第三章二維隨機變量及其分布

1、第三章 二維隨機變量及其分布（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機量。設=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示： YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）連續(xù)型對于二維隨機向量，如果存在非負函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有則稱為連續(xù)型隨機向

2、量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1） f(x,y)0;（2） （2）二維隨機變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分布函數(shù)設（X，Y）為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當x2>x1時，有F（x2,y）F(x1,y);當y2>y1時，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）

3、分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對于.（4）離散型與連續(xù)型的關系（5）邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布0隨機變量的函數(shù)若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨立， h,g為連續(xù)

4、函數(shù)，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。（8）二維均勻分布設隨機向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1 D1O 1 x圖3.1yD211 O 2 x圖3.2yD3dcO a b x圖3.3（9）二維正態(tài)分布設隨機向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中是5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為

5、正態(tài)分布，即XN（但是若XN（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：對于連續(xù)型，fZ(z)兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互獨立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：分布設n個隨機變量相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機變量W服從自由度為n的分布，記為W，其中所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。分布滿足可加性：設則t分布設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布