：第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法2

1、自動(dòng)控制原理講座自動(dòng)控制原理講座古典控制理論局部古典控制理論局部 主講：黃國宏主講：黃國宏廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院第三章第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法內(nèi)容提要內(nèi)容提要介紹一階和二階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的分析和計(jì)算；介紹一階和二階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的分析和計(jì)算；討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)性能指標(biāo)的影響，分析改進(jìn)二討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)性能指標(biāo)的影響，分析改進(jìn)二階系統(tǒng)性能的措施；階系統(tǒng)性能的措施；介紹高階系統(tǒng)時(shí)域分析方法；介紹高階系統(tǒng)時(shí)域分析方法；介紹用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，介紹用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，以及計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法。以及計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法。3.4 二階

2、系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 3.4.1 二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式21221)()(KKssKKsRsC 典型的二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖(a)所示, 它是由一個(gè)慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負(fù)反響系統(tǒng)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 令2n=K1K2/, 1/=2n , 那么可將二階系統(tǒng)化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式: 2222)()(nnnsssRsC對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)微分方程為 )()()(2)(22trtctctcnnn 式中, 稱為阻尼比阻尼比, n稱為無阻尼自振角頻率無阻尼自振角頻率。二階系統(tǒng)的特征方程特征方程為 0222nnss所以, 系統(tǒng)的兩個(gè)特征根(極點(diǎn))為 122, 1nns隨著阻尼比

3、阻尼比的不同的不同, 二階系統(tǒng)特征根二階系統(tǒng)特征根(極點(diǎn)極點(diǎn))也不相同。也不相同。 欠阻尼欠阻尼 (01)22, 11nnjs 這是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根, 如圖(a)所示。 當(dāng)01時(shí), 兩特征根為 臨界阻尼臨界阻尼 ( =1) 當(dāng)=1時(shí), 特征方程有兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根, 即 s1,2=-n此時(shí), s1, s2如圖 (b)所示。 過阻尼過阻尼 ( 1)當(dāng) 1時(shí), 兩特征根為 122, 1nns這是兩個(gè)不同的實(shí)根, 如圖 (c)所示。 無阻尼無阻尼 ( =0)當(dāng) =0時(shí), 特征方程具有一對(duì)共軛純虛數(shù)根, 即 njs2, 1此時(shí), s1, s2如圖 (d)所示。 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

4、 令令r(t)=1(t), 那么有那么有R(s)=1/s，可得二階系，可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下輸出信號(hào)的拉氏變換統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下輸出信號(hào)的拉氏變換為為 ssssCnnn12)(222對(duì)上式求拉氏反變換拉氏反變換, 可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的過渡過程為 )()(1sCLtc1) 欠阻尼情況欠阻尼情況 (0 1) 2222)()(1)(21)(dnddndnndndnnssssjsjssssC式中, 稱為有阻尼自振角頻率有阻尼自振角頻率。 21nd上式分解為拉氏反變換為)0(sin1cos1sincos1)()(21tttetetesCLtcddtdtdndtnnn上式還可以

5、改寫為 )0()sin(11sincos111)(222ttettetcdtddtnn, ( =arccos) 在欠阻尼情況下, 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是衰減衰減的正弦振蕩曲線的正弦振蕩曲線。 衰減速度衰減速度取決于特征根特征根實(shí)部的絕對(duì)值實(shí)部的絕對(duì)值n的大小 振蕩角頻率振蕩角頻率是特征根虛特征根虛部的絕對(duì)值部的絕對(duì)值, 即有阻尼自振有阻尼自振角頻率角頻率d , 2122nddT 振蕩周期振蕩周期為： 2無阻尼情況無阻尼情況 ( =0) 當(dāng)當(dāng) =0時(shí)時(shí), 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 ttcncos1)( 所以, 無阻尼情況下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是等幅正等幅正(余余)弦振蕩曲線弦振蕩曲線

6、, 振蕩角頻率振蕩角頻率是n。 3臨界阻尼情況臨界阻尼情況 (=1) 當(dāng)當(dāng)=1時(shí)時(shí), 可得可得 nnnnnssssssC1)(1)()(2222對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換得 )0() 1(1)(tettctnn 所以, 二階系統(tǒng)臨界阻臨界阻尼尼情況下的單位階躍響應(yīng)是一條無超調(diào)無超調(diào)的單調(diào)上升曲單調(diào)上升曲線線。 4過阻尼情況過阻尼情況(1) 這種情況下這種情況下, 系統(tǒng)存在兩個(gè)不等的實(shí)根系統(tǒng)存在兩個(gè)不等的實(shí)根, 即即 nnss)1(,)1(2221可得 )1()1(1)()(23221212nnnsAsAsAssssssC式中, )1(121,)1(121, 12232221AAA取上式的拉氏反變換拉

