數(shù)學(xué)分析試題庫計(jì)算題、解答題答案

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.WOld版本可編輯.歡迎下載支持.數(shù)學(xué)分析題庫（-22章）四.計(jì)算題、解答題求下列極限-4.(n+2X"-2).c解：1?Inn=liin=Inn(n+2)=oo一一2一n2一C八111、2?11111(1+?+)1-22-3(+1)-*e,3?lull=Inn=-=15cosxv->°cosx14.這是抵型，而4n故原極限=1皿1+/?y*-1。r(1+工)611111(1+一)nngnir2(+1)n因lun-；-=1,lun=廿rr廿+7. 用洛必達(dá)法則1 e_1_r8. lim()=lun(3分)Joxe tanx-x9. Inn；

2、x-snix解法1:解法2: 110. lim(sin 2x+cos x)x 人TOr ei? sm2x+cosx-l 2cos2x-siiix -翁軍因 Inn = lim = 2 )A->0XA-? 0-13。x(e'-1)1 3in2.t4-cos.t-l原式=lun(l+sm2x+cosx-1)=八.v->0求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解11yf=excosx-exsiiix111?=111XxxlnxsinXin.VfsinXziSillX13y' = (e)=X (COSX111X+ ) X14.y=cosx=sin(x+y)15yf=exsiii2x+2eAcos

3、2x16?(-SU1X4-COSX+111XX17y=皿皿4=(cosx)"(cosxln(cosx)+tanx)18=S111(X+(/?+1)-y),(=1,2,-).1尸W=19. -3sec-1113;rx20.求下列函數(shù)的高階微分：設(shè)(x)=lnx,Kv)=e",求v解因?yàn)樗?3(wv)=ddf=eA-A+hix)dxidxxrx所以d5(一)=ex(A-+上+2-Inx)dx5VXX-X21. y=(aictanx3)2;解：22. y=xe;解：令X=x",In%=xlnx兩邊對兩邊對X求導(dǎo)有=liix + 1, (x')=xx In x+

4、x兩邊對x求導(dǎo)有上=(x1nx)x=dcost.d223.求由參量方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)三*dxy=esiiif;x=e,cost,y=elsiii/;由含參量方程的求導(dǎo)法則有2求學(xué)即求參量方程dy_cos/+snjJlx=cosr-sinr的導(dǎo)數(shù)dx-tx=ecos/；解法2:x=ecost,由含參量方程的求導(dǎo)法則有求今即求參量方程.tan"+?),的導(dǎo)數(shù)x=e'cos/;24.設(shè)>二犬/,試求了.解基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，有(e')0=ek=l,2,6,應(yīng)用萊布尼茲公式(=6)得=(x3+18x2+90x+120)ev.25.試求由擺線方程("W

5、M所確定的函數(shù)),=/")的二階導(dǎo)數(shù).y=?(l-cos/)解26.求/(x)=ln(l+J)到f項(xiàng)的帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式.解因?yàn)??3X111(1+X)X-1-FO(AX),所以“X尸111(1+X2)到f項(xiàng)的帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式為(2) ff(0) = InnJ(? a。 x-0 zZ (Q)lll(l+x2)=X2-+o(x6).27.-22,1)-1(-1,0)004-不存在+0遞減，凹極小值遞增，凹遞增，凹極大值遞減，凹-3128.解(1)Inn/(x)=Innsm-=0=/(O),故對任意正整數(shù)由/在x=O連續(xù).v->0.10X=Inn-二:=lun

6、xM1sui-=(xaox不存在m<1故當(dāng)機(jī)1時(shí)，/在x=0可導(dǎo).（3）先計(jì)算/的導(dǎo)函數(shù).VX00,Innfx)=sm_-cos-)=lunx”(mxsin-cos一尸<io,soxxA-?Oxx不存在m<2由(2)知，(0)=0,于是當(dāng)>2時(shí)，有l(wèi)im/'*)=0=/'(0),所以當(dāng)機(jī)>2時(shí)，ffxAO在工=0連續(xù).29.解因?yàn)閺V=2x,g'(x)=3/,故當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=0,g,(0)=0,不滿足柯西中值定理的條件，所以在區(qū)間-1,1上不能用柯西中值定理.30.證明(1)對任何XH0,有/。)=1飛11/220=/(0),故x=0

