連接梁的非線性耦合振動分析與實驗

1、第22卷第1期2009年2月振動工程學(xué)報Vol.22No.1Feb.2009連接梁的非線性耦合振動分析與實驗王光遠(yuǎn)1,鄭鋼鐵1,韓潮2(1.清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京100084;2.北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院,北京100191)摘要:采用具有三次非線性剛度的金屬橡膠減振器連接兩個梁,對其非線性耦合振動進(jìn)行了分析和實驗研究。用格林函數(shù)法和諧波平衡法求解了其頻域響應(yīng)。制作了3組實物模型,進(jìn)行正弦掃描實驗,得到上梁中點與激勵點之間的加速度傳遞率,與計算結(jié)果對應(yīng)良好。結(jié)合實驗與計算結(jié)果,討論了連接參數(shù)對系統(tǒng)傳遞率的影響,發(fā)現(xiàn)連接剛度對耦合頻率有直接影響,非線性剛度使耦合頻率附近的傳遞率曲線出現(xiàn)了彎曲和

2、跳躍現(xiàn)象,增大阻尼會抑制非線性的影響。關(guān)鍵詞:柔性體;耦合振動;非線性振動;正弦掃描實驗;中圖分類號:TB535+.1文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A:()076。Sciulli采用傳遞函數(shù)綜合方引言工程應(yīng)用中的隔振器一般都有一定的非線性。例如:減振橡膠具有非線性剛度,并且在動態(tài)載荷下表現(xiàn)出粘彈性特性;廣泛應(yīng)用于航天、機械、交通等領(lǐng)域的金屬橡膠減振器1,以及類似的鋼絲繩減振器2,不僅具有非線性的剛度,還具有成分復(fù)雜的非線性阻尼;流體減振器同樣也具有非線性剛度和非線性阻尼,并且其特性隨激振頻率和激振振幅變化3。這些隔振器在振源和被隔振物體之間引入了非線性環(huán)節(jié),采用線性模型不能完全描述其動力學(xué)特性。在實際應(yīng)用中,支

3、撐結(jié)構(gòu)和被隔振物體都有一定的柔性,并不是理想的剛體。當(dāng)柔性較大時,支撐結(jié)構(gòu)和被隔振物體的耦合振動會對隔振效果產(chǎn)生明顯的影響。如果忽略上述因素,設(shè)計得到的減振器可能無法滿足工程應(yīng)用的要求。因此,進(jìn)行動力學(xué)分析時須同時考慮結(jié)構(gòu)的柔性和隔振器的非線性。梁是基本的柔性體模型,關(guān)于兩個柔性梁耦合振動的研究起步較早,文獻(xiàn)豐富。Dublin等利用差分求解了采用彈簧阻尼器連接的兩個非均質(zhì)梁的諧響應(yīng)4。Yamaguchi采用彈簧阻尼器和一個小梁作為主動梁的動力吸振器,討論了吸振器的參數(shù)對主動梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響5。Shankar等基于有限元法和格林函數(shù)法對采用拉簧和扭簧連接的梁的能量傳法分析了采用一個或兩個彈簧阻尼

4、器連接的柔性基礎(chǔ)與柔性設(shè)備系統(tǒng)的振動模態(tài),在研究中將柔性體簡化成梁結(jié)構(gòu)7。Vu和Oniszczuk分別討論了由均布線彈性阻尼層連接的兩個梁的振動模態(tài)和動力響應(yīng)810。Gurgoze和Inceoglu等求解了通過一個或多個雙彈簧振子耦合梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)11,12。Gao等對兩個懸臂梁采用主被動混合隔振器連接的情形進(jìn)行了實驗研究13。Tu等針對一般的柔性隔振系統(tǒng),基于子結(jié)構(gòu)思想在模態(tài)空間中討論了柔性體隔振不同于剛體的主要特征14。這些文獻(xiàn)中的模型都是采用各種形式的線性連接將兩個柔性體的振動耦合起來。由于非線性振動的復(fù)雜性,目前針對非線性連接應(yīng)用于柔性系統(tǒng)的研究并不多見。Xiong等采用諧波平衡法求解了

