變化率問題導學案

1、1.1.1變化率問題導學案一問題提出問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?n 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關系是 。n 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么 。分析:，1 當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為 。2 當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為 ?？梢钥闯?，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 問題2 高臺跳水hto 在高臺跳水運動中,運動員相對于水

2、面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?思考計算：和的平均速度在這段時間里，= ；在這段時間里， = ；探究：計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考以下問題：運動員在這段時間內使靜止的嗎？你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，所以，= ；雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)二平均變化率概念:1上述

3、問題中的變化率可用式子 表示, 稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率。2若設, (這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣)3 則平均變化率為x1x2Oyy=f(x)f(x2)x= x2-x1y =f(x2)-f(x1)x思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?三典例分析例1已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,則 例2 求在附近的平均變化率。四課堂練習1質點運動規(guī)律為，則在時間中相應的平均速度為 2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.3.過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲線的割線，

4、求出當x=0.1時割線的斜率.五回顧總結1平均變化率的概念2函數(shù)在某點處附近的平均變化率1.1.2導數(shù)的概念教學目標：1了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；2理解導數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內涵；3會求函數(shù)在某點的導數(shù)教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導數(shù)的概念； 教學難點：導數(shù)的概念教學過程：一瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，時的瞬時速度是多少？考察附近的情況：思考：當趨近于0時，平均速度有什么樣的變化趨勢？結論：當趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一

5、邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值 。從物理的角度看，時間間隔無限變小時，平均速度就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運動員在時的瞬時速度是 。為了表述方便，我們用表示“當，趨近于0時，平均速度趨近于定值”小結：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。二、 導數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或，即 說明：（1）導數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的 。 （2），當時，所以= 。三典例分析例1（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導數(shù).例2（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種

6、不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第時，原油的溫度（單位：）為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義四課堂練習1質點運動規(guī)律為，求質點在的瞬時速度為2求曲線y=f(x)=x3在時的導數(shù)3例2中，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義五回顧總結1瞬時速度、瞬時變化率的概念2導數(shù)的概念六布置作業(yè)1.1.3導數(shù)的幾何意義教學目標：1了解平均變化率與割線斜率之間的關系；2理解曲線的切線的概念；3通過函數(shù)的圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義，并會用導數(shù)的幾何意義解題；教學重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導數(shù)的幾何意義； 教學難點：導數(shù)的幾何意義教學過程：一、曲線的切

7、線及切線的斜率：如圖3.1-2，當沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢是什么？圖3.1-2我們發(fā)現(xiàn),當點沿著曲線無限接近點P即x0時，割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的 .問題：割線的斜率與切線PT的斜率有什么關系？ 切線PT的斜率為多少？.二、導數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)等于在該點處的切線的斜率，即 說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:求出P點的坐標;求出函數(shù)在點處的變化率 ，得到曲線在點的切線的斜率；利用點斜式求切線方程.（二）導函數(shù)：由函數(shù)f(x)在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到,當時, 是一個確定的數(shù)，那么,當x變化時,便是x的一個

8、函數(shù),我們叫它為f(x)的導函數(shù).記作：或，即: 注：在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)（三）函數(shù)在點處的導數(shù)、導函數(shù)、導數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內任意點x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導函數(shù) 3）函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點處的導數(shù)的方法之一。三典例分析例1:（1）求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.（2）求函數(shù)y=3x2在點處的導數(shù).解：（1）,所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即（2）因為所以，所求切

9、線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即（2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù) 解： 。例2（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線在、附近的變化情況解：我們用曲線在、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況（1） 當時，曲線在處的切線平行于 ，所以，在附近曲線比較 ，幾乎沒有升降（2） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線 ，即函數(shù)在附近單調 （3） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，（4） 在附近曲線 ，即函數(shù)（5） 在附近單調 從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度 直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比

10、在附近下降的 例3（課本例3）如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時間（單位：）變化的圖象根據(jù)圖像，估計時，血管中藥物濃度的瞬時變化率（精確到）解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度在此時刻的 ，從圖像上看，它表示曲線在此點處的切線的斜率如圖3.1-4，畫出曲線上某點處的切線，利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值作處的切線，并在切線上取兩點，如，則它的斜率為： 所以 下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值：0.20.40.60.8藥物濃度瞬時變化率0.40-0.7-1.4四課堂練習1、已知函數(shù),若,問(x)=-4表示的幾何意義是 。2

11、、1）函數(shù)在點P處的導數(shù)值為，則函數(shù)在點P處的切線的斜率為 ，切線的傾斜方式是 。2）函數(shù)在點P處的導數(shù)值為3，則函數(shù)在點P處的切線的斜率為 ，切線的傾斜方式是 。3）函數(shù)在點P處的導數(shù)值為3，則函數(shù)在點P處的切線的斜率為 ，切線的傾斜方式是 。3、教材P80A組T6、B組T3。五回顧總結1曲線的切線及切線的斜率；2導數(shù)的幾何意義1.2.1幾個常用函數(shù)的導數(shù)教學目標：1使學生應用由定義求導數(shù)的三個步驟推導四種常見函數(shù)、的導數(shù)公式； 2掌握并能運用這四個公式正確求函數(shù)的導數(shù)教學重點：四種常見函數(shù)、的導數(shù)公式及應用教學難點： 四種常見函數(shù)、的導數(shù)公式教學過程：1函數(shù)的導數(shù) 根據(jù)導數(shù)定義，因為= 。

12、所以= 。 = 表示函數(shù)圖像（圖3.2-1）上每一點處的切線的斜率都為 若表示路程關于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體的瞬時速度始終為 ，即物體一直處于 狀態(tài)2函數(shù)的導數(shù)因為=所以= 表示函數(shù)y=x圖像（圖3.2-1）上每一點處的切線的斜率都為 若y=x表示路程關于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體的瞬時速度始終為 ，即物體一直處于 狀態(tài)探究：教材P82。3函數(shù)的導數(shù)因為=所以= 表示函數(shù)圖像（圖3.2-3）上點處的切線的斜率都為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化另一方面，從導數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看，表明：當時，隨著的增加，函數(shù)減少得越來越慢；當時，隨著的增加，函數(shù)增加得越來越快若表示路

13、程關于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻的瞬時速度為4函數(shù)的導數(shù)因為=所以= 探究：P82。課堂練習1求函數(shù)y=x3的導數(shù)。2求函數(shù)y=xn的導數(shù)。3求函數(shù)的導數(shù)。回顧總結函數(shù)導數(shù)布置作業(yè)3.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則教學目標：1熟練掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式； 2掌握導數(shù)的四則運算法則；3能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)教學重點：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則教學難點： 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則的應用教學過程：（一）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表函數(shù)導數(shù) （二）導數(shù)的運算法則導數(shù)運算法則123（2）推論：（常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)）三典例分析例1假設某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有如下函數(shù)關系，其中為時的物價假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？例2根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)運算法則，求下列函數(shù)的導數(shù)（1）（2）y ；（3）y x sin x ln x；（4）y ；