圓的知識(shí)點(diǎn)(最新)

1、第三章 圓一與圓相關(guān)的概念1.圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑.【圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小，圓心和半徑確定了，圓就確定了】2.圓弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧，等于半圓的弧叫半圓. 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧。等弧的長度相等，所含度數(shù)相等（即彎曲程度相等）.等弧也可以通過它所對的圓心角、圓周角、弦來進(jìn)行判斷，具體地說：a.在同圓或等圓中，所對的圓心角相等的兩段弧是等弧。b.在同圓或等圓中，所對的圓周角相等的兩段弧是等弧。c.在同圓或等圓中，所對的弦相等的兩段弧是等

2、弧?！緶剀疤崾荆喊雸A是弧，半圓形不是??；弧的度數(shù)等于弧所對的圓心角的度數(shù).】3. 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。圓中最長的弦是直徑.【溫馨提示：一條弦對著兩條弧，對著兩個(gè)圓心角（選擇題），一般讓求“弦所對的圓心角的度數(shù)”，指的是“弦所對的小于180的那個(gè)圓心角”（填空題）；一條弧對著一條弦，對著一個(gè)圓心角】4.圓心角：頂點(diǎn)在圓心上，角的兩邊與圓周相交的角叫圓心角.【圓心角AOB的取值范圍是0AOB360】5.圓周角：頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.6.外心：過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.三

3、角形外接圓的圓心（外心）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.【溫馨提示：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)叫三角形外接圓的圓心;三角形有且只有一個(gè)外接圓，但圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形】以下圖為例O為外接圓的圓心，即外心.溫馨提示：銳角三角形外接圓的圓心（外心）在它的內(nèi)部； 直角三角形外接圓的圓心（外心）在它斜邊的中點(diǎn)上(R=)；鈍角三角形外接圓的圓心（外心）在它的外部.7. 內(nèi)心：和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為三角形的內(nèi)心；這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.三角形內(nèi)切圓的圓心（內(nèi)心）到三角形三邊的距離相等. 【溫馨提示：三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)切圓的圓心;三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但圓有無

4、數(shù)個(gè)外切三角形】附注：等邊三角形的內(nèi)切圓和外接圓設(shè)等邊ABC的邊長為a，內(nèi)切圓的半徑為r，則有，外接圓半徑R=a直角三角形內(nèi)切圓設(shè)RtABC兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，內(nèi)切圓半徑為r，則有或，其中四邊形IDCB為正方形，邊長ID=r.三角形的外接圓和內(nèi)切圓比較名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心三角形三邊中垂線的交點(diǎn).1. OA=OB=OC(即圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等).2. 外心不一定在三角形的內(nèi)部.內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn).1. 圓心到三邊的距離相等.2. OA、OB、OC分別平分BAC、ABC、ACB.3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部.等邊三角形的外接圓半

5、徑與它的內(nèi)切圓半徑之比為2:1（如圖1）直角三角形的外接圓半徑與它的內(nèi)切圓半徑之比為=（如圖2）等腰三角形的內(nèi)心和外心雖然不同，但都在底邊的垂直平分線上.三角形外接圓半徑的求法【即三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商】三角形內(nèi)切圓半徑r的求法二圓的確定：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。過不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓的做法：三與圓相關(guān)的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi)；（2）點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓上；（3）點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外；2.直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓相離 無交點(diǎn)；（2）直線與圓相切 有一個(gè)交點(diǎn)；（3）直線與圓相交 有兩個(gè)交點(diǎn)；3 與圓相關(guān)的性質(zhì)和定理

6、1.圓的對稱性：圓是軸對稱圖形,對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線（或直徑所在的直線）,它有無數(shù)條對稱軸.圓也是中心對稱圖形,它的對稱中心就是圓心.圓的旋轉(zhuǎn)不變性：一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度,都能與原來的圖形重合.2.垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。3.圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 4.圓周角定理（1）圓周角定理

7、：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。（2）圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等?。煌普?：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑.推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（3）圓心角、弧、弦、弦心距關(guān)系定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等（補(bǔ)充）平行弦定理：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.5.圓內(nèi)接四邊形（1）性質(zhì)定理：性質(zhì)定理1：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)即：在中， 四邊形是內(nèi)接四邊形