5、柔性基礎(chǔ)2非線性隔振器2剛性設(shè)備系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),并討論了非線性參數(shù)對系統(tǒng)功率流的影響15。Mikhlin分析了采用非線性彈簧振子作為柔性體動力吸振器的問題,他將柔性體近似等效為一個線彈性彈簧和一個集中質(zhì)量16。上述文獻(xiàn)都是通過適當(dāng)?shù)牡刃?求解系統(tǒng)近似的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。由于非線性連接件的參數(shù)控制和動力學(xué)建模較為復(fù)雜,非線性連接柔性體的動力學(xué)實驗研究不足,缺少實驗的支持。文獻(xiàn)中等效方法的合理性、準(zhǔn)確度以及一些由非線性引起的現(xiàn)象仍有待驗證。為了研究非線性連接與柔性體的耦合振動,本收稿日期:2007210224;修訂日期:200820723042振動工程學(xué)報第22卷文選取了金屬橡膠減振器作為非線性連接件。由

6、文獻(xiàn)17可知,金屬橡膠具有典型的三次非線性剛度,在小激勵幅值條件下,可以采用線性剛度、線性阻尼和三次非線性剛度的組合來描述其動力學(xué)特性。本文針對由金屬橡膠連接的兩個梁,采用格林函數(shù)法和諧波平衡法求解了其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。制作了3組不同參數(shù)的實物模型,進(jìn)行正弦掃描實驗,驗證了數(shù)值計算結(jié)果,并結(jié)合實驗與計算結(jié)果討論了各連接參數(shù)對耦合特征的影響。兩個金屬橡膠的恢復(fù)力f1,f2可寫為f1=kv2(x4)-v1(x1)+v2(x4)-v1(x1)3+cv2(x4)-v1(x1)f2=kv2(x5)-v1(x3)+v2(x5)-v1(x3)3+cv2(x5)-v1(x3)當(dāng)系統(tǒng)受到簡諧激勵時,雖然金屬橡膠是非線性

7、的,但是響應(yīng)通道的波形基本上是簡諧的。因此可設(shè)ititv1(x,t)=V1e,v2(x,t)=V2e󰃖󰃖(5)󰃖󰃖(6)(7)1頻域響應(yīng)求解非線性連接梁的模型如圖1所示。主梁彎曲剛度E1I1,線密度1A1,長度L1;副梁彎曲剛度E2I2,線密度2A2,長度L2。主梁受到簡諧的單點激勵,主梁和副梁通過金屬橡膠連接。在圖1中標(biāo)出。f1=F1eit,f2=F2eit式中V1,V2,F1,F2為復(fù)數(shù)。代入式(3),得44(x-x1)+11=4-11dx2(x+ext(x-x2)4F1(x-x4)+2V2=-4-E2I2dx(8)F2(x-

8、x5)式中24EiIi(i=1,2)i=iAi󰃗(9)將式(6)和(7)代入式(5)得F1eF2eit=k3V2(x4)-V1(x1)eit+=kV2(x5)-V1(x3)e+3itV2(x4)-V1(x1)3e3itit(10)圖1非線性連接梁模型V2(x5)-V1(x3)3e3it其中k3金屬橡膠的恢復(fù)力可以用線性剛度、三次非線性剛度和粘性阻尼的組合近似描述。當(dāng)變形為時,恢復(fù)力可由下式表出󰃖(1)f=k+3+c式中k,c分別為剛度系數(shù),非線性系數(shù)和阻尼系數(shù)。設(shè)激振力為it(2)fext(t)=Fexte梁的控制方程為24+E1I14=f1(x-x1)+1A1

9、5t25xf2(x-x3)+fext(t)(x-x2)(3)24+E2I24=-f1(x-x4)-2A25t25xf2(x-x5)式中v1,v2分別表示主梁和副梁的撓度。兩梁均為自由邊界條件,因此有23=0,3=0x2x=0,l1xx=0,l1(4)23=0,3=05x2x=0,l25xx=0,l2=k+ic(11)由式(10)中同次諧波系數(shù)相等得3F1=kV2(x4)-V1(x1)+V2(x4)-V1(x1)34V2(x5)-V1(x3)343F2=kV2(x5)-V1(x3)+(12)設(shè)G1(x,u)和G2(x,u)是下述方程的解d4Gi(x,u)󰃗dx4-4u)iGi(x

