E2I2E2I2F1G1(x1,x1)+F2G1(x1,x3)+FextG1(x1,x2)-4E1I1F1G2(x4,x4)+F2G2(x4,x5)+E2I2E2I2F1G1(x1,x1)+F2G1(x1,x3)+FextG1(x1,x2)3(16)F2=-F1G2(x5,x4)+F2G2(x5,x5)E1I1E2I2E2I2F1G1(x3,x1)+F2G1(x3,3+t3,x)4E1I12x,x4F2G2(x5,x5)+E2I2E22F1G1(x3,x1)+

13、2G1(x3,x3)+FextG1(x3,x2)3(17)由文獻(xiàn)18可知,式(13)的解Gi(x,u)可以設(shè)為如下形式Ai1ch(ix)+Ai2sh(ix)+Gi(x,u)=Ai3cos(ix)+Ai4sin(ix)(0xu)(18)Ai5ch(ix)+Ai6sh(ix)+Ai7cos(ix)+Ai8sin(ix)(uxli)表2金屬橡膠參數(shù)(105󰃖-1)組別k󰃗第1組2148第2組4153第3組118913󰃖-3)󰃗󰃖(󰃖-1)-1-413282100-5155151194-1107145128

14、由位移、轉(zhuǎn)角、力矩的連續(xù)性條件得Gi(x,u)x=u+=Gi(x,u)x=u+x=u-dGi(x,u)󰃗dx=dGi(x,u)󰃗dx+x=u-d2Gi(x,u)󰃗dx2x=u=d2Gi(x,u)󰃗dx2x=u-圖2激振器和試件(19)由方程(13)得到剪力的不連續(xù)性條件d3Gi(x,u)󰃗dx3x=u+-d3Gi(x,u)󰃗dx3x=u-=1(20)由邊界條件可以得到另外4個(gè)方程,當(dāng)取自由邊界條件時(shí)dGi(x,u)󰃗dxdGi(x,u)󰃗dx322x=0,li分別對(duì)每

15、組試件進(jìn)行正弦掃描實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)原理如圖3所示。由計(jì)算機(jī)發(fā)出指令,使信號(hào)處理儀產(chǎn)生振動(dòng)信號(hào),經(jīng)過(guò)功率放大器放大,使激振器產(chǎn)生振動(dòng),在主梁的中點(diǎn)處進(jìn)行激勵(lì)。加速度傳感器a1放在振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面上測(cè)試振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)信號(hào);加速度傳感器a2放在副梁的中點(diǎn),測(cè)試系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)。在實(shí)驗(yàn)中,保持激振臺(tái)的激勵(lì)加速度幅值恒定為014g,頻率范圍為51000Hz,進(jìn)行掃描,獲得a2通道在這一頻段內(nèi)的幅頻曲線和相頻曲線,即可得到=0(21)=0x=0,li44振動(dòng)工程學(xué)報(bào)第22卷圖3實(shí)驗(yàn)原理副梁中點(diǎn)相對(duì)于激勵(lì)點(diǎn)的加速度傳遞率。3結(jié)果及討論311,并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照,如圖4所示。計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)良好,峰值頻率和幅值非常接

16、近,說(shuō)明所采用的模型以及計(jì)算方法是合理的。表3給出了實(shí)驗(yàn)中得到的3組試件的傳遞率峰值頻率,可見(jiàn)3組頻率在低頻段有明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系,高頻段相差較大。以第1組為例進(jìn)行分析,數(shù)值求解得到峰值頻率對(duì)應(yīng)的振型,如圖5所示,為了比較主梁和副梁的響應(yīng),以同一基線繪制其振型。可見(jiàn)各階振型基本對(duì)應(yīng)于兩自由梁各階振型的同相以及反相組合。而第7階振型與其它各階不同,兩梁的振型明顯不同于自由梁,說(shuō)明此時(shí)金屬橡膠與梁的振動(dòng)產(chǎn)生耦合。表3峰值頻率󰃗Hz階次12356789第1組1333115147235363492693768第2組1335117152249364541706773第3組1543125157

17、265368648753-圖4實(shí)驗(yàn)與計(jì)算得到的傳遞率將3組實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照,可見(jiàn)金屬橡膠參數(shù)的變化對(duì)傳遞率有顯著的影響。但由于難以定制確定參數(shù)的金屬橡膠試件,無(wú)法針對(duì)某一特定參數(shù)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),有必要采用數(shù)值方法進(jìn)行對(duì)照分析。312連接參數(shù)的影響由第1組和第2組實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較可見(jiàn),金屬橡膠剛度越大,耦合頻率越高。第3組試件中,由于金屬橡第1期王光遠(yuǎn),等:連接梁的非線性耦合振動(dòng)分析與實(shí)驗(yàn)45較大影響。剛度變?nèi)鯐?huì)使高頻段幅值顯著降低。圖7比較了只有阻尼變化,其余參數(shù)不變時(shí)數(shù)值計(jì)算得到的3組傳遞率?？梢?jiàn)增大連接阻尼會(huì)使耦合頻率鄰近的峰值明顯減小,對(duì)其它峰值也有抑制作用。阻尼的變化對(duì)峰值頻率影響很小。圖7

