二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題

1、實用標(biāo)準(zhǔn)老師姓名學(xué)生姓名學(xué)管師 學(xué)科名稱年級上課時間 月 日 _ _ :00- _ :00課題名稱二次函數(shù)與平行四邊形的存在問題教學(xué)重點教學(xué)過程【知識梳理】1、平行四邊形的性質(zhì)是什么？2、在坐標(biāo)系中，平行四邊形又有哪些性質(zhì)？ 3、解決問題的策略：根據(jù)要求畫出滿足要求的圖形，然后根據(jù)幾何性質(zhì)計算未知量分類討論，根據(jù)對角線“共中點”的性質(zhì)直接計算。 1. （2011盤錦考點：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式解題時，借用了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征這一知識點）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過A（1，1）、B（4

2、，0）兩點（1）求這個二次函數(shù)解析式；（2）點M為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，若以點O、A、B、M為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標(biāo)2. （2010陜西難度不大考點：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。專題：分類討論。點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定，分類討論的思想，此題不是很難，但是做題時要考慮周全）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線A（1，0），B（3，0），C（0，1）三點（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點P的坐標(biāo)3. （2011阜新考點：二次函數(shù)綜合題。專題：綜合題。點評

3、：本題考查了解二次函數(shù)的綜合題的方法：先通過二次函數(shù)的解析式確定各特殊點的坐標(biāo)，得到有關(guān)線段的長，然后利用幾何性質(zhì)（如三角形面積公式，平行四邊形的性質(zhì)）去確定其他點的坐標(biāo)）如圖，拋物線y=x2+x與x軸相交于A、B兩點，頂點為P（1）求點A、B的坐標(biāo)；（2）在拋物線是否存在點E，使ABP的面積等于ABE的面積，若存在，求出符合條件的點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點F，使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出所有符合條件的點F的坐標(biāo)4. （2007玉溪難度不大點評：此題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，結(jié)合圖形有利于解答；（3）

4、是一道存在性問題，有一定的開放性，需要先假設(shè)點P存在，然后進(jìn)行驗證計算）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為C（1，0），直線y=xm與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中點A的坐標(biāo)為（3，4），點B在y軸上。（1） 求m的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式；（2） P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P點作x軸的垂線交二次函數(shù)圖象于點E，設(shè)線段PE的長為h，點P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3） D為直線AB與二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。5. （201

5、1淄博難度不大變式：將“過點M作x軸的垂線與拋物線交于點P”改成“過點M作x軸的垂線于點P”?？键c：二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)。專題：計算題。點評：本題主要考查對一次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識點的理解和掌握，能用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和得到MD=ND=|2m|是解此題的關(guān)鍵）拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點C（0，2），與直線y=x交于點A（2，2），B（2，2）（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，線段MN在線段AB上移動（點M與點A不重合，點N與點B不

6、重合），且MN=，若M點的橫坐標(biāo)為m，過點M作x軸的垂線與拋物線交于點P，過點N作x軸的垂線與拋物線交于點Q以點P，M，Q，N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由6. （2011內(nèi)江考點：二次函數(shù)綜合題。專題：綜合題。點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點，也是難點，同學(xué)們應(yīng)重點掌握）如圖拋物線y=x2mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（01）且對稱抽x=l（1）求出拋物線的解析式及A、B兩點的坐標(biāo)；（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積為3若存在

7、，求出點D的坐標(biāo)；若不存在說明理由（使用圖1）；（3）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)（使用圖2）7. （2011涼山州考點：二次函數(shù)綜合題。點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點，也是難點，同學(xué)們應(yīng)重點掌握）如圖，拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且x1x2，與y軸交于點C（0，4），其中x1，x2是方程x24x12=0的兩個根（1）求拋物線的解析式；（2）點M是線段AB上的一個動點，過點M作MNBC，交AC于點N，連接C

8、M，當(dāng)CMN的面積最大時，求點M的坐標(biāo)；（3）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出所有滿足條件的點F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由8. （2011衡陽考點：二次函數(shù)綜合題。專題：代數(shù)幾何綜合題。點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，求得判別式總大于等于3，而證得；求得點A，代入拋物線解析式得m，由直線AD的斜率與直線PC的斜率相等，而解得；平移后得到的情況，得到M，N的坐標(biāo)而解得）已知拋物線（1）試說明：無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點（2）如圖，當(dāng)拋物線的對稱軸為直線x=3時，拋