10、,u)=(x-(i=1,2)(13)由疊加原理,方程(8)的解可以表示為V1=E1I1G(x,u)F(u-011lx1)+F2(u-x3)+Fext(u-x2)duV2=-E2I2G(x,u)F(u-01l(14)x4)+F2(u-x5)du積分后得第1期王光遠(yuǎn),等:連接梁的非線性耦合振動分析與實驗43V1=E1I1F1G1(x,x1)+式(15)(17),(19)(21)組成非線性代數(shù)方程組,該方程組不易得到解析解,本文采用牛頓迭代法數(shù)E1I1FextG1(x,x2)E1I1F2G1(x,x3)+值求解得到系統(tǒng)的響應(yīng)。V2=-E2I2F1G2(x,x4)-E2I2F2G2(x,x5)2實驗方

11、法本文分別采用3組參數(shù)不同的金屬橡膠連接兩個均質(zhì)鋁梁,組成了3組試件。所采用的梁參數(shù)都完全一樣,在分別距主梁和副梁左右端點各0115m處,用同一組的兩個金屬橡膠連接。試件的參數(shù)如表1和2所示,金屬橡膠的參數(shù)由文獻(xiàn)17的方法得到。由于單位選取的問題,的量級較大,系統(tǒng)中由非線性剛,系統(tǒng)非線性2,往往僅對結(jié)(如慣導(dǎo)的支撐點),因此本文在實驗研究中,取副梁中點的加速度與激勵點的加速度比值作為系統(tǒng)的傳遞率進(jìn)行研究。響應(yīng)求解過程中,也可以得到這一結(jié)果。表1梁參數(shù)幾何尺寸󰃗mm(長×寬×厚)1000×40×6(kgm-3)彈性模量󰃗GP

12、a密度󰃗702700(15)將式(15)代入式(12)得F1=-F1G2(x4,x4)+F2G2(x4,x5)+E1I1E2I2E2I2F1G1(x1,x1)+F2G1(x1,x3)+FextG1(x1,x2)-4E1I1F1G2(x4,x4)+F2G2(x4,x5)+E2I2E2I2F1G1(x1,x1)+F2G1(x1,x3)+FextG1(x1,x2)3(16)F2=-F1G2(x5,x4)+F2G2(x5,x5)E1I1E2I2E2I2F1G1(x3,x1)+F2G1(x3,3+t3,x)4E1I12x,x4F2G2(x5,x5)+E2I2E22F1G1(x3,x1)+

13、2G1(x3,x3)+FextG1(x3,x2)3(17)由文獻(xiàn)18可知,式(13)的解Gi(x,u)可以設(shè)為如下形式Ai1ch(ix)+Ai2sh(ix)+Gi(x,u)=Ai3cos(ix)+Ai4sin(ix)(0xu)(18)Ai5ch(ix)+Ai6sh(ix)+Ai7cos(ix)+Ai8sin(ix)(uxli)表2金屬橡膠參數(shù)(105󰃖-1)組別k󰃗第1組2148第2組4153第3組118913󰃖-3)󰃗󰃖(󰃖-1)-1-413282100-5155151194-1107145128

14、由位移、轉(zhuǎn)角、力矩的連續(xù)性條件得Gi(x,u)x=u+=Gi(x,u)x=u+x=u-dGi(x,u)󰃗dx=dGi(x,u)󰃗dx+x=u-d2Gi(x,u)󰃗dx2x=u=d2Gi(x,u)󰃗dx2x=u-圖2激振器和試件(19)由方程(13)得到剪力的不連續(xù)性條件d3Gi(x,u)󰃗dx3x=u+-d3Gi(x,u)󰃗dx3x=u-=1(20)由邊界條件可以得到另外4個方程,當(dāng)取自由邊界條件時dGi(x,u)󰃗dxdGi(x,u)󰃗dx322x=0,li分別對每