7、是極小值點(diǎn).X(2)當(dāng)XW0寸，有fx)=4x3sin2-2x2snicos=2x2sni(2xsiii-cos),作數(shù)歹Uxxxxn=一i一，先=一i一，則Z-0,-。.即在x=0的任何右鄰域2乃+2乃+一24U:(O)內(nèi)，既有數(shù)列&“中的點(diǎn)，也有數(shù)列y“中的點(diǎn).并且尸(工,)>0,廣(y“)<0,所以在。：（0）內(nèi)/'的符號是變化的，從而/不滿足極值的第一充分條件.又因?yàn)閤4sm2-07.x2sm(2xsm-cos)-0f0)=Inn一=0,f0)=lull二0,所以.10Xa-?0X用極值的第二充分條件也不能確定f的極值.31.答：能推由/在（。，仞內(nèi)連續(xù).證

8、明如下：Vx。G（a,b）,=-minx0-a,b-xq,2于是/由題設(shè)，/在口+£,/?一村上連續(xù)，從而在幾連續(xù).由X。的任意性知，/在（4,6）內(nèi)連續(xù).32.試求函數(shù)y=|2V9/+12x|在1,3上的最值和極值解在閉區(qū)間-1,3上連續(xù)，故必存在最大最小值.令）/=0,得穩(wěn)定點(diǎn)為X=l,2.又因（0）=12，月（0）=12,故y在x=0處不可導(dǎo).列表如下小存在00遞減極小值遞增極大值遞減極小值遞增為極大值處取最大所以x=0和x=2為極小值點(diǎn)，極小值分別為/(0)=0和/(2)=4,x=1點(diǎn)，極大值為/(1)=5.又在端點(diǎn)處有/(-1)=23,/(3)=9,所以函數(shù)在x=0處取最小

9、值0,在x=-l值23.33.求函數(shù)y=/-5/+5/+1在1,2上的最大最小值：解：令y=/(x)令)，'=0解得函數(shù)在1,2的穩(wěn)定點(diǎn)為網(wǎng)=0,a=1,而/(-1)=-1OJ(O)=1J(1)=2J(2)=-7,所以函數(shù)在-1,2的最大值和最小值分別為人(1)=2,7m«-1)=10.34.確定函數(shù)y=2d3/36X+25的凸性區(qū)間與拐點(diǎn)：),=12%r6=0,解得工=;,當(dāng)xe(yo,g)時(shí)，)嚴(yán)0,從而區(qū)間(一co,g)為函數(shù)的凹區(qū)間,當(dāng)天嗎產(chǎn))時(shí)，曠0,從而區(qū)間(；，一)為函數(shù)的凸區(qū)間.1113113并且/7-)=oj(i)=一,所以(士,V)為曲線的拐點(diǎn).22235

10、.設(shè)4+"(=1,2？)，則4是有理數(shù)列點(diǎn)集qj=1,2,卜非空有界，但在有理數(shù)集內(nèi)無上確界數(shù)列q遞增有上界，但在有理數(shù)集內(nèi)無極限.(=1,2,)，則4是有理數(shù)列.點(diǎn)集)=1,2,有界無限，但在有理數(shù)集內(nèi)無不存在聚點(diǎn)數(shù)列q滿足柯西準(zhǔn)則，但在有理數(shù)集內(nèi)不存在極限.37 .不能從”中選由有限個(gè)開區(qū)間覆蓋0,5.因?yàn)橹腥我庥邢迋€(gè)開區(qū)間，設(shè)其中左端點(diǎn)最小的為則當(dāng)0<x<丁吐這有限個(gè)開區(qū)間不能覆蓋x.N+2N+338 .39 .令x=asinf,Hv?,則40.41 .2(+1)42 .令f=貝U有x=43 .令，=tan”貝U有*cosx=-.dx=-dx5-3cosxdt,或2

11、,)=4aictan2r+C=4arctan2tan1+C.222；+ (x In x -= 2(1-=2.1+(244J|ln目dx=-Inxdx+JInxdx=一(xInx-x)el).45.£eAdxyfx=r£e1dt2=2£tde1=2(te!46.oaicsinxdx=文arcsiiixdxJoy/1-7t1=1-22=4-io2.其中和式是函數(shù)47.J=I*'上=arctand=% ol + xlo 4/(X)=在0,1上的一個(gè)積分和，所以J=I+x48.尸二J:f(t)(x-t)dt=x£'J/力.于是/'(x)=