7、氏反變換可得過阻尼情況下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 ttnneetc)1(22)1(2222)1(121)1( 1211)(t0) 顯然, 這時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)包含兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng), 其過渡過程曲線如以下圖所示。 此時(shí)的二階系統(tǒng)就是兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。 有關(guān)分析說明, 當(dāng)2時(shí), 兩極點(diǎn)s1和s2與虛軸的距離相差很大, 此時(shí)靠近虛軸的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間響應(yīng)與原二階系統(tǒng)非常接近, 可以用該慣性環(huán)節(jié)來代替原來的二階系統(tǒng)。 在欠阻尼的狀態(tài)下, 當(dāng)時(shí), 過渡過程時(shí)間過渡過程時(shí)間比臨界阻尼時(shí)更短比臨界阻尼時(shí)更短, 而且振蕩也不嚴(yán)重而且振蕩也不嚴(yán)重。 因此在控制工程中, 除了那些不允許產(chǎn)生超調(diào)和振蕩

8、的情況外, 通常都希望二階系統(tǒng)工作在的欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)。 3、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo) 在許多實(shí)際情況中, 評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能的好壞是通過系統(tǒng)反映單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的過渡過程的特過渡過程的特征量征量來表示的。 在一般情況下, 希望二階系統(tǒng)工作在的欠阻尼狀態(tài)下。a 上升時(shí)間上升時(shí)間tr 根據(jù)定義根據(jù)定義, 上升時(shí)間滿足上升時(shí)間滿足 1sin1cos1)(2rdrdtrttetcrn所以有 0sin1cos2rdrdtt或 21tanrdtb峰值時(shí)間峰值時(shí)間tp 將輸出對(duì)時(shí)間求導(dǎo)將輸出對(duì)時(shí)間求導(dǎo), 并令其為零并令其為零, 即即 0)(pttdttdc得 0)cos

9、()sin(pdtdpdtntetepnpn整理、變換得 tan1)tan(2pdt根據(jù)三角函數(shù)的周期性, 上式成立需滿足:dtp=0, ,2, 3， 由于峰值時(shí)間是過渡過程到達(dá)第一個(gè)峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間, 因此應(yīng)取 pdt即二階系統(tǒng)過渡過程峰值時(shí)間為二階系統(tǒng)過渡過程峰值時(shí)間為 dddpTt21221 c最大超調(diào)量最大超調(diào)量p 由最大超調(diào)量的定義和系統(tǒng)的階躍響應(yīng)可由最大超調(diào)量的定義和系統(tǒng)的階躍響應(yīng)可得得 %100%100sin1cos%100sin1cos%100)()()(22pnpnpnttpdpdtppeettecctc即 %10021ep d過渡過程時(shí)間過渡過程時(shí)間ts 欠阻尼二階系統(tǒng)的單

10、位階躍響應(yīng)曲線欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線c(t)位位于一對(duì)曲線于一對(duì)曲線 211)(tnety之內(nèi), 這對(duì)曲線稱為響應(yīng)曲響應(yīng)曲線的包絡(luò)線線的包絡(luò)線。 因此，可以采用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)曲線估算過渡過程時(shí)間ts, 所得結(jié)果一般略偏大。21tne解得 2111111nntns 假設(shè)允許誤差帶是, 那么可以認(rèn)為ts就是包絡(luò)線衰減到區(qū)域所需的時(shí)間, 那么有若取若取=5%, 并忽略 時(shí), 則得 )9 . 00(1112nnst3若取若取=2%, 并忽略 時(shí), 則得 2111n (00.9)nst4例例 設(shè)一個(gè)帶速度反響的伺服系統(tǒng)設(shè)一個(gè)帶速度反響的伺服系統(tǒng), 其結(jié)構(gòu)圖如下圖。其結(jié)構(gòu)圖如下圖。要求系統(tǒng)的

11、性能指標(biāo)為要求系統(tǒng)的性能指標(biāo)為p=20%, tp=1s，試確定系統(tǒng)的，試確定系統(tǒng)的K和和KA值值, 并計(jì)算性能指標(biāo)并計(jì)算性能指標(biāo)tr、ts和和N。 ) 1( ssKR(s)C(s)1 KAs解解 首先, 根據(jù)要求的p求取相應(yīng)的阻尼比: 61. 111121/2ppne解得。 其次, 由條件tp=1s和已求出的=0.456 求無阻尼自振頻率n, 即 21npt解得n。22222)1 ()()(nnnAssKsKKsKsRsC比較上式兩端, 得 AnnKKK12,2所以K=12.5, KA。 將此二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)形式比較, 求K和KA值。最后計(jì)算tr、ts和N: rad1 . 11arctan2%)2(2 . 12,48. 24%)5(93. 02,86. 1365. 012次次psnspsnsnrttNstttNststAAKssKs55 .345)(25 .34252nAnKAAnKK525 .345)5.34(5)(ssKsGA已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為： 設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù)，試計(jì)算放大器的增益KA=200時(shí)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。若KA增大到1500或減小到13.5時(shí)，求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解：解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為stnp12. 012stns174. 03%13%21/e1. KA=200時(shí)，代入上式求得：n31.5rad/s；