普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(重慶卷)(含答案全解析)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題卷理工農(nóng)醫(yī)類>共4頁.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1 .答題前，務(wù)必將自己的、號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2 .答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3 .答非選才!題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4 .所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.5 .考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.特別提醒：14、15、16三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.一、選擇題：本大題共10小題每小題

2、5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.<2015,理1>已知集合A=1,2,3,B=2,3,則<>A.A=BB.AAB=?C.A?BD.B?A答案:D解析:因?yàn)锳=1,2,3,B=2,3,所以B?A.2.<2015,理2>在等差數(shù)列an中，若a2=4,a4=2，則a6=<>A.-1B.0C.1D.6答案:B解析:因?yàn)閍n是等差數(shù)列所以2a4=a2+a6,于是a6=2a4-a2=2x2-4=0.3.<2015,理3>市20XX各月的平均氣溫<C>數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是<

3、;>A.19B.20C.21.5D.23答案:B解析:由莖葉圖可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為0=20.山4.<2015,理4>"x>1"是"loYx+2><0"的。A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案:B解析:由lo<x+2><0可彳#x+2>1,即x>-1,而x|x>1?x|x>-1,所以"x>1"是"lo<x+2><0"的充分不必要條件.5.<2015,理5>某

4、幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為<>A3+TtB.'+TttiC.3+2TID/+2TI答案:A解析:由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，其左邊是一個(gè)三棱錐，底面是等腰直角三角形<斜邊長等于2>,高為1,所以體積Vi=&x2x2X1X14淇右邊是一個(gè)半圓柱，底面半徑為1,高為2,所以體積V2=Tt1-22,;&所以該幾何體的體積V=V1+V2=+兀6.<2015,理6>若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且<a-b>，<3a+2b>,貝Ua與b的夾角為<>A.B.C.D.ti答案:A。所以

5、 3|a|2-解析:由<a-b>±<3a+2b>知<a-b><3a+2b>=0,即3|a|2-ab-21b|2=0.設(shè)a與b的夾角為|a|b| cos 8-2|b|2=0,即 3|b12cos 0-2|b| 2= 0,整理得 cos 0=2，故e=.7 / 87.<2015，理7>執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為8,則判斷框可填入的條件是<>A.s/B.s/，llil25C.saD.sW4答案:C解析:由程序框圖可知，程序執(zhí)行過程如下：113l112Ss=0,k=0,滿足條件;k=2,s=,滿足條件；k=4

6、,s=1，滿足條件；k=6,s=】？，滿足條件;k=8,s=，這時(shí)應(yīng)不滿足條111件，才能輸出k=8,故判斷框的條件是s<.8 .<2015,理8>已知直線l:x+ay-1=0<a6R>是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸.過點(diǎn)A<-4,a>作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B,則|AB|=<>A.2B.4M訝C.6D.2口口答案:C解析:依題意，直線l經(jīng)過圓C的圓心<2,1>,因此2+a-1=0，所以a=-1,因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為<-4,-1>.又圓C的半徑r=2,由MBC為直角三角形可得|AB|=JP<U&qu

7、ot;.又|AC|=2%m,所以|AB|=/6'一/=6.9 .<2015,理9>若tana=2tan',則'"卜=<>A.1B.2C.3D.4答案:C解析:因?yàn)閠an a =2tanrB,C兩點(diǎn)，過B,C分別作AC,AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D.若D至U直線BC的距離小于a+fl" +川，則該雙曲線 的漸近線斜率的取值圍是<>A.<-1,0>U<0,1>B.<-8,-1>U<1,+8>C.<- . ,0>答案:AU<0,%2>D.<-oo

8、,->U<J2,+oo>由于kAC =于是直線BD的方程為y-<x-c >,解析:設(shè)雙曲線半焦距為c,則F<c,0>,A<a,0>,不妨設(shè)點(diǎn)B在點(diǎn)F的上方點(diǎn)C在點(diǎn)F的下方，則由雙曲線的對稱性知AC的垂線BD與AB的垂線CD關(guān)于x軸對稱，所以兩垂線的交點(diǎn)D在x軸上，于是仁4-上-1XD =Iujx做值Y“+c=£口門+c,從而D到直線BC的距離為c-x d=由已知得-：%口<a+即-/3-ya+c,所以b4<a2<c-a><c+a>，即b4<a2b2,a<1,從而0V<1.b而雙