12、£7(0八+VW一療=£"?)力，尸"(x)=/(x).49.以平面1面積%(4|。)截橢球面，得一橢圓2=1.所以截/7 rbe 1i1dx = 7tabc.A)/(AoJiob-1-?-c-1-?-<a7ka>函數(shù)為C3,xw-do.于是橢球面的體積V=乃尻。1J-a50.化橢圓為參數(shù)方程：x=acost,y=6sm/,f£0,2句.于是橢圓所I制的面積為/?siii/(acos)dt=JOsin2tdt=于是所求擺線的弧長為51./=?(1-cosr),y'=asinf,0<<2人,s=/"yjx

13、f2(t)+y2(t)dt=j:y2a2(1-cost)dt=2。Jsingdt=8可得所求旋轉(zhuǎn)曲面的面積為52.根據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積公式5=27/(x)J1+:2(x)dxS=2乃，sinx>/l+cos2xdx=->/2+ln(>/2+2萬l).53.因?yàn)閤eTdx = lim f )JoxDZv= luu12ei=hiu1 122于是無窮枳分(口”去收斂，其值為q.f+xM因?yàn)閐xvCAdxCA(1=lim-Jix(l+x)abJix(l+x)=lim-AXJI1l+xx-1)J-dxx-J于是無窮枳分Jj1-ln2.dxx2(1+dx收斂，其值為55.因?yàn)槎?一+

14、1)(=11'+1)(/?+2fF,從而級數(shù)一二一人的部(+1)(7?+2)2'4n(n+1)(+分和為y1=ylO!Lin.I +1)(/7 +2)k(k+1)(k+2)與-21k(k+1)(k+1)(A+2)J22(文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.WOld版本可編輯.歡迎下載支持于是該級數(shù)收斂，其和為亂11-COS 56 .因?yàn)?lun -2sm 2 二?且級數(shù)4與收斂,白-所以級數(shù)Ucos -£1斂.57 .因?yàn)閘im小工=lun 2"十廣： ,由根式判另忸知級數(shù)n->x Y->8112 +收斂.但(-1V*單調(diào)遞減,58因?yàn)閘im=2，且級數(shù)

15、自工發(fā)散，故原級數(shù)不絕對收斂一>8T且=0,由萊布尼茨判別法知級數(shù)X(-l)nsin5條件收斂.59.因?yàn)閂,1乙)1=COSX-cos2X,的部分和數(shù)列n=l£差廣收斂； =1 "當(dāng)(0,2乃)時(shí)，sin5工。，于是？所以級數(shù)£sin2當(dāng)xe(0,2/r)時(shí)有界，從而由狄利克雷判別法知級數(shù)同法可證級數(shù)£專竺在X£=1"(0,7t)上收斂.2又因?yàn)閟nq、sinnx1nn1-cos2nx1cos2nx2/z2，級數(shù)支白發(fā)散,=1E"cos2nx一收斂，于是級數(shù)n2n=l捺-COS2ZZX2發(fā)散，由比較判別法知級數(shù)散.所

16、以級數(shù)£端竺在x£=1"(0,21)條件收斂.60.判斷函數(shù)項(xiàng)級數(shù)£在區(qū)間0,1上的一致收斂性./、/9x)y(x)=1+-.則有i>級數(shù)W(x)收斂;文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.WOld版本可編輯.歡迎下載支持.ii>對每個(gè)xw0,1,u*)/；iii>Iv(x)1=1+-<e對Vxe0,lI)和V成立.由Abel判別法，Z在區(qū)間0,1上一致收斂.J1Y61.fn(X尸,X60,1.討論函數(shù)列/“(X)的一致收斂性1+*解Innf,(x)=0,xg0,1.|/,(%)-0|=/n(x).可求得max/,(x)=/,(-!-)=1

17、t>0,s).n2n函數(shù)列£,*)在區(qū)間0,1上非一致收斂.62.函數(shù)列在0,1上是否一致收斂？解：由于£(。)=o,故/(0)=11111/;(0)=0,當(dāng)0</41時(shí)，只要>,就有A（x）=0,故在（0,1上有/（x）=lim/（x）=0，于是函數(shù)列（8）在0,1上的極限函一>8數(shù)/W=0,又由于sup£(X)一/(x)|=/()=-8(nfoo),.veo.i2所以函數(shù)列（8）在0,1上不一致收斂63./,(x)=2/”在A內(nèi)是否一致收斂?解顯然有/“一0,|人（刈一/。）|=/"（刈在點(diǎn)五=占處取得極大值V2/7=5e&#

18、39;+3Qtis）由系2,（i）不一致收斂.64.函數(shù)列在QJ上是否一致收斂？解OvxKl時(shí)，只要>%，就有了"（x）=0.因此，在（0,1上有/(x)=inn/n(x)=o.A(o)=o,n/(o)=iim<(o)=o.于是，在0,1上有/r-Ax“T3c/(x)=lim<(x)=0.但由于n0v4roaivei)-/(M|=d;fOn()-8),因此，該函數(shù)列在0,11265.求幕級數(shù)：33-上不一致收斂.345+/+的收斂域3334解山+土丁+,/+之/+等婢是缺項(xiàng)察級數(shù).3323334£3/，+111mE=J_,nH=JL收斂區(qū)間為(一百，、回)

19、.戈=士JJ時(shí),51o13通項(xiàng)50.因此，該哥級數(shù)的收斂域?yàn)?-有，6).66.計(jì)算積分/=fe*dx,精確到0.0001.?X解e-丁二£(-1)”一-,工£(-8,+8).n=0?"=胞(一】吟 因此，小£ “肝2=*】)"品而-一 ，可!10002 J111(1 + X)= X + 1r”+一 n=£(-1 嚴(yán)竹二1XG(-14.=£ (-1 嚴(yán)"=1Q 2)Tn + ln7,xR5,9.上式最后是小而成型級數(shù)，其余和的絕對值不超過余和首項(xiàng)的絕對值.為使取>7.故從第0項(xiàng)到第6項(xiàng)這前7項(xiàng)之和達(dá)到要求的精

20、度.于是(2+1)=1-0.33333+0.10000-0.02381+0.00463-0.00076+0.00011=0.7468.67.把函數(shù)/(x)=ln(5+x)展開成“-2)的幕級數(shù).X6好嘉級噂等X,的和函數(shù).解法一 收斂域?yàn)?-S , + 8 ),設(shè)和函數(shù)為S(X)，則有X丫+1旺總(+1)力=豆丁=-xx=0+1X"=S(x)二(SU)町=(")'=(1+X，X£(-8,+8).解法二=0死nxnxxnx+en=0"?n=0=1(一1)!8X11=-+ex=xex+ex=(x+l)ex,xe(-8,+s).n=om69. 展開函數(shù)

21、/(x)=(l+x)e'.X丫X解/(刈=二+叱=£；+£X1Xn=0"?=0=0?n=l(一1)!x=1+£=170. 在指定區(qū)間內(nèi)把下列函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)/(x)=x,(i)-7T<X<7T,(ii)0cx<2萬.解(1)(i)函數(shù)/及其周期延拓后的圖象所示.顯然/是按段光滑的，故由收斂定理知成傅里葉級數(shù).由于。0=ffwdx=xdx=0Tt'F乃J-不當(dāng)時(shí)，有所以在區(qū)間(4，力上(11) 函數(shù)/及其周期延拓后的圖象所示.顯然/是按段光滑的，故由收斂定理知它可以傅里葉級數(shù).由于它可以展開展開成4=xdx=7.714

22、Joan=xcosnxdx牙Jo=xsm|/-sinnxdxn7t4J。=0bn=xsinnxdx萬Jo=-xcosnx+fcosnxdx27所以在區(qū)間(0,21)上t八-2VG?sinx/(x)=£71.設(shè)f（x）是以24為周期的分段連續(xù)函數(shù)，又設(shè)f（x）是奇函數(shù)且滿足/（X）=/（1一工）試求/（X）的Fourier系數(shù)A,=/(X)sin2xdx的值，=L2,?:解由/（x）是奇函數(shù),故/(x)sin2x是偶函數(shù)，再由?乃Jrr/(x)=/(%x),故有=/(7t-x)siii277%dx所以,4=0,n=1,2,.在區(qū)間0,2司7試微/（X）蟻2oure周娜數(shù)展肝式。解由Fo

23、urier系數(shù)的計(jì)算公式，=-£H7T*又f（v）滿足Fourier級數(shù)收斂的Dirichlet條件,故X1丁九+1，2-7t<X<0,3、X五73.設(shè)-7t<X<00<X<7t求在-句內(nèi)/（X）的以2%為周期的Fourier級數(shù)展開式.解注意到/（X）是奇函數(shù)，故/（X）的Fourier系數(shù)7tv-x2）siii/xdx（n-2x）cos/?xdxsin1SIDJ1Xd+X-兀04九cosnx/兀041-(-if'=L2,run因此文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.WOld版本可編輯.歡迎下載支持兀(2_Ip由/")在一乃，句內(nèi)分段單