15、組試件進(jìn)行正弦掃描實驗,實驗原理如圖3所示。由計算機發(fā)出指令,使信號處理儀產(chǎn)生振動信號,經(jīng)過功率放大器放大,使激振器產(chǎn)生振動,在主梁的中點處進(jìn)行激勵。加速度傳感器a1放在振動臺臺面上測試振動臺的振動信號;加速度傳感器a2放在副梁的中點,測試系統(tǒng)的響應(yīng)信號。在實驗中,保持激振臺的激勵加速度幅值恒定為014g,頻率范圍為51000Hz,進(jìn)行掃描,獲得a2通道在這一頻段內(nèi)的幅頻曲線和相頻曲線,即可得到=0(21)=0x=0,li44振動工程學(xué)報第22卷圖3實驗原理副梁中點相對于激勵點的加速度傳遞率。3結(jié)果及討論311,并與實驗結(jié)果進(jìn)行對照,如圖4所示。計算結(jié)果與實驗結(jié)果對應(yīng)良好,峰值頻率和幅值非常接

16、近,說明所采用的模型以及計算方法是合理的。表3給出了實驗中得到的3組試件的傳遞率峰值頻率,可見3組頻率在低頻段有明顯的對應(yīng)關(guān)系,高頻段相差較大。以第1組為例進(jìn)行分析,數(shù)值求解得到峰值頻率對應(yīng)的振型,如圖5所示,為了比較主梁和副梁的響應(yīng),以同一基線繪制其振型?？梢姼麟A振型基本對應(yīng)于兩自由梁各階振型的同相以及反相組合。而第7階振型與其它各階不同,兩梁的振型明顯不同于自由梁,說明此時金屬橡膠與梁的振動產(chǎn)生耦合。表3峰值頻率󰃗Hz階次12356789第1組1333115147235363492693768第2組1335117152249364541706773第3組1543125157

17、265368648753-圖4實驗與計算得到的傳遞率將3組實驗結(jié)果進(jìn)行對照,可見金屬橡膠參數(shù)的變化對傳遞率有顯著的影響。但由于難以定制確定參數(shù)的金屬橡膠試件,無法針對某一特定參數(shù)進(jìn)行對比實驗,有必要采用數(shù)值方法進(jìn)行對照分析。312連接參數(shù)的影響由第1組和第2組實驗結(jié)果比較可見,金屬橡膠剛度越大,耦合頻率越高。第3組試件中,由于金屬橡第1期王光遠(yuǎn),等:連接梁的非線性耦合振動分析與實驗45較大影響。剛度變?nèi)鯐垢哳l段幅值顯著降低。圖7比較了只有阻尼變化,其余參數(shù)不變時數(shù)值計算得到的3組傳遞率?？梢娫龃筮B接阻尼會使耦合頻率鄰近的峰值明顯減小,對其它峰值也有抑制作用。阻尼的變化對峰值頻率影響很小。圖7

18、阻尼對傳遞率的影響由于連接的非線性,實驗中傳遞率曲線出現(xiàn)了類似于單自由度杜芬系統(tǒng)的彎曲和跳躍現(xiàn)象,并且在耦合頻率附近,現(xiàn)象較為明顯。圖8為實驗得到的第1組試件在耦合頻率附近的傳遞率,可見曲線有明顯的彎曲現(xiàn)象。通過計算得到非線性無阻尼以及圖5第1組振型膠剛度過大,耦合頻率已經(jīng)超出了所研究的頻段。其余參數(shù)不變,改變連接剛度進(jìn)行數(shù)值計算,如圖6所示,剛度變化除影響峰值頻率外,對幅值也有非線性有阻尼情況下的傳遞率,結(jié)果如圖9所示。可見無阻尼時,傳遞率曲線有明顯的跳躍現(xiàn)象;加入較大的阻尼后,傳遞率曲線彎曲現(xiàn)象變?nèi)?跳躍現(xiàn)象消除。圖8實驗中的彎曲現(xiàn)象4結(jié)論圖6剛度對傳遞率的影響針對工程應(yīng)用中減振器的非線性