9、物線的頂點為點C，直線y=x1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形9. （2010龍巖考點：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。專題：計算題；證明題。點評：解此題的關(guān)鍵是檢查對求拋物線的解析式的掌握（即已知拋物線上點的坐標(biāo)求解析式），能利用點的坐標(biāo)特點解決幾何問題（判斷三角形的形狀）突破點是利用平行四邊形的性質(zhì)求出P、

10、F 的坐標(biāo)，并進(jìn)行分類討論進(jìn)一步求出答案）如圖，拋物線交x軸于點A（2，0），點B（4，0），交y軸于點C（0，4）（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標(biāo)；（2）若直線y=x交拋物線于M，N兩點，交拋物線的對稱軸于點E，連接BC，EB，EC試判斷EBC的形狀，并加以證明；（3）設(shè)P為直線MN上的動點，過P作PFED交直線MN下方的拋物線于點F問：在直線MN上是否存在點P，使得以P、E、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P及相應(yīng)的點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由10. （2010河南考點：二次函數(shù)綜合題。專題：壓軸題。點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、

11、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及平行四邊形的判定和性質(zhì)；此題的難點在于（3）題，需要熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并且要考慮到各種情況才能做到不漏解）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（0，4），C（2，0）三點（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m，AMB的面積為S、求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo)11. （2010包頭考點：二次函數(shù)綜合題。專題：壓軸題；開放型；分類討論。點評：本題主要考查了待定

12、系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及平行四邊形的判定方法，是一個存在性問題，在中考中經(jīng)常出現(xiàn)）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過點A（1，0），B（2，0），C（0，2），直線x=m（m2）與x軸交于點D（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線x=m（m2）上有一點E（點E在第四象限），使得E、D、B為頂點的三角形與以A、O、C為頂點的三角形相似，求E點坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請求出m的值及四邊形ABEF的面積；若不存在，請說明理由12. （2010茂名難度適中考點：二次函數(shù)綜合題。專題：代數(shù)幾

13、何綜合題。點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數(shù)的最值、平行四邊形的判定和性質(zhì)等，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度適中）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OCBA的頂點A，C分別在y軸，x軸上，點B坐標(biāo)為（6，6），拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A，B兩點，且3ab=1（1）求a，b，c的值；（2）如果動點E，F(xiàn)同時分別從點A，點B出發(fā)，分別沿AB，BC運動，速度都是每秒1個單位長度，當(dāng)點E到達(dá)終點B時，點E，F(xiàn)隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒，EBF的面積為S試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；當(dāng)S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R

14、，使得以E，B，R，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點R的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由13. （2005福州有一定難度變式：將“y=x22x3”改成“y=x22xm”。點評：本題是一道中考壓軸題，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征尤其是（2）題，有一定的開放性，最好是借助圖象進(jìn)行解答）已知：拋物線y=x22x3與y軸交于C點，C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C/點。(1)求點C/的坐標(biāo)；(2)如果點Q在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，以點C、C/、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點和Q點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，求出平行四邊形的周長。14. （2011湛江有一定難度考點：

15、二次函數(shù)綜合題。點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法）如圖，拋物線y=x2+bx+c的頂點為D（1，4），與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）（1）求拋物線的解析式；（2）連接AC，CD，AD，試證明ACD為直角三角形；（3）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F(xiàn)為頂點的的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由15. （2011威海綜合性強(qiáng)考點：二次函數(shù)綜合題。點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解

16、析式函數(shù)圖象交點的求法等知識點、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法）如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A（3，0），點B（1，0），交y軸于點E（0，3）點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行直線y=x+m過點C，交y軸于D點（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值；（3）在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標(biāo)16.

17、（2010遵義難度較大考點：二次函數(shù)綜合題。專題：壓軸題。點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)等重要知識點，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，能力要求較高，難度較大）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標(biāo)為Q（2，1），且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側(cè)），點P是該拋物線上的一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PDy軸，交AC于點D（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)ADP是直角三角形時，求點P的坐標(biāo)；（3）在題（2）的結(jié)論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P

18、、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由17. （2010武漢難度較大考點：二次函數(shù)綜合題。專題：壓軸題。點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大）如圖，拋物線y1=ax22ax+b經(jīng)過A（1，0），C（0，）兩點，與x軸交于另一點B（1）求此拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為M，點P為線段OB上一動點（不與點B重合），點Q在線段MB上移動，且MPQ=45°，設(shè)線段OP=x，MQ=y2，求y2與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線x=m，x=n分別與拋物線交于點E、G，與（2）中的函數(shù)圖象交于點F、H問四邊形EFHG能否成為平行四邊形？若能，求m、n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請說明理由18. （2009荊州綜合性強(qiáng)）如圖，已知兩個菱形ABCD和EFGH是以坐標(biāo)