24、調(diào)，連續(xù)，且/(乃尸/(一町，故在一乃，句內(nèi)(21)3sin(2 -l)x74 .設(shè)/(X)是以2乃為周期的連續(xù)函數(shù)，其 Fourier系數(shù)為 r, = 1,2,? 試用表示函數(shù)尸(X)= /(X)COSX的Fourier 系數(shù)由Fourier系數(shù)的計(jì)算公式，2-Jp + 475 . 試求極限Inn("500lim(K. V)T(0i ?xv11111 r沖 Q + Jxy + 4)Inn2 + yxy +476.試求極限，。爺?shù)?-1-cosCv + y") hm gzoo( £ + y?)e".hm4( 哪=0%2尸十),V + V ) 2/2)試求

25、極限 lun (x+ y) sul -sul77.(“50.0) 由lim (x + y) sin sill = lim (x sill -sin + y sill - sin )又所以Inn xsiii - sinx y=0 luny sin -sino'(.v,yM(o,o) x y所以lim (x + 0(x,yM(0.0)y) sin-sin78 .試討論(x,y)- ? (O.O) x- +)戶解 當(dāng)點(diǎn)(x, y)沿直線y = X趨于原點(diǎn)時(shí)x y文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.WOld版本可編輯.歡迎下載支持.X)， I- YInn - = 11111 - = o? 1 

26、6; 廠 + y so r + x當(dāng)點(diǎn) (x,y) 沿拋物線線yx=x=- ?V0 趨于原點(diǎn)時(shí)，一 江 1 y4 11U11 - = 11111 一 - = - 田 r + y y + y 2 .v=y :->0.試求極限lull79.+一 (Ef 0.0)j+/+y2 _ lim (Jl + x 2 + y 2 +1) = 2 (0 。80.= /(X+y, 與 ,) ， /有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求” , 生 oxdyZ = aictan.n y = ex dz, 求一 .ax1/、八e'(l+x)=(e+xe)=丁丁82求拋物面Z = 2/ + y2l+(xe1)'l+xe

27、在點(diǎn)M(L1,3)處的切平面方程與法線方程。解于4=4為Z、.=2y在M(1,1,3)處(口,3)=4,z,.(U,3)=2.所以，切平面方程為4(x-l)+2(y-l)=八-3即法線方程為x-1y-1z3S3.求/(x,y)=2冷，V6x3y+5在(1,-2)處的泰勒公式.解由fyy(X,丁)=一2,(1,-2)=-2得“X,)，)=5+2(x-l)2。一1)()，+2)-(y+2尸84.求函數(shù)/(x,y)=e2x+y2+2y)的極值.解由于解得駐點(diǎn)(一L1),.=2/(2+x+y2+2y)+e2x,f-2+2y),4=2冷所以(1,一1)是極小值點(diǎn)，極小值為/(-l,-l)=-2e-2.8

28、5 .敘述隱函數(shù)的定義.答：設(shè)XuR,YuR,函數(shù)尸：XxY-H.對于方程尸(x,)，)=0,若存在集合/uX與/u丫，使得對于任何xe/,恒有唯一確定的y£J，使得(x,y)滿足方程尸(x,y)0,則稱由方程/(x,)，)=0確定了一個(gè)定義在/上，值域含于，的隱函數(shù)。一般可記為f(x)XG/,yGJ.且成立恒等式86 .敘述隱函數(shù)存在唯一性定理的內(nèi)容.答：若尸(X,)，)滿足下列條件：(1)函數(shù)F在以玲(五，九)為內(nèi)點(diǎn)的奧一區(qū)域OuH?t連續(xù)；(11) F(xo,yo)=0(通常稱為初始條件)；(in)在D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)F、.(x,y);(iv)、.(/,)，0)工0,則在點(diǎn)尸

29、。的某鄰域U(E)u。內(nèi)，方程尸(x,y)=0唯一地確定了一個(gè)定義在某區(qū)間(4-。+a)內(nèi)的函數(shù)(隱函數(shù))，=/"),使得1°fM=yo,xG(/一a,%+a)時(shí)(xJ(M)£U()且尸(xJ(x)=0;2°f(x)在(x0-a,x0+a)內(nèi)連續(xù).87 .敘述隱函數(shù)可微性定理的內(nèi)容.答：若F(x,y)滿足下列條件:(1)函數(shù)F在以玲(.%,先)為內(nèi)點(diǎn)的奧一區(qū)域Ou/?上連續(xù)；(it)F(xo,yo)=0(通常稱為初始條件);(in)在D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)F、.(x,),);(iv)尸、.(與，)'0)工°,文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.W