8、性質(zhì)定理2：圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角（2）判定定理：（很重要）如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ),那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對角，那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓. 附注：圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形； 圓的外切平行四邊形是菱形. 6.切線的判定定理與性質(zhì)（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過半徑外端 是的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。 推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直

9、切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。7. 切線長及切線長定理（1）切線長的定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段長叫做這點(diǎn)到圓的切線長.(2)切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 平分（3） 圓外切四邊形兩組對邊的和相等.10. 圓的內(nèi)正多邊形（1） 正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.（2）正多邊形與圓的有關(guān)定理把圓分成n(n3)等份：依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形；任何正多邊形

10、都有一個(gè)外接圓與一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.注意：依據(jù)正多邊形與圓的有關(guān)定理、，只要能將一個(gè)圓分成n(n3)等份，就可以得到這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形及外切正n邊形.(3)正多邊形的其它性質(zhì)正多邊形都是軸對稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心，邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.邊數(shù)相同的正多邊形相似，正多邊形的內(nèi)切圓和外接圓是同心圓.(4) 正多邊形的有關(guān)計(jì)算 正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距，正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角. 正n邊

11、形的有關(guān)計(jì)算公式每個(gè)內(nèi)角；每個(gè)外角正n邊形邊長，內(nèi)切圓半徑，正n邊形周長正n邊形面積注意：同一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形和外切正n邊形是相似形，相似比是圓的內(nèi)接正n邊形邊心距與它的半徑之比. 這樣，同一個(gè)正n邊形的內(nèi)切圓和外接圓的相似比常用輔助線：連半徑，作邊心距，由正多邊形的半徑、邊心距和邊長構(gòu)成的直角三角形集中反映了正多邊形各元素間的關(guān)系，是解計(jì)算問題的基本圖形，并且正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形.附注：（1）正三角形 在中是正三角形（如圖1），有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行（如圖2），（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行（如圖3

12、），11.扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式（1）扇形：弧長公式：； 扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積（2）圓柱： 圓柱側(cè)面展開圖：=圓柱的體積：（2） 圓錐側(cè)面展開圖:= 圓錐的體積：一選擇題1.與圓心的距離不大于半徑的點(diǎn)所組成的圖形是( )A.圓的外部(包括邊界)； B.圓的內(nèi)部(不包括邊界)； C.圓； D.圓的內(nèi)部(包括邊界)2.已知O的半徑為6cm,P為線段OA的中點(diǎn),若點(diǎn)P在O上,則OA的長( )A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm3.O的半徑為5,圓心O的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,2),則點(diǎn)P與O 的位

13、置關(guān)系是( )A.點(diǎn)P在O內(nèi)； B.點(diǎn)P的O上； C.點(diǎn)P在O外； D.點(diǎn)P在O上或O外4.下列命題：直徑所對的角是900 ；直角所對的弦是直徑；相等的圓周角所對的弧相等；對同一弦的兩個(gè)圓周角相等.正確的有（ ）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)5.下列語句中，正確的是（ ） 直徑是弦；弧是半圓； 長度相等的弧是等弧；經(jīng)過圓內(nèi)任一定點(diǎn)可以作無數(shù)條直徑；兩個(gè)半圓是等??；優(yōu)弧比劣弧長；面積相等的圓是等圓；菱形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；能夠互相重合的弧是等弧；直徑是圓中最大的弦，也就是過圓心的直線，其中正確的是（ ） A. B. C. D.6.下列語句中，不正確的是（ ）A圓既是中心對稱圖形，又是

14、旋轉(zhuǎn)對稱圖形 B圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C當(dāng)圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)8957時(shí)，不會(huì)與原來的圓重合D圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個(gè)7.如果兩條弦相等，那么（ ）A這兩條弦所對的弧相等 B這兩條弦所對的圓心角相等C這兩條弦的弦心距相等 D以上答案都不對8.下列語句中，正確的是（ ）A. 如果兩個(gè)圓心角相等，那么它們所對的弧相等 B.如果兩條弦相等，那么它們所對的弧相等C.如果兩條弧相等，那么它們所對的圓周角相等D.如果兩條弦的弦心距相等，那么這兩條弦相等9.下列命題中錯(cuò)誤的命題有（ ）（1）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）垂直于弦的直徑平分弦；（4）圓的對稱軸是