18、阻尼對(duì)傳遞率的影響由于連接的非線性,實(shí)驗(yàn)中傳遞率曲線出現(xiàn)了類似于單自由度杜芬系統(tǒng)的彎曲和跳躍現(xiàn)象,并且在耦合頻率附近,現(xiàn)象較為明顯。圖8為實(shí)驗(yàn)得到的第1組試件在耦合頻率附近的傳遞率,可見(jiàn)曲線有明顯的彎曲現(xiàn)象。通過(guò)計(jì)算得到非線性無(wú)阻尼以及圖5第1組振型膠剛度過(guò)大,耦合頻率已經(jīng)超出了所研究的頻段。其余參數(shù)不變,改變連接剛度進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,如圖6所示,剛度變化除影響峰值頻率外,對(duì)幅值也有非線性有阻尼情況下的傳遞率,結(jié)果如圖9所示?？梢?jiàn)無(wú)阻尼時(shí),傳遞率曲線有明顯的跳躍現(xiàn)象;加入較大的阻尼后,傳遞率曲線彎曲現(xiàn)象變?nèi)?跳躍現(xiàn)象消除。圖8實(shí)驗(yàn)中的彎曲現(xiàn)象4結(jié)論圖6剛度對(duì)傳遞率的影響針對(duì)工程應(yīng)用中減振器的非線性

19、特性和減振結(jié)46振動(dòng)工程學(xué)報(bào)第22卷ergiesoftwocoupledbeamsbyfiniteelementandgreenfunction(receptance)methodJ.JournalofSoundandVibration,1995,181(5):801838.7DinoSciulli.DynamicsandcontrolforvibrationisolationdesignD.VirginiaPllytechnicInstituteandStateUniversity,1997.8VuHV,OrdonezAM,KarnoppBH.Vibrationofadoublebeamsy

20、stemJ.JournalofSoundandVibration,2000,229(4):807822.9OniszczukZ.Freetransversevibrationsofelasticallyconnectedsimplysupporteddouble2beam(2):387403.10OvibrationsofansimplysupportedJ.ErdoganG,JournalofSoundandInceogluS.BendingcomplexsystemJ.JournalofSoundandVibration,2000,232圖9計(jì)算得到的彎曲與跳躍現(xiàn)象構(gòu)的柔性,性耦合振動(dòng)進(jìn)行

21、了研究。制作了3組試件,。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算得到的傳遞率對(duì)應(yīng)良好。從實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果可以得到如下動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象:(1)降低耦合剛度,可以降低高頻振動(dòng)的幅值;(2)由于非線性的影響,耦合振動(dòng)頻率附近的傳遞率曲線出現(xiàn)了彎曲和跳躍現(xiàn)象;(3)增大阻尼會(huì)削弱非線性的影響,減弱傳遞率曲線的彎曲程度,當(dāng)阻尼較大時(shí),跳躍現(xiàn)象會(huì)消失。參考文獻(xiàn):1李宇明,彭威,白鴻柏,等.金屬橡膠材料宏觀和細(xì)觀力on,2003,264:273286.11GurgozeM,vibrationsofbeamscoupledbyadoublespring2masssystemJ.JournalofSoundandVibration,2001,

22、243(2):361369.12InceogluS,GurgozeM.Bendingvibrationsofbeamscoupledbyseveraldoublespring2masssystemsJ.JournalofSoundandVibration,2001,243(2):370379.13GaoJX,ChengL.Modelingandcontrolofpowerflowinadouble2beamsystemJ.Thin2WalledStructures,2005,43:751771.14TuYQ,ZhengGT.Onthevibrationisolationofflexiblest

23、ructuresJ.TransactionofASME:JournalofAppliedMechanics,2007,74:415420.15XiongYP,XingJT,PriceWG.Interactivepowerflowcharacteristicsofanintegratedequipment2nonlinearisolator2travelingflexibleshipexcitedJ.JournalofSoundandVibration,2005,287:245276.16YuriVMikhlin,ReshetnikovaSN.Dynamicalinteractionofanel

24、asticsystemnonlinearabsorberJ.Vibration,2005,283:91120.17王光遠(yuǎn),鄭鋼鐵,韓潮.金屬橡膠動(dòng)力學(xué)建模的頻域方andessentially學(xué)模型J.機(jī)械工程學(xué)報(bào),2005,41(9):3841.2龔憲生,謝志江,駱振黃,等.非線性隔振器阻尼特性研究J.振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2001,14(3):334338.3何玲,鄭鋼鐵.流體隔振器中干摩擦對(duì)隔振特性影響分析J.振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2007,20(2):118122.4MichaelDublin,HansRFriedrich.Forcedresponseoftwoelasticbeamsinterconn

25、ectedbyspring2dampersystemsJ.JournaloftheAeronauticalSciences,1956,9:824829,887.5YamaguchiH.Vibrationsofabeamwithanabsorberconsistingofaviscoelasticbeamandaspring2viscousdamperJ.JournalofSoundandVibration,1985,103(3):417425.6ShankarK,KeaneAJ.Astudyofthevibrationalen2JournalofSoundand法J.宇航學(xué)報(bào),2008,29(

26、2):499504.18MohamadAS.TablesofGreensfunctionsforthetheoryofbeamvibrationswithgeneralintermediateappendagesJ.InternationalJournalofSolidsandStructures,1994,31(2):257268.第1期王光遠(yuǎn),等:連接梁的非線性耦合振動(dòng)分析與實(shí)驗(yàn)47AnalyticalandexperimentalstudyofcouplingvibrationofnonlinearconnectedbeamsWANGGuang2yuan,ZHENGGang2tie,HANChao112(1.SchoolofAerospace,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China;2.SchoolofAstronautics,BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics