有限長數(shù)字濾波器的設(shè)計

1、 7-1 引言引言7-2 線性相位線性相位FIR DF的特點的特點7-3 窗函數(shù)設(shè)計法窗函數(shù)設(shè)計法7-4 凱澤（凱澤（Kaiser）窗及其濾波器設(shè)計）窗及其濾波器設(shè)計7-5 頻率取樣設(shè)計法頻率取樣設(shè)計法 7-1引言引言一、一、IIR DF的特點的特點 1、DF的設(shè)計依托的設(shè)計依托AF的設(shè)計，有圖表可查，方便簡單。的設(shè)計，有圖表可查，方便簡單。 2、相位的非線性、相位的非線性 H（Z）的頻響：）的頻響： 其中，其中， 是幅度函數(shù)，是幅度函數(shù)， 是相位函數(shù)。是相位函數(shù)。 通常，通常， 與與 不是呈線性的，這是不是呈線性的，這是IIR filter （無限長響應(yīng)濾波器）的一大缺點。因此限制了（無限長

2、響應(yīng)濾波器）的一大缺點。因此限制了 它的應(yīng)用，如圖象處理，數(shù)據(jù)傳輸都要求信道它的應(yīng)用，如圖象處理，數(shù)據(jù)傳輸都要求信道 具有線性相位特性。具有線性相位特性。 3、用全通網(wǎng)絡(luò)進行相位校正，可以得線性特性。、用全通網(wǎng)絡(luò)進行相位校正，可以得線性特性。,e)e (H)Z(H)e (H)(jjeZjj)e (Hj)()(review二、二、FIR DF的特點的特點 1、單位抽樣響應(yīng)、單位抽樣響應(yīng)h（n）是有限長的，）是有限長的， 因此因此FIR DF一定是穩(wěn)定的。一定是穩(wěn)定的。 2、經(jīng)延時移位，、經(jīng)延時移位，h（n）總可變成因果序列，）總可變成因果序列， 所以所以FIRDF總可以由因果系統(tǒng)實現(xiàn)?？偪梢杂梢?/p>

3、果系統(tǒng)實現(xiàn)。 3、h（n）為有限長，可以用）為有限長，可以用FFT實現(xiàn)實現(xiàn)FIRDF。 4、FIR的系統(tǒng)函數(shù)是的系統(tǒng)函數(shù)是Z-1的多項式，是全零點系的多項式，是全零點系統(tǒng)，故統(tǒng)，故IIR的設(shè)計方法不適用。的設(shè)計方法不適用。 5、FIR的相位特性可以是線性的，因此，它有更的相位特性可以是線性的，因此，它有更 廣泛的廣泛的 應(yīng)用，非線性的應(yīng)用，非線性的FIR一般不作研究一般不作研究。return7-2 線性相位線性相位FIR DF的特點的特點一、線性相位的條件一、線性相位的條件 如果如果FIR DF的單位抽樣響應(yīng)的單位抽樣響應(yīng) h(n) 為實數(shù)，而且為實數(shù)，而且滿足偶對稱滿足偶對稱 h(n)=h(

4、N-1-n)，或滿足奇對稱，或滿足奇對稱H(n)=-h(N-1-n)，其對稱中心在，其對稱中心在 處，可證處，可證明明filter就具有嚴(yán)格的線性相位。就具有嚴(yán)格的線性相位。 N又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，所以有又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，所以有4種線性相種線性相位位FIR DF，如下所述。，如下所述。21Nnreturn1、N為奇數(shù)的偶對稱為奇數(shù)的偶對稱例如例如 N=11，對稱中心為，對稱中心為)n10(h)n(h, 52111nn012345678910return2、N為偶數(shù)時的偶對稱為偶數(shù)時的偶對稱例如例如 N=10，對稱中心為，對稱中心為)n9(h)n(h, 5 . 42110nn012

5、3456789return3、N為奇數(shù)時的奇對稱為奇數(shù)時的奇對稱例如，例如，N=11，對稱中心為，對稱中心為 )n10(h)n(h, 5nn012345678910return4、N為偶數(shù)時的奇對稱為偶數(shù)時的奇對稱例如，例如，N=10，對稱中心為，對稱中心為4.5， )n9(h)n(hn012 3456789return二、線性相位的特點二、線性相位的特點)(jje )(H)e (H 為幅度函數(shù)，為幅度函數(shù)， ，是一個純實數(shù)，是一個純實數(shù)， 是相位函數(shù)，下面分是相位函數(shù)，下面分為為奇奇、偶對稱偶對稱兩種情況討論兩種情況討論)(H )e (H)(Hj)()(return1、h（n）為偶對稱情況）

6、為偶對稱情況1N0nn1N0nnZ)n1N(hZ)n(h)Z(H)n1N(h)n(h1N0m)m1N(Z)m(h)1,1(mNnnNm1N0mm)1N(Z)m(hZ也就是)Z(HZ)Z(H1)1N(return上式兩邊同時加上式兩邊同時加H（Z），再用），再用2去除得：去除得：10) 1(1) 1()(21)()(21)(NnnNnNZZZnhZHZZHZH2ZZ )n(hZ)21Nn()21Nn(1N0n)(21N)Z(HZ)Z(H1)1N(由return10)21()21()21()(2)()(NnNnjNnjNjeZjnheeeZHeHj1N0n)21N( j)21Nncos()n(he

7、1N0n)21N( j)n21Ncos()n(he2ZZ )n(hZ)21Nn()21Nn(1N0n)(21NH(Z)return所以，這時的幅度函數(shù)和相位函數(shù)如下所示所以，這時的幅度函數(shù)和相位函數(shù)如下所示:幅度函數(shù)為幅度函數(shù)為相位函數(shù)為相位函數(shù)為)n21Ncos()n(h)(H1N0n)21N()(顯然顯然 與與 呈正比，是呈正比，是嚴(yán)格嚴(yán)格的的線性線性相位相位。)(return)1N()(,2)21N()(,)21N() 1N(0)(2)21N()(return2、h（n）為奇對稱的情況）為奇對稱的情況 當(dāng)當(dāng)h(n)= -h(N-1-n)時，可以通過類似的推導(dǎo)，得到時，可以通過類似的推導(dǎo)，

8、得到)n21N(sin)n(he)e (H1N0n2j)21N( jj所以，其幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為所以，其幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為)n21Nsin()n(h)(H1N0n2)21N()(return 可見，其相位特性是線性相位，而且還產(chǎn)生一個可見，其相位特性是線性相位，而且還產(chǎn)生一個900相移，相移，這樣同一個信號通過這樣同一個信號通過h(n)奇、偶的奇、偶的FIR濾波器的輸出，在所有濾波器的輸出，在所有頻率都有頻率都有900相差，因此稱它為相差，因此稱它為正交變換網(wǎng)絡(luò)正交變換網(wǎng)絡(luò)。（相移。（相移900的信的信號與原信號為正交的號與原信號為正交的回顧回顧信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)中函數(shù)正交的定義

9、）。中函數(shù)正交的定義）。)23N()(,2)12N()(,2)(,0)23( N) 12(N)(2022)21N()(return1、N為奇數(shù)，為奇數(shù)，h（n）為偶對稱的情況）為偶對稱的情況三、幅度函數(shù)的特點三、幅度函數(shù)的特點(分四種情況討論分四種情況討論) 呈偶對稱，也對2/ ) 1()21cos()1(21cos()21(cos)21cos()21cos()()(10NnNnNNNnnNnNnhHNn偶對稱定義：偶對稱定義：h(nh(n)=h(N-1-n)=h(N-1-n)return可表為。因此，項是奇數(shù)，故留下中間一項。由于并等等，共合并為項合項與第合并；把第項項與第相等；可把第項項與

10、第內(nèi)的第因此，)(2/ ) 1(:2/ ) 1(2110)1(HNnNNNnnNnnnNnreturnnNmmmNhNhnNnhNhHNmNn21)cos()21(2)21()21cos()(2)21()(2/ ) 1(12/ ) 3(0其中，return21, 2 , 1),21(2)()21()0()cos()()(2/ )1(0 NnnNhnaNhannaHNn可見， 對 呈現(xiàn)偶對稱。)(H,2 , 0進一步表為)(H理解思路：理解思路：代入代入推導(dǎo)出推導(dǎo)出H(k- )= H(k+)課堂板書推導(dǎo)證明：結(jié)合課堂板書推導(dǎo)證明：結(jié)合cos的偶對稱性的偶對稱性。return2、N為偶數(shù)，為偶數(shù)，