9、曲線漸近線斜率k=上；，所以k6<-1,0>U<0,1>.二、填空題：本大題共6小題,考生彳答5小題,每小題5分，共25分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上11.<2015,理11>設(shè)復(fù)數(shù)a+bi<a,b6R>的模為#,則<a+bi><a-bi>=.答案：3解析:因?yàn)閺?fù)數(shù)a+bi的模為,所以JM+/=A即a2+b2=3.于是<a+bi><a-bi>=a2-<bi>2=a2+b2=3.12.<2015,理12>的展開式中x8的系數(shù)是<用數(shù)字作答>.答案：解析:展開式的通

10、項(xiàng)公式Tr+1=Cg<x3>5-r（赤）=弓2-< r= 0,1,2,5> .口 2-2=令15-4=8,得r=2,于是展開式中x8項(xiàng)的系數(shù)是，貝 I AC=.13.<2015,理13>在MBC中,B=120:AB=/,A的角平分線AD=、Q答案：解析:如圖所示，在AABD中,由正弦定理得則/BAD=ZDAC=15:所以/ACB=30，/BAC=30°,所以ABAC是等腰三角形,BC=AB=".由余弦定理得AC=.二小回+（渥）2-=.'.考生注意：14、15、16三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.14

11、.<2015,理14>如圖，圓O的弦AB,CD相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長線交于點(diǎn)巳若PA=6,AE=9,PC=3,CE：ED=2：1，貝UBE=.答案：2解析:因?yàn)镻A是圓的切線，所以有PA2=PCPD,于是pd=恒|=12,因止匕CD=PD-PC=9.又因?yàn)镃E:ED=2：1,所以CE=6,ED=3.又由相交弦定理可得AEBE=CEED,所以BE工=2.r-1+tr.y=lt<t為參數(shù)>,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為P2cos2e=4（P二°<彳），則直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.答案:<

12、;2,n>卜=-1+t解析:由i¥=1+'可得直線|的普通方程為y=x+2.又p2cos20=4可化為p2<cos20-sin20>=4,即<pcos0>2-<psin0>2=4,所以x2-y2=4,即曲線C的直角坐標(biāo)方程是x2-y2=4.=#+可卜吧吧由可解得1*=0即直線l與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)為<-2,0>.又因?yàn)?gt;07<8<1,所以P=2,0=%即交點(diǎn)的極坐標(biāo)是<2,>>.16.<2015,理16>若函數(shù)f<x>=|x+11+2|x-a|的最小值為5,則實(shí)數(shù)a

13、=.答案：-6或4解析:當(dāng)a<-1時(shí)，1-3x+2a-1（<ar-1,f<x>=|x+11+2|x-a|=汝-2。+，所以f<x>在<-8,a>上單調(diào)遞減，在<a,+°°>上單調(diào)遞增，則f<x>在x=a處取得最小值f<a>=-a-1,由-a-1=5得a=-6,符合a<-1；當(dāng)a>-1時(shí)，-3jc+ict-IpX<-lif<x>=|x+1|+2|x-a|=、所以f<x>在<-°°,a>上單調(diào)遞減，在<a,+

14、6;°>上單調(diào)遞增，貝Uf<x>在x=a處取最小值f<a>=a+1,由a+1=5,得a=4,符合a>-1.綜上，實(shí)數(shù)a的值為-6或4.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.<本小題滿分13分,<1>小問5分,<2>小問8分><2015,理17>端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子淇中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè).< 1>求三種粽子各取到1個(gè)的率；< 2>設(shè)X表示取到的豆沙

15、粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解:<1>令a表示事件”三種粽子各取到1個(gè)"，則由古典概型的概率計(jì)算公式有1- I 息'3p<a>= 4 =±<2> X的所有可能值為P<X= 1>P<X=2> =0,1,2,且綜上知,X的分布列為工工三三故E<X>=0X15+1X15+2X空=3<個(gè)>.18.<本小題滿分13分,<1>小問7分,<2>小問6分><2015,理18>已知函數(shù)f<x>=sinQ"sinx-、？cos2x

16、.< 1>求f<x>的最小正周期和最大值；pr叫< 2>討論f<x>在卜彳I上的單調(diào)性.解:<1>f<x>=sinlf二）sinx-甲cos2x曾=cosxsinx-<1+cos2x>因此f<x>的最小正周期為出最大值為2<2>當(dāng)x6Lal時(shí),0<2x-Zk從而pF'ffil5n當(dāng)0<2x-%，即QxWl時(shí),f<x>單調(diào)遞增,當(dāng)2<2x-3<4即"wxW時(shí),f<x>單調(diào)遞減pi5flpH2fll綜上可知，f<x>

17、;在值值J上單調(diào)遞增；在1百于1上單調(diào)遞減.19.<本小題滿分13分,<1>小問4分,<2>小問9分><2015,理19>如圖,三棱錐P-ABC中,PC,平面ABC,PC=3,/ACB=z.D,E分別為線段AB,BC上的點(diǎn)，且CD=DE=,CE=2EB=2.< 1>證明：DEL平面PCD;< 2>求二面角A-PD-C的余弦值.< 1>證明：由PC,平面ABC,DE?平面ABC，故PC±DE.由CE=2,CD=DE=6得3DE為等腰直角三角形，故CDLDE.由PCACD=C,DE垂直于平面PCD兩條相交

18、直線，故DEL平面PCD.< 2>解:由<1>知,3DE為等腰直角三角形，ZDCE=7.如圖，過D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.兀OfF82331由/ACB=?得DF/AC,=3>AC=2DF=4以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以森而版的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則C<0,0,0>,P<0,0,3>,A,E<0,2,0>,D<1,1,0>,'=<1,-1,0>,M=<-1,-1,3>,=1設(shè)平面PAD的法向量為n1=<x1,

19、yi,zi>,一號一打+%二由n1FJ=0,n1廿八=0,得.尹1“故可取n1=<2,1,1>.由<1>可知DE，平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取為日巴即n2=<1,-1,0>.從而法向量m,n2的夾角的余弦值為cos<n1,n2>=lnil,lrtl=<*,罔故所求二面角A-PD-C的余弦值為心.20.<本小題滿分12分,<1>小問7分,<2>小問5分><2015，理20>設(shè)函數(shù)f<x>=r<aR>.<1>若f<x>在x=0處取得

20、極值，確定a的值,并求此時(shí)曲線y=f<x>在點(diǎn)<1,f<1>>處的切線方程；<2>若f<x>在3,+8>上為減函數(shù)，求a的取值圍.(6t+fl:/十+a解:<1>對f<x>求導(dǎo)得f'<x>=心=.因?yàn)閒<x>在x=0處取得極值，所以f'<0>=0,即a=0.3i2-It1+6ji當(dāng)a=0時(shí),f<x>=,f'<x>=/,0故f<1>=r,f'<1>=H,3|3從而f<x>在點(diǎn)<

21、;1,f<1>>處的切線方程為y-=£<x-1>,化簡得3x-ey=0.-3ji-K(6-n)jt+<<2>由<1>知f'<x>=/令g<x>=-3x2+<6-a>x+a,由g<x>=0解得x1=&,x2=.當(dāng)x<x1時(shí),g<x><0,即f'<x><0,故f<x>為減函數(shù)；當(dāng)x1<x<x2時(shí),g<x>>0,即f'<x>>0,故f<x>

22、為增函數(shù)；當(dāng)x>x2時(shí),g<x><0,即f'<x><0,故f<x>為減函數(shù).由f<x>在3,+8>上為減函數(shù)知x2=一看一<3,解得a»,故a的取值圍為卜胃十8)21.<本小題滿分12分,<1>小問5分,<2>小問7分<2015,理21>國如圖,橢圓小+,13=1<a>b>0>的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且PQXPF1.<1>若|PF1|=2+W,|PF2|=2-W,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；&l

23、t;2>若|PFi|=|PQ|,求橢圓的離心率e.解:<1>由橢圓的定義,2a=|PFi|+|PF2|=<2+v®>+<2-;2>=4,故a=2.設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF11PF2,因此2c=|FiF2|=|F&=m+/產(chǎn)+(2-畫"盧即c='±從而b=，*iE'=1.r!故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為耳+y2=1.<2>解法一:如圖，設(shè)點(diǎn)P<xo,yo>在橢圓上，且PFdPF2,則R+p-/:=1,+h=c2,求得X0=±,V。,y0=±£.由|

24、PF1|=|PQ>|PF2|得X0>0,y型+小弓從而|PF1|2=l+F=2<a2-b2>+2ai"二力=<a+V-">2.由橢圓的定義，|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1，PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|二M|PF1|,因此<2+>|PF1|=4a,即<2+卜）1><a+一4j>=4a,于是<2+><1+、"",一|>=4,解得e=丁”不=-.解法二:如解法一中的圖，由橢圓的定義，|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1，P