30、Old版本可編輯.歡迎下載支持.又設(shè)在D內(nèi)還存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)心(左丁)，則由方程尸(x,y)=0所確定的隱函數(shù)在y=/(x)在其定義域(0-a,X。+a)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù),且88 .利用隱函數(shù)說明反函數(shù)的存在性及其導(dǎo)數(shù).答：設(shè)y=/a)在4的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)，且/(x0)=y。；考慮方程由于尸(%，%)=0'Fy=1，%(，%)=一/'(超)，所以只要/'(與)豐0,就能滿足隱函數(shù)定理的所有條件，這時(shí)方程F(xyy)=)，一/(X)=0能確定出在方的某鄰域U(y。)內(nèi)的連續(xù)可微隱函數(shù)x=g(y),并稱它為函數(shù)y=/(X)的反函數(shù).反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是89

31、 .解：顯然尸(¥，丁)=13+丁3-3。.9,及匕，尸、，在平面上任一點(diǎn)都連續(xù)，由隱函數(shù)定理知道，在使得尸、.(x,y)=3(y2-4氏)。0的點(diǎn)(兀)，)附近，方程/+一3。刈=0都能確定隱函數(shù))=/(x)；所以，它的一階與二階導(dǎo)數(shù)如下：對方程求關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)(其中)，是x的函數(shù))并以3除之，得x2+-ay-axy*=0,或(x2-ay)+(y2-ar)y'=0.(1)于是y'=aA.(y2-ax0)(2)y-ax再對(1)式求導(dǎo)，得：2x-ay'+(2yy'-a)y'+(y2-ax)yn=09即yy2-ax)=lay*-2yy,2-2x.(

32、3)把(2)式代入(3)式的右邊，得再利用方程就得到90.解：由于尸(0,0,0)=0,尸0,0,0)=-1¥0,尸，匕，尸“尸一處處連續(xù)，根據(jù)隱函數(shù)定理18.3,在原點(diǎn)(0,0,0)附近能惟一確定連續(xù)可微得隱函數(shù)z=/(x,y),且可求得它得偏導(dǎo)數(shù)如下：Fx=2x-3yz,尸、=2y3xz,F.由于尸(4)=0,工，,£均連續(xù)，且F、(A尸£K)=Tw°、故在點(diǎn)6(1,1,1)附近由上述方程能確定隱函數(shù)y=y(z,x)和z=z(x,y).(2)當(dāng)F、.w0時(shí)，由定理知_Fx_21-3義F,2),一3日同理，當(dāng)£工0時(shí)，由定理知_Fx_2x-3

33、yz“F.2z-3.,于是求得并且有£(1,義1,1),1)=-1,£(1,1,迅1)=-2?92.解：首先，尸(")=G(p0)=0,即乙滿足初始條件.再求生F,G的所有一階偏導(dǎo)數(shù)容易驗(yàn)算，在點(diǎn)尸。處的所有六個(gè)雅可比行列式中只有因此，只有覆？難以肯定能否作為以乂為自變量的隱函數(shù).除此之外，在尸。的近旁任何兩個(gè)變量都可作為以其余兩個(gè)變量為自變量的隱函數(shù)如果我們想求得x=x("#),y=),("#)的偏導(dǎo)數(shù)，只需對方程組分別關(guān)于#求偏導(dǎo)數(shù)，得到產(chǎn)-2%一尤=0,一1一也一孫，二°,J2”2x-0,(2)1一職.一二0.由(1)解由由(2

34、)解由93.解:設(shè)F(x,y,u,v)=ir+v2+x2+y2-1,G(x,y,文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.WOld版本可編輯.歡迎下載支持(1)£G關(guān)于必u的雅可比行列式是2v=-2(w + v),-10(£G)_2Md(，v)1#)的一個(gè)鄰域內(nèi)，由方程組可以唯一確定當(dāng)uw/U時(shí)，在滿足方程組的任何一點(diǎn)(見乂u,v是x,y的可微函數(shù)；尸，G關(guān)于X,"的雅可比行列式是2w0(£G)_2x0(x,)當(dāng)時(shí)，在滿足方程組的任何一點(diǎn)乂#)的一個(gè)鄰域內(nèi)，由方程組可以唯一確定X,是y#的可微函數(shù).94.解：設(shè)F(x,y,z)=x2+y2+z2-50,G(x,y,z)

35、=x2+y2-z2.它們在(3,4,5)處的偏導(dǎo)數(shù)和雅可比行列式之值為：和絲烏一6。，處囪=12。，處包=。.6(y,z)d(z,x)d(xy)所以曲線在(3,4,5)處的切線方程為：%-3-160-1260,即法平面方程為-4(.v-3)+3(y-4)+0(z-5)=0,即4x-3y=0.95 .解：令F(x,y,z)="-z+盯一3,則工(x,y,z)=y,(x,y,z)=x,£(x,y,z)="-l,故工鼠二1,工|此=2,£|"°二°,因此曲面在點(diǎn)M0(2,L0)處的法向量為n=(1,2,0),所求切平面方程為1?

36、(1 2) + 2 ? () 1 -1) = 0,文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.WOld版本可編輯.歡迎下載支持.x+2y-4=0.法線方程為即96 .解：這個(gè)問題實(shí)質(zhì)上就是要求函數(shù)/(x,y,Z)=/+V+Z?(空間點(diǎn)(x,乂Z)到原點(diǎn)(0,0,0)的距離函數(shù)的平方)在條件/+尸一1=0及工+y+z-1=O下的最大、最小值問題.應(yīng)用拉格朗口乘數(shù)法，令L(x,y,z,Ap)=x2+y2+z2+y2-y+z-1).(1)對L求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令它們都等于0,則有求得這方程組的解為x=y=1-T-o,z=2不V3.(1)就是拉格朗口函數(shù)L(x,y,zM,)的穩(wěn)定點(diǎn)，且所求的條件極值點(diǎn)必在其中取得.由于

37、所求問題存在最大值與最小值(因?yàn)楹瘮?shù)在有界閉集卜了卜2+儼=z,x+y+z=l上連續(xù)，從而必存在最大值與最小值)，故由所求得的兩個(gè)值9不5月，正是該橢圓到原點(diǎn)的最長距離也+5始與最短距離"9-56.97.敘述含參量x的正常積分定義.答：用積分形式所定義的這兩個(gè)函數(shù)/(刈口"(文，丁)外/£卜，“(1)與尸(x)=f：fix,y)dy,xeayb,(2)O'V'/通稱為定義在凡”上含參量X的(正常)積分，或簡稱含參量積分.式的意義如下：設(shè)/(x,y)是定義在矩形區(qū)域H=凡"xb,d上的二元函數(shù)。當(dāng)x取/ (X)，就有 / (?")

38、=£"。(五)上某定值時(shí)，函數(shù)/(x,y)則是定義在上4上以y為自變量的一元函數(shù).倘若這時(shí)/(幾丁)在卜，"可積，則其積分值是X在卜(五)上取值的函數(shù)，記它為蒼)岫X£"問？(2)式的意義如下：一般地，設(shè)/(x,y)為定義在區(qū)域G=(x,y)c(x)<y<d(x),a<x<b上的二元函數(shù)，其中c(x),d(x)為定義在ci.b上的連續(xù)函數(shù)，若對于上每一固定的X值，/(x,y)作為y的函數(shù)在閉區(qū)間卜(x),d(x)上可積，則其積分值是x在ayb上取值的函數(shù)，記作尸(x)時(shí)，就有"")=I:"%

39、y)d)',x£口力98 .敘述含參量x的正常積分的連續(xù)性定理的內(nèi)容.答：設(shè)二元函數(shù)/1,)，)在區(qū)域上連續(xù)，其中c(x),d(x)為力上的連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)在瓦|上連續(xù).99 .敘述含參量X的無窮限反常積分定義.答：設(shè)二元函數(shù)/(蒼)，)定義在無界區(qū)域/?=(%)，)|。(工(人。<><中力上，若對于L,“上每一固定的X值，反常積分都收斂，則它的值是X在卜，以上取值的函數(shù)，當(dāng)記這個(gè)函數(shù)為/(X)時(shí)，則有A00/(x)=J,/U，y)dy,XEa,b,稱式為定義在：o,可上的含參量上的無窮限反常積分.或簡稱含參M反常積分.100 .敘述含參量x的無窮限反常積分

40、的一致收斂性定義.c+OCc+00答：若含參量反常積分，/(x,y)dy與函數(shù)/(x)=J力對任給的正數(shù)£，總存在奧一實(shí)數(shù)N>c,使得當(dāng)M>N寸，對一切都有即則稱含參量反常積分辦在凡上一致收斂于I。)，或簡單地說含參量積分J：/(x,y)dy在卜,“上一致收斂.101 .敘述含參量x的無窮限反常積分的一致收斂的柯西收斂準(zhǔn)則.答：含參量反常積分在凡上一致收斂的充要條件是：對任給正數(shù)5，總存在某一實(shí)數(shù)使得當(dāng)A,A?時(shí)，對一切文£。，可，都有辦<&.102 .敘述含參量反常積分一致收斂的狄利克雷判別法.答：設(shè)對一切實(shí)數(shù)N>c,含參量正常積分力對參量

41、X在卜，“上一致有界，即存在正數(shù)M,對一切N>c及一切XC都有(萬)對每一個(gè)xc函數(shù)g(x,y)關(guān)于y是單調(diào)遞減且當(dāng)yf+s時(shí)，對參量x,g(x,>)一致地收斂于6則含參量反常積分在鼠”上一致收斂.103 .敘述含參量反常積分一致收斂的阿貝爾判別法.答：設(shè)(1) £X/(x,y)dy在。力上一致收斂；(")對每一個(gè)XE。力，函數(shù)g(x,y)為y的單調(diào)函數(shù)，且對參量x,且(工，丁)在。，“上一致有界，則含參量反常積分在鼠”上一致收斂。104 .敘述含參量反常積分的可積性定理內(nèi)容.答：設(shè)/(x,y)在L,xc*o)上連續(xù)，若/(x)=/(x,y)dy在上一致收斂，則

42、/(x)在。力上可積，且設(shè)/*,丁)在。，一卜卜，一)上連續(xù).若(1) £X/(x,y)dx關(guān)于y在任何閉區(qū)間c,d上一致收斂，/(x,y)dy關(guān)于x在任何區(qū)間。用上一致收斂；(萬)積分”|/(工，M力與廣辦廣|/區(qū)力眼(18)中有一個(gè)收斂，則(18)中另一個(gè)積分也收斂，且105 .解：因?yàn)閒爐辦='''"，所以/=fdxf爐dy.由于函數(shù)/在H=0,lxdU上滿足定理19.6的條件，所以交換積分順序得到106.解：因?yàn)閘imsinhi-.=0,.10-IXJ111X所以該枳分是正常積分交換積分次序，得1.(1)smA-dx=sinIn邛vt/yVx

43、=111XJoXhiJa/J"J。xysinhi在上面的內(nèi)層積分中作變換Ini=，于是11+6,+1 下xy sm j hi - Vr dy = f - - Ady = aictaii(/7 + 1)- aictan(ci +1).X) J l + (y + l)-.解法二：取為參量，利用積分號下求導(dǎo)數(shù)的方法，有=一 aictan( ? +1),于是有枳分上式，可得由于/( o )= 0,即有C/ = /(/?) = arctaii(Z? +1)An sinbx-smax 107.解：因?yàn)?a j=I CQSxydy所以arctan(4 +1).=C cos xydy(21)由于卜一

44、 %8對"內(nèi)及反常積分叱辦收斂，根據(jù)魏爾斯特拉斯M判別法，含參量 反常積分在LU上一致收斂.由于"P'cos孫在0,M)x 用上連續(xù)，根據(jù)定理 19.11交換枳分(21)的順序，枳分I的值不變.于是在上述證明中，令 6 = 0,則有F(P)= JN由阿貝耳判別法可得上述含參量反常積分在sin ax .a zax = aictan (p > 0), x - p_p NO上一致收斂.于是由定理19.9,尸(p)在(22)之0上連續(xù)，且又由(22)式在上式中，令4=1,則有/=2.2文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.WOld版本可編輯.歡迎下載支持108.解：由于卜-入3同(產(chǎn)對任一實(shí)數(shù)r成立及反常積分6一一收斂，所以原積分在一£(-8,”)上收斂.考察含參量反常積分(24)(0-'-cosrrj=£-xex'suirxdx,由于一xex'siiirx<xex對一切x>0-qo<r<+QO<立及反常枳分收斂，根據(jù)魏爾斯特拉斯M判別法，含參量積分(24)在(_co,+8)上一致收斂綜合上述結(jié)果由定理19.10即得于是有+111C4(pAr)=ce從而吠0)=c,又由原積分，do)=>，x=g,所以c=因此得到乙乙109.解：把含參