11、h（n）為偶對稱的情況）為偶對稱的情況2N, 2 , 1n),n2N(h2)n(b)21ncos()n(b)(H2/N1n 可見， 對 呈奇對稱。)(H, 0)(H理解思路：理解思路：代入推導(dǎo)出代入推導(dǎo)出H(- )= H(+)return3、N為奇數(shù)，為奇數(shù)，h（n）為奇對稱的情況）為奇對稱的情況21N, 2 , 1n),n21N(h2)n( c)nsin()n( c)(H2/ )1N(1n 可見， 時， 對 呈奇對稱。2 , 0; 0)(H)(H 2 , 0理解思路：理解思路：代入推導(dǎo)出代入推導(dǎo)出H(k- )= H(k+)return4、N為偶數(shù)，為偶數(shù)，h（n）為奇對稱的情況）為奇對稱的情

12、況2N, 2 , 1n),n2N(h2)n(d)21nsin()n(d)(H2/N1n 可見，可見， 時，時， 對對呈奇對稱，而對呈奇對稱，而對 呈偶對稱。呈偶對稱。這四種線性相位這四種線性相位FIR filter的特性歸納的特性歸納在表在表7-1中中（P331）。）。2 , 0; 0)(H)(H 2 , 0理解思路：理解思路：代入推導(dǎo)出代入推導(dǎo)出H(- )= H(+)； H(- )= H()return四、系統(tǒng)函數(shù)四、系統(tǒng)函數(shù)H（Z）的零點分布情況）的零點分布情況 1、零點的分布原則、零點的分布原則)Z(HZ)Z(H1)1N(所以，如果所以，如果 是零點，則是零點，則 也一也一定是定是H（Z

13、） 的零點，的零點，h（n）為實數(shù)時，）為實數(shù)時，H（Z）的零點必成共軛對出現(xiàn)，即的零點必成共軛對出現(xiàn)，即 也一定是也一定是H（Z）的零點，）的零點， 也一定是也一定是H（Z）的零）的零點。點。iZZ iZ/1Z *iZZ *iZ/1Z return2、零點的位置、零點的位置（1） 既不在實軸上，也不在單位圓上，則零既不在實軸上，也不在單位圓上，則零 點是互為倒數(shù)的兩組點是互為倒數(shù)的兩組共軛對共軛對，22/1 , 22/1jZjZiiiZ,41j41Z,41j41Z*ii*iZ/1ZjImZiiZiZ/1ZRe10return(2) 不在實軸上，但在單位圓上，共軛對的不在實軸上，但在單位圓上，

14、共軛對的倒數(shù)就是它們本身，如倒數(shù)就是它們本身，如iZ22j22Z/1 ,22j22Z/122j22Z,22j22Z*ii*ii*iiZ/1Z i*iZ1Z 01return（3） 在實軸上，不在單位圓上，實數(shù)零點，在實軸上，不在單位圓上，實數(shù)零點，沒復(fù)共軛；只有倒數(shù)。沒復(fù)共軛；只有倒數(shù)。例如，例如，iZ2Z/1 , 2/1ZiiiZiZ/121201return（4） 既在實軸上也在單位圓上。此時，既在實軸上也在單位圓上。此時，有兩種可能，或位于有兩種可能，或位于Z=1，或位于，或位于Z=-1。iZN為偶數(shù)時的偶對稱為偶數(shù)時的偶對稱 為其零點；為其零點；N為偶數(shù)奇對稱為偶數(shù)奇對稱H（0）=0，