15、直徑 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)10.下列說法正確的是（ ）A頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角 B兩邊都和圓相交的角是圓周角C圓心角是圓周角的2倍 D圓周角度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半11下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A等弧所對圓周角相等 B同弧所對圓周角相等C同圓中，相等的圓周角所對弧也相等 D同圓中，等弦所對的圓周角相等12.下列命題不正確的是( )A.三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B.三角形的外接圓有且只有一個(gè)C.經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)圓 D.經(jīng)過兩點(diǎn)有無數(shù)個(gè)圓13.三角形的外心是( )A.三條中線的交點(diǎn) B.三條邊的中垂線的交點(diǎn) C.三條高的交點(diǎn) D.三條角平分線的交點(diǎn)14.若ABC的外接圓的圓心在ABC的外部，則A

16、BC是（ ）A.銳角三角形 B. 直角角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等腰直角三角形15.一個(gè)三角形的外心在它的內(nèi)部,則這個(gè)三角形一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形; C.銳角三角形 D.等邊三角形16.一個(gè)三角形的外心在它一邊的中點(diǎn)上,則這個(gè)三角形一定是( )A.銳角三角形 B. 直角角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等腰直角三角形17.在三角形內(nèi)部，有一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)P一定是（ ）A.三角形三條角平分線的交點(diǎn) B. 三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)C. 三角形中位線與高線的交點(diǎn) D. 三角形中位線與中線的交點(diǎn)18.如圖1，在半徑為2cm的圓O內(nèi)有長為2cm的弦AB

17、，則此弦所對的圓心角AOB為（） A60 B90 C120 D15019.如圖2,A是半徑為5的O內(nèi)一點(diǎn),且OA=3,過點(diǎn)A且長小于8的弦有( ) A.0條 B.1條 C.2條 D.4條20.如圖3,D是弧AC的中點(diǎn),則圖中與ABD相等的角的個(gè)數(shù)是( ) A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)21.如圖4，AOB=100,則A+B等于( ) A.100 B.80 C.50 D.4022. 如圖5,A、B、C三點(diǎn)都在O上,點(diǎn)D是AB延長線上一點(diǎn),AOC=140, CBD 的度數(shù)是( ) A.40 B.50 C.70 D.11023. 如圖6,MN所在的直線垂直平分線段AB,利用這樣的工具,最少使

18、用（ ）次就可以找到圓形工件的圓心. A.1 B.2 C.3 D.424.平面上不共線的四點(diǎn),可以確定圓的個(gè)數(shù)為( )A.1個(gè)或3個(gè) B.3個(gè)或4個(gè) C.1個(gè)或3個(gè)或4個(gè) D.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)或4個(gè)25.給出下列命題:任意三角形一定有一個(gè)外接圓,并且只有一個(gè)外接圓; 任意一個(gè)圓一定有一個(gè)內(nèi)接三角形,并且只有一個(gè)內(nèi)接三角形;任意一個(gè)三角形一定有一個(gè)內(nèi)切圓,并且只有一個(gè)內(nèi)切圓;任意一個(gè)圓一定有一個(gè)外切三角形, 并且只有一個(gè)外切三角形,其中真命題共有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)26.設(shè)O的直徑為m,直線L與O相離,點(diǎn)O到直線L的距離為d,則d與m的關(guān)系是( )A.d=m B.dm

19、C.d D.d27.在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)(-1,2)為圓心,1為半徑的圓必與( )A.x軸相交 B.y軸相交 C.x軸相切 D.y軸相切28.如圖7,AB、AC為O的切線,B、C是切點(diǎn),延長OB到D,使BD=OB,連接AD,如果DAC=78,那么ADO等于( ) A.70 B.64 C.62 D.5129.邊長分別為3、4、5的三角形的內(nèi)切圓與外接圓半徑之比為（ ） A.1:5 B.2:5 C.3:5 D.4:530.如圖8，O內(nèi)切于ABC，切點(diǎn)為D、E、F，若B500，C600，連結(jié)OE、OF、DE、DF，則EDF等于（ ） A.450 B.550 C.650 D.70031.如圖9，已