19、特性和減振結(jié)46振動工程學(xué)報第22卷ergiesoftwocoupledbeamsbyfiniteelementandgreenfunction(receptance)methodJ.JournalofSoundandVibration,1995,181(5):801838.7DinoSciulli.DynamicsandcontrolforvibrationisolationdesignD.VirginiaPllytechnicInstituteandStateUniversity,1997.8VuHV,OrdonezAM,KarnoppBH.Vibrationofadoublebeamsy

20、stemJ.JournalofSoundandVibration,2000,229(4):807822.9OniszczukZ.Freetransversevibrationsofelasticallyconnectedsimplysupporteddouble2beam(2):387403.10OvibrationsofansimplysupportedJ.ErdoganG,JournalofSoundandInceogluS.BendingcomplexsystemJ.JournalofSoundandVibration,2000,232圖9計算得到的彎曲與跳躍現(xiàn)象構(gòu)的柔性,性耦合振動進(jìn)行

21、了研究。制作了3組試件,。實驗結(jié)果與計算得到的傳遞率對應(yīng)良好。從實驗與計算結(jié)果可以得到如下動力學(xué)現(xiàn)象:(1)降低耦合剛度,可以降低高頻振動的幅值;(2)由于非線性的影響,耦合振動頻率附近的傳遞率曲線出現(xiàn)了彎曲和跳躍現(xiàn)象;(3)增大阻尼會削弱非線性的影響,減弱傳遞率曲線的彎曲程度,當(dāng)阻尼較大時,跳躍現(xiàn)象會消失。參考文獻(xiàn):1李宇明,彭威,白鴻柏,等.金屬橡膠材料宏觀和細(xì)觀力on,2003,264:273286.11GurgozeM,vibrationsofbeamscoupledbyadoublespring2masssystemJ.JournalofSoundandVibration,2001,

22、243(2):361369.12InceogluS,GurgozeM.Bendingvibrationsofbeamscoupledbyseveraldoublespring2masssystemsJ.JournalofSoundandVibration,2001,243(2):370379.13GaoJX,ChengL.Modelingandcontrolofpowerflowinadouble2beamsystemJ.Thin2WalledStructures,2005,43:751771.14TuYQ,ZhengGT.Onthevibrationisolationofflexiblest

23、ructuresJ.TransactionofASME:JournalofAppliedMechanics,2007,74:415420.15XiongYP,XingJT,PriceWG.Interactivepowerflowcharacteristicsofanintegratedequipment2nonlinearisolator2travelingflexibleshipexcitedJ.JournalofSoundandVibration,2005,287:245276.16YuriVMikhlin,ReshetnikovaSN.Dynamicalinteractionofanel

24、asticsystemnonlinearabsorberJ.Vibration,2005,283:91120.17王光遠(yuǎn),鄭鋼鐵,韓潮.金屬橡膠動力學(xué)建模的頻域方andessentially學(xué)模型J.機械工程學(xué)報,2005,41(9):3841.2龔憲生,謝志江,駱振黃,等.非線性隔振器阻尼特性研究J.振動工程學(xué)報,2001,14(3):334338.3何玲,鄭鋼鐵.流體隔振器中干摩擦對隔振特性影響分析J.振動工程學(xué)報,2007,20(2):118122.4MichaelDublin,HansRFriedrich.Forcedresponseoftwoelasticbeamsinterconn

25、ectedbyspring2dampersystemsJ.JournaloftheAeronauticalSciences,1956,9:824829,887.5YamaguchiH.Vibrationsofabeamwithanabsorberconsistingofaviscoelasticbeamandaspring2viscousdamperJ.JournalofSoundandVibration,1985,103(3):417425.6ShankarK,KeaneAJ.Astudyofthevibrationalen2JournalofSoundand法J.宇航學(xué)報,2008,29(

26、2):499504.18MohamadAS.TablesofGreensfunctionsforthetheoryofbeamvibrationswithgeneralintermediateappendagesJ.InternationalJournalofSolidsandStructures,1994,31(2):257268.第1期王光遠(yuǎn),等:連接梁的非線性耦合振動分析與實驗47AnalyticalandexperimentalstudyofcouplingvibrationofnonlinearconnectedbeamsWANGGuang2yuan,ZHENGGang2tie,HANChao112(1.SchoolofAerospace,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China;2.SchoolofAstronautics,BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics