一階倒立擺控制系統(tǒng)

1、一階直線(xiàn)倒立擺系統(tǒng) 姓名： 班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 目錄摘要3第一部分 單階倒立擺系統(tǒng)建模 4（一） 對(duì)象模型4（二）電動(dòng)機(jī)、驅(qū)動(dòng)器及機(jī)械傳動(dòng)裝置的模型 6第二部分 單階倒立擺系統(tǒng)分析7第三部分 單階倒立擺系統(tǒng)控制11（一）內(nèi)環(huán)控制器的設(shè)計(jì)11（二） 外環(huán)控制器的設(shè)計(jì) 14第四部分 單階倒立擺系統(tǒng)仿真結(jié)果16系統(tǒng)的simulink仿真16摘要： 該問(wèn)題源自對(duì)于娛樂(lè)型”獨(dú)輪自行車(chē)機(jī)器人”的控制，實(shí)驗(yàn)中對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)仿真，通過(guò)對(duì)該實(shí)物模型的理論分析與實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)研究，有助于實(shí)現(xiàn)對(duì)獨(dú)輪自行車(chē)機(jī)器人的有效控制。 控制理論中把此問(wèn)題歸結(jié)為“一階直線(xiàn)倒立擺控制問(wèn)題”。另外，諸如機(jī)器人行走過(guò)程中的平衡控制、火箭發(fā)

2、射中的垂直度控制、衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制、海上鉆井平臺(tái)的穩(wěn)定控制、飛機(jī)安全著陸控制等均涉及到倒立擺的控制問(wèn)題。 實(shí)驗(yàn)中通過(guò)檢測(cè)小車(chē)位置與擺桿的擺動(dòng)角，來(lái)適當(dāng)控制驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)拖動(dòng)力的大小，控制器由一臺(tái)工業(yè)控制計(jì)算機(jī)（IPC）完成。實(shí)驗(yàn)將借助于“Simulink封裝技術(shù)子系統(tǒng)”，在模型驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，采用雙閉環(huán)PID控制方案，實(shí)現(xiàn)倒立擺位置伺服控制的數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)過(guò)程涉及對(duì)系統(tǒng)的建模、對(duì)系統(tǒng)的分析以及對(duì)系統(tǒng)的控制等步驟，最終得出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果不僅證明了PID方案對(duì)系統(tǒng)平衡控制的有效性，同時(shí)也展示了它們的控制品質(zhì)和特性。第一部分 單階倒立擺系統(tǒng)建模（一） 對(duì)象模型由于此問(wèn)題為”單一剛性鉸鏈、兩

3、自由度動(dòng)力學(xué)問(wèn)題”，因此，依據(jù)經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律即可滿(mǎn)足要求。如圖1.1所示，設(shè)小車(chē)的質(zhì)量為，倒立擺均勻桿的質(zhì)量為，擺長(zhǎng)為，擺的偏角為，小車(chē)的位移為，作用在小車(chē)上的水平方向上的力為，為擺桿的質(zhì)心。圖1.1 一階倒立擺的物理模型根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度乘積等于作用于剛體主動(dòng)力對(duì)該軸力矩的代數(shù)和，則1） 擺桿繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 （1-1）2）擺桿重心的水平運(yùn)動(dòng)可描述為 （1-2）3） 擺桿重心在垂直方向上的運(yùn)動(dòng)可描述為 （1-3）4） 小車(chē)水平方向運(yùn)動(dòng)可描述為 （1-4）由式（1-2）和式（1-4）得 （1-5） 由式（1-1）、式（1-2）和式（1-3）得 （1-

4、6）整理式（1-5）和式（1-6），得 （1-7）因?yàn)閿[桿是勻質(zhì)細(xì)桿，所以可求其對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因此設(shè)細(xì)桿擺長(zhǎng)為，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，取桿上一個(gè)微段，其質(zhì)量為，則此桿對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有 桿的質(zhì)量為 所以此桿對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有 由式（2-20）可見(jiàn)，一階直線(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為非線(xiàn)性微分方程組。為了便于應(yīng)用經(jīng)典控制理論對(duì)該控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，必須將其簡(jiǎn)化為線(xiàn)性定常的系統(tǒng)模型。若只考慮在其工作點(diǎn)附近（）的細(xì)微變化，則可近似認(rèn)為 在這一簡(jiǎn)化思想下，系統(tǒng)精確模型式（1-7）可簡(jiǎn)化為 若給定一階直線(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)為：小車(chē)的質(zhì)量；倒擺振子的質(zhì)量；倒擺長(zhǎng)度；重力加速度取，則可得到進(jìn)一步的簡(jiǎn)化模型為

5、 (1-8)上式為系統(tǒng)的”微分方程模型”，對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯變換可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為 （1-9）（二）電動(dòng)機(jī)、驅(qū)動(dòng)器及機(jī)械傳動(dòng)裝置的模型假設(shè)：選用日本松下電工MSMA021型小慣量交流伺服電動(dòng)機(jī)，其有關(guān)參數(shù)如下：驅(qū)動(dòng)電壓：U=0100V 額定功率：=200W額定轉(zhuǎn)速：n=3000r/min 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：額定轉(zhuǎn)矩： 最大轉(zhuǎn)矩：電磁時(shí)間常數(shù)：=0.001s 電機(jī)時(shí)間常數(shù)：=0.003s經(jīng)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)變速后輸出的拖動(dòng)力為：F=016N；與其配套的驅(qū)動(dòng)器為：MSDA021A1A，控制電壓： =（0±10）V。 若忽略電動(dòng)機(jī)的空載轉(zhuǎn)矩和系統(tǒng)摩擦，就可以認(rèn)為驅(qū)動(dòng)器和機(jī)械傳動(dòng)裝置均為純比例環(huán)節(jié)，并假設(shè)

6、這兩個(gè)環(huán)節(jié)的增益分別為和。對(duì)于交流伺服電動(dòng)機(jī)，其傳遞函數(shù)可近似為 由于是小慣性的電動(dòng)機(jī)，其時(shí)間常數(shù)、相對(duì)都很小，這樣可以進(jìn)一步將電動(dòng)機(jī)模型近似等效為一個(gè)比例環(huán)節(jié)。綜上所述，電動(dòng)機(jī)。驅(qū)動(dòng)器。機(jī)械傳動(dòng)裝置三個(gè)環(huán)節(jié)就可以合成為一個(gè)比例環(huán)節(jié) 第二部分 單階倒立擺系統(tǒng)分析盡管上述數(shù)學(xué)模型系經(jīng) 機(jī)理建模得出，但其準(zhǔn)確性（或正確性）還需運(yùn)用一定的理論方法加以驗(yàn)證，以保證以其為基礎(chǔ)的仿真實(shí)驗(yàn)的有效性。采用仿真實(shí)驗(yàn)的方法在MATLAB的Simulink圖形仿真環(huán)境下進(jìn)行模型驗(yàn)證試驗(yàn)，其原理如圖1.2所示。其中，上半部分為精確模型仿真圖，下半部分為簡(jiǎn)化模型仿真圖。圖1.2 模型驗(yàn)證原理圖利用Simulink壓縮子

7、系統(tǒng)功能可將驗(yàn)證原理圖更加簡(jiǎn)捷的表示為圖1.3所示的形式。其中，由得到的精確模型和簡(jiǎn)化模型的狀態(tài)方程，可得到Fcn、Fcn1、Fcn2和Fcn3的函數(shù)形式為(0.12*u1+0.036*sin(u3)*power(u2,2)-0.9*sin(u3)*cos(u3)/(0.24-0.09*power(cos(u3),2)(0.3*cos(u3)*u1+0.09*sin(u3)*cos(u3)*power(u2,2)-6*sin(u3)/(0.09*power(cos(u3),2)-0.24) 0.8*u1-0.6*u3 40*u3-2.0*u1圖1.3 利用子系統(tǒng)封裝后的框圖假定使倒立擺在（）初

8、始狀態(tài)下突加微小沖擊力作用，則依據(jù)經(jīng)驗(yàn)知，小車(chē)將向前移動(dòng)，擺桿降倒下。下面利用仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證正確數(shù)學(xué)模型的這一必要性質(zhì)。編制繪圖子程序：% Inverted pendulum% Model test in open loop% Singnals recuperation% 將導(dǎo)入到xy.mat中的仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)讀出load xy.matt=signals(1,:); % 讀取時(shí)間信號(hào)f=signals(2,:); % 讀取作用力F信號(hào)x=signals(3,:); % 讀取精確模型中的小車(chē)位置信號(hào)q=signals(4,:); % 讀取精確模型中的倒立擺擺角信號(hào)xx=signals(5,:);

9、% 讀取簡(jiǎn)化模型中的小車(chē)位置信號(hào)qq=signals(6,:); % 讀取簡(jiǎn)化模型中的倒立擺擺角信號(hào)% Drawing control and x (t) response signals% 畫(huà)出在控制力的作用下的系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)% 定義曲線(xiàn)的橫縱坐標(biāo)、標(biāo)題、坐標(biāo)范圍和曲線(xiàn)的顏色等特征figure (1) % 定義第一個(gè)圖形hf=line (t,f(:); % 連接時(shí)間-作用力曲線(xiàn)grid on;xlabel (Time (s) % 定義橫坐標(biāo)ylabel (Force （N）) % 定義縱坐標(biāo)axis (0 1 0 0.12) % 定義坐標(biāo)范圍axet=axes (position，get (g

10、ca,position),XAxisLocation,bottom,YAxisLocation,right,Color,None,XColor,k,YColor,k）; % 定義曲線(xiàn)屬性ht=line (t, x,color,r,parent, axet) ; % 連接時(shí)間-小車(chē)位置曲線(xiàn)ht=line (t, xx,color,r,parent, axet); % 連接時(shí)間-小車(chē)速度曲線(xiàn)ylabel (Evolution of the x position (m) % 定義坐標(biāo)名稱(chēng)axis (0 1 0 0.1) % 定義坐標(biāo)范圍title (Response x and x in the m