20、知O過邊長為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B，且與CD邊相切，則圓的半徑( )A B C D132.一個(gè)扇形的弧長是20cm,面積是240cm2,那么扇形的圓心角是( ) A.120 B.150 C.210 D.24033.如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中,已知D經(jīng)過原點(diǎn)O,與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),OC與D相交于點(diǎn)C,OCA=30,則圖中陰影部分的面積為( )A. B. C.; D. 34.如圖11,RtABC中,ABC=90,AB=BC=2,以BC為直徑的圓交AC于點(diǎn)D, 則圖中陰影部分的面積為( ) A.2 B. C.1 D.二填空題 35.已知O的周長為8cm,若

21、PO=2cm,則點(diǎn)P在_;若PO=4cm,則點(diǎn)P在_;若PO=6cm,則點(diǎn)P在_.36.平面上有兩點(diǎn)A、B,若線段AB的長為3cm,則以A為圓心,經(jīng)過點(diǎn)B的圓的面積為_.37.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),則點(diǎn)B在以A為圓心, 6 為半徑的圓的_.38.在半徑為5cm的O上有一點(diǎn)P,則OP的長為_.39.圓的一條弦把圓分為5: 1 兩部分, 如果圓的半徑是2cm, 則這條弦的長是_cm.40.如圖12,O的直徑為10,弦AB=8,P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么OP長的取值范圍是_.41.如圖13,D、E分別是O的半徑OA、OB上的點(diǎn),CDOA,CEOB,CD= CE, 則弧AC

22、 與弧CB弧長的大小關(guān)系是_.42.如圖14,在O中,AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦,ODAB,OEAC,垂足分別為D、E,若AC=2cm,則O的半徑為_cm.43.如圖15，點(diǎn)A、B、C、D在O上，點(diǎn)O在D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則OADOCD=_44.如圖16,四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在O上,且ADBC,對角線AC與BC相交于點(diǎn)E,那么圖中有_對全等三角形;_對相似比不等于1的相似三角形.45.如圖17，A、B、C為O上三點(diǎn)，若OAB=46,則ACB=_度.46.如圖18,AB是O的直徑, 弧BC=弧BD,A=25,則BOD的度數(shù)為_.47.如圖19,AB是半圓O的直徑,

23、AC=AD,OC=2,CAB= 30 ,則點(diǎn)O 到CD 的距離OE=_. 48.如圖20，PA、PB是O的切線，點(diǎn)A、B為切點(diǎn)，AC是O的直徑，BAC200，則P的大小是_度. 49.已知O的直徑為2,則O的內(nèi)接正三角形的邊長為_.50.邊長為6cm的等邊三角形的外接圓半徑是_.51.等邊三角形ABC的內(nèi)切圓面積為9，則ABC的周長為_.52.正三角形的內(nèi)切圓半徑等于外接圓半徑的_.53.在RtABC中,C=90,AC=12cm,BC=5cm,以點(diǎn)C為圓心,6cm 的長為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是_.毛54.如圖21,在ABC中,AB=AC,BAC=120,A與BC相切于點(diǎn)D,與AB相交于

24、點(diǎn)E,則ADE等于_度.55.已知O的半徑為4cm,直線L與O相交,則圓心O到直線L的距離d 的取值范圍是_.如圖22,PA、PB是O的切線,切點(diǎn)分別為A、B,且APB=50,點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn),則ACB的度數(shù)為_.56.如圖23,O為ABC的內(nèi)切圓,D、E、F為切點(diǎn),DOB=73,DOE=120, 則DOF=_度,C=_度,A=_度.57.正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的_58.正方形ABCD的內(nèi)切圓O的半徑OE叫做正方形ABCD的_59.若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是_度，半徑是_，邊心距是_，它的每一個(gè)內(nèi)角是_60.正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的_角的度數(shù)相等61.半徑為9cm的圓中,長為1