11、eter to a f (t) pulse of 0.1 N) % 定義曲線(xiàn)標(biāo)題名稱(chēng)gtext (leftarrow f (t), gtext (x (t) rightarrow), gtext(leftarrow x (t)% drawing control and theta (t) response singalsfigure (2)hf=line (t, f (:);grid onxlabel (Time)ylabel (Force in N)axis (0 1 0 0.12)axet=axes (Position, get (gca,Position),XAxisLocation,b

12、ottom,YAxisLocation,right,Color,None,XColor,k,YColor,k);ht=line (t, q,color,r,parent,axet);ht=line (t, qq,color,r,parent,axet);ylabel (Angle evolution (red)axis (0 1 -0.3 0)title（response theta(t) and theta(t) in rad to a f(t) pulse of 0.1 N）gtext (leftarrow f(t),gtext (theta（t）rightarrow),gtext (le

13、ftarrow theta(t)執(zhí)行該程序的結(jié)果如圖1.4所示。從中可見(jiàn)，在0.1N的沖擊力作用下，擺桿倒下（由零逐步增大），小車(chē)位置逐漸增加，這一結(jié)果符合前述實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，故可以在一定程度上確認(rèn)該“一階倒立擺系統(tǒng)”的數(shù)學(xué)模型是有效的。同時(shí)，由圖中也可看出近似模型在0.8s以前與精確模型非常接近，因此，也可以認(rèn)為近似模型在一定條件下可以表述原系統(tǒng)模型的性質(zhì)。圖1.4 模型驗(yàn)證仿真結(jié)果第三部分 單階倒立擺系統(tǒng)控制由于一階倒立擺系統(tǒng)位置伺服控制的核心是“在保證擺桿不倒的條件下，使小車(chē)位置可控”。因此，依據(jù)負(fù)反饋閉環(huán)控制原理，將系統(tǒng)小車(chē)位置作為“外環(huán)”，而將擺桿擺角作為“內(nèi)環(huán)”，則擺角作為外環(huán)內(nèi)的一個(gè)擾

14、動(dòng)，能夠得到閉環(huán)系統(tǒng)的有效抑制（實(shí)現(xiàn)其直立不倒的自動(dòng)控制）。 剩下的問(wèn)題就是如何確定控制器（校正裝置）的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。（一）內(nèi)環(huán)控制器的設(shè)計(jì) 圖1.5 反饋校正控制的系統(tǒng)內(nèi)環(huán)框圖其中，Ks=1.6為伺服電動(dòng)機(jī)與減速機(jī)構(gòu)的等效模型1.控制器的選擇內(nèi)環(huán)系統(tǒng)未校正時(shí)的傳遞函數(shù)為對(duì)于內(nèi)環(huán)反饋控制器可有PD，PI，PID三種可能的結(jié)構(gòu)形式，這里，不妨采用繪制各種控制器結(jié)構(gòu)下“系統(tǒng)根軌跡”的辦法加以分析比較，從之選出一種比較適合的控制器結(jié)構(gòu)。各種控制器的開(kāi)環(huán)傳函的傳遞函數(shù)分別為：在Matlab下輸入以下程序用“湊試”的方法畫(huà)根軌跡圖：num=分子;den=分母;xlabel('Real Axis&#

15、39;);ylabel('Imag Axis');axis(橫、縱坐標(biāo)范圍);title('Root Locus');grid;rlocus(num,den)下圖為各種控制器下的系統(tǒng)根軌跡： （a） PD （b） PD （c）PI d） PID 從根軌跡不難發(fā)現(xiàn)，采用PD結(jié)構(gòu)的反饋控制器，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且可保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定。所以，選定反饋控制器的結(jié)構(gòu)為PD形式的控制器。2.控制器參數(shù)的選定首先暫定。這樣可以求出內(nèi)環(huán)的傳遞函數(shù)為： 3.系統(tǒng)內(nèi)環(huán)的simulink仿真及結(jié)果仿真結(jié)果為：（二） 外環(huán)控制器的設(shè)計(jì)可見(jiàn)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可視為一個(gè)高階（4階）且?guī)в胁环€(wěn)定零點(diǎn)的“非最小相位系統(tǒng)”，為了便于設(shè)計(jì)，需要首先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行一些簡(jiǎn)化處理。.系統(tǒng)外環(huán)模型的降階（1）對(duì)內(nèi)環(huán)等效閉環(huán)傳遞函數(shù)的近似處理 將高次項(xiàng)忽略，有近似條件可由頻率特性導(dǎo)出，即由（2）得： （2）對(duì)象模型G1(s)的近似處理 由（3）得：由（4）得： ，所以，有取 再由“典型型”系統(tǒng)Bode圖特性（ ）知： .用simulink對(duì)小車(chē)的位置在階躍信號(hào)輸入下的響應(yīng)進(jìn)行仿真：系統(tǒng)框圖為：仿真結(jié)果：倒立擺位置在階躍信號(hào)下的響應(yīng)第四部分 單階倒立擺系統(tǒng)仿真結(jié)果系統(tǒng)的sim