15、有，有Z=1零點；零點；N為奇數(shù)奇對稱為奇數(shù)奇對稱有零點有零點Z=1，和，和Z= -1。1Z, 0)(H, 0)(H)0(H1Zi1iZ參考參考P331表表7-1四種四種FIR幅頻特性得出：幅頻特性得出：return)(H的零點是的零點是H(Z)的零點的子集的零點的子集7-3 窗函數(shù)設(shè)計法窗函數(shù)設(shè)計法一、設(shè)計方法一、設(shè)計方法 1、設(shè)計思想、設(shè)計思想 先給定理想先給定理想filter的頻響的頻響 ，所要求設(shè)計一個，所要求設(shè)計一個FIR的的filter的頻響為的頻響為 ，使，使 逼近逼近 2、設(shè)計過程、設(shè)計過程 設(shè)計是在時域進行的，先用傅氏反變換求出理設(shè)計是在時域進行的，先用傅氏反變換求出理想想f

16、ilter的單位抽樣響應(yīng)的單位抽樣響應(yīng) ，然后加時間窗，然后加時間窗對對 截斷，以求得截斷，以求得FIR filter的單位抽樣響應(yīng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)。)e (Hjd)e (Hj)e (Hj)e (Hjd)n(hd)(nw)n(hd)()()()(21)(nhnwnhdeeHnhdnjjddreturn例如，低通例如，低通filter)(Hd0cc 是矩形的，則是矩形的，則 是是 sin(n)/n,為無限長為無限長的且是非因果的。的且是非因果的。)e (Hjd)n(hd)n(hdreturn二、窗函數(shù)對頻響的影響二、窗函數(shù)對頻響的影響 1、理想、理想LPF的單位抽樣響應(yīng)的單位抽樣響應(yīng)理想低

17、通理想低通filter的頻響的頻響 為為)(nhd)(jdeH)e (Hjdcccje, 0,0)(為群延時-加時間窗的原因加時間窗的原因return10)e (Hjdcc因為其相位 ，所以 是偶對稱，其對稱中心為 ，這是因為 時，即 為其最大，故 為其對稱中心。即 是以 為其對稱中心的無限長的非因果序列。)n(hdccc)n( j)n( jnjjjd1)n()nsin(e)n(2 j11de21dee21)e (HFccccc)(nhd)(n/)(cdh)(nhdreturn)n(hd2/ ) 1N(1Nn)n(RN1Nn0.1可將可將 乘以一個窗函數(shù)，變?yōu)橛邢揲L的因果序列。乘以一個窗函數(shù)，

18、變?yōu)橛邢揲L的因果序列。)(nhd-加時間窗的原因加時間窗的原因-導(dǎo)致原濾波器頻譜變化導(dǎo)致原濾波器頻譜變化return1N2、加矩形窗、加矩形窗 加窗就是實行加窗就是實行乘乘操作，而矩形窗就是操作，而矩形窗就是截斷截斷數(shù)據(jù)，這數(shù)據(jù)，這相當(dāng)于通過窗口相當(dāng)于通過窗口 看看 ，稱，稱 為窗口函數(shù)。為窗口函數(shù)。)()(nRnwNR)n(RN)n(hd)(nwR)()()(nwnhnhRd1Nn0),n(hd, 0其它n值因因h(nh(n) )是偶對稱的。長度為是偶對稱的。長度為N N，所以其對稱中心，所以其對稱中心應(yīng)為應(yīng)為 ，結(jié)論結(jié)論:N:N點長的點長的FIRFIR因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)h(n)可寫作可寫作2

19、/ ) 1N(h（n）=10 ,)21()21sin(NnNnNnc, 0n為其它值return3、 N點長的點長的FIR因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)h(n)的頻響的頻響 h（n）的頻響）的頻響 可通過傅式變換可通過傅式變換求得，為了便于與求得，為了便于與 的頻響的頻響 相比較，利相比較，利用卷積定理用卷積定理)e (Hj)()(nhFeHj)n(hd)e (HjddeWeHeHnwnhnhjRjdjRd)()(21)()()()()(1) 矩形窗的頻率響應(yīng)特性矩形窗的頻率響應(yīng)特性10)()()(NnnjRRjRenwnwFeW2/sin2Nsinee1e1e)21N(jjNj1N0nnjreturn)2

20、1()(NjReW 其中，其中， 為幅度函數(shù)，為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。幅頻響應(yīng)如下：為相位函數(shù)。幅頻響應(yīng)如下：)2sin(/ )2Nsin()(WR)21()(N（2）理想）理想LPF的頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng))21N( jdjde )(H)e (H 其中，其中， 為幅度函數(shù)為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。為相位函數(shù)。)(Hdc, 1c, 0)21()(Nreturn（3）有限長）有限長h（n）的頻率響應(yīng)）的頻率響應(yīng))e (Hjd)(W)(H21ede )(We )(H21Rd)21N( j)(21N( jR)21N( jd其中，其中， 為幅度函數(shù)，為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。為相位函數(shù)。d)(W)(H2

21、1)(HRd)21()(N4、窗函數(shù)頻率響應(yīng)產(chǎn)生的影響、窗函數(shù)頻率響應(yīng)產(chǎn)生的影響從幾個特殊頻率點的卷積過程就可看出其影響從幾個特殊頻率點的卷積過程就可看出其影響:return（1） 時，0ccd)(W21d)(W121)0(HRR也就也就 在在 到到 全部面積的積分。全部面積的積分。因此，因此，H（0）/H（0）=1（用（用H（0）歸一化）歸一化）。)(WR)(Hd0ccreturn)(WRN/2N/20NNWR/2/4)(邊瓣寬度為的主瓣寬度的為注意：return（2） 時，時， 正好與正好與 的一半相重疊。這時有的一半相重疊。這時有 。c)(WR)(Hd5 . 0)0(/ )(HHcret

22、urn(3) 時，時， 的主瓣全部在的主瓣全部在的通帶內(nèi)，這時應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。的通帶內(nèi)，這時應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。Nc2)(RW)(dH（4） 時，主瓣全部在通帶外，時，主瓣全部在通帶外，出現(xiàn)負的肩峰。出現(xiàn)負的肩峰。Nc/2return（5）當(dāng)）當(dāng) 時，隨時，隨 增加，增加， 左邊左邊 旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積 也隨著也隨著 的旁瓣在通帶內(nèi)的面積的旁瓣在通帶內(nèi)的面積 變化而變化，故變化而變化，故 將圍繞著零值而波動。將圍繞著零值而波動。Nc2)(WR)(H )(WR)(H N/2creturn(6)當(dāng)當(dāng) 時，時， 的右邊旁瓣將進入的右邊旁瓣將進入 的通帶，右邊旁瓣的起

23、伏造成的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞值圍繞 值而波動。值而波動。N2c)(WR)(Hd)(H )0(H100.5)0(H/ )(H 整個卷積過程如圖整個卷積過程如圖return8.95%8.95%5、幾點結(jié)論、幾點結(jié)論（1）加窗后，使頻響產(chǎn)生一過渡帶，其寬度正好等于）加窗后，使頻響產(chǎn)生一過渡帶，其寬度正好等于窗的頻響窗的頻響 的主瓣寬度的主瓣寬度（2） 在在 處出現(xiàn)肩峰，肩峰兩側(cè)形成處出現(xiàn)肩峰，肩峰兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少則取決于旁瓣的多少。蕩的多少則取決于旁瓣的多少。（3）吉布斯（）吉布斯（Gibbs）效

24、應(yīng)）效應(yīng) 因為窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)為因為窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)為這是一個很特殊的函數(shù)，分析表明，當(dāng)改變這是一個很特殊的函數(shù)，分析表明，當(dāng)改變N時僅能時僅能改變改變 的絕對值的大小，和主瓣的寬度的絕對值的大小，和主瓣的寬度 ，旁瓣的寬度旁瓣的寬度 ，但不能改變主瓣與旁瓣的相對，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例，也就是說，不會改變歸一化頻響比例，也就是說，不會改變歸一化頻響 的肩峰的肩峰的相對值。對于矩形窗最大相對肩峰為的相對值。對于矩形窗最大相對肩峰為8.95%，不管，不管N怎樣改變，最大肩峰總是怎樣改變，最大肩峰總是 8.95% ，這種現(xiàn)象稱作，這種現(xiàn)象稱作吉布斯效應(yīng)。吉布斯效應(yīng)。)(WRN4

25、)(H N2c)2sin(/ )2Nsin()(WR)(WR)N/4( )N/2( )(H return三、各種窗函數(shù)三、各種窗函數(shù) 1、基本概念、基本概念（1）窗譜：窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)亦稱作窗譜。）窗譜：窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)亦稱作窗譜。（2）對窗函數(shù)要求）對窗函數(shù)要求 a）希望窗譜）希望窗譜主瓣盡量窄主瓣盡量窄，以獲得較陡的過渡帶，這，以獲得較陡的過渡帶，這 是因為過渡帶等于主瓣寬度。是因為過渡帶等于主瓣寬度。 b）盡量減少盡量減少窗譜最大窗譜最大旁瓣旁瓣的相對的相對幅度幅度，這樣可使肩峰，這樣可使肩峰 和波紋減少。和波紋減少。 2、矩形窗、矩形窗 時域表達式：時域表達式： 頻域表達式

26、（頻譜）：頻域表達式（頻譜）： 幅度函數(shù)：幅度函數(shù)：)()()(nwnRnwRN)21N( jRjRe )(W)e (W)2sin(/ )2Nsin()(WRreturn3、三角形（、三角形（Bartlett）窗）窗時域表達式：時域表達式：)(nw21Nn0 ,1Nn21Nn21N,1Nn22121210 1 2 3 4 return頻譜：)21N( j2je)2sin()41Nsin(1N2)e (W1N,e)2sin()4Nsin(1N2)21N( j2 第一對零點為第一對零點為 ，即，即 ，所以主瓣寬度所以主瓣寬度 ，比矩形寬一倍比矩形寬一倍。)e (Wj4NN4N/8return4、漢

27、寧窗（升余弦窗）、漢寧窗（升余弦窗）其窗譜可利用如下方法求出，將其窗譜可利用如下方法求出，將 變形為變形為又由于又由于 其中其中又考慮到又考慮到 ，這里，這里)()12cos(1 21)(nRnNnwN) 1Nn0()(nw)(41)(41)(21)()12()12(nRenRenRnwNnNjNnNjN)21()()()(NjRRjReWnwFeW)2sin(/ )2Nsin()(WR)n(xe F)e (Xnj)( j001N20return所以有)e (Wj)21()21()()12(41)12(41)(21)(NjNjRRReWeNWNWWnwF當(dāng)當(dāng) 時，時， ，窗譜，窗譜分析分析 可

28、知，它等于三部分之和，旁瓣較大程度地可知，它等于三部分之和，旁瓣較大程度地互相抵消，但互相抵消，但主瓣主瓣加加寬一倍寬一倍，即為，即為1N N1N)N2(W41)N2(W41)(W21)(WRRR)(W N8return)(W21R)N2(W41RN4N2N2N4)(W N4N4漢寧窗是漢寧窗是 時，時，特例特例2)n(R)1Nn(sin)n(Nreturn5、海明窗，又稱作改進升余弦窗、海明窗，又稱作改進升余弦窗 其窗函數(shù)為其窗函數(shù)為仿照漢寧窗的分析方法可以得其頻響的幅度函數(shù)為仿照漢寧窗的分析方法可以得其頻響的幅度函數(shù)為 其主瓣寬度仍為其主瓣寬度仍為 ，（旁瓣峰值，（旁瓣峰值/主瓣峰值）主瓣

29、峰值）1%有有99.963%的能量集中在主瓣內(nèi)。的能量集中在主瓣內(nèi)。 海明窗是下一類窗的特例海明窗是下一類窗的特例)N2(W)N2(W23. 0)(W54. 0)1N2(W)1N2(W23. 0)(W54. 0RRRRRR)()12cos(46. 054. 0)(nRNnnWN)(W N8)54. 0()()12cos()1 ()(nRNnnwNreturn6、布拉克曼窗，又稱二階余弦窗、布拉克曼窗，又稱二階余弦窗 加上余弦的二次諧波分量，可以進一步抑制旁瓣加上余弦的二次諧波分量，可以進一步抑制旁瓣相應(yīng)的幅度函數(shù)為相應(yīng)的幅度函數(shù)為 其主瓣寬度為其主瓣寬度為 ，是，是矩形窗的三倍矩形窗的三倍。)

30、()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRNnNnnwN)(W )1N4(W)1N4(W04. 0)1N2(W)1N2(W25. 0)(W42. 0RRRRRN/12return7、五種窗函數(shù)的比較、五種窗函數(shù)的比較（1）時域窗）時域窗布拉克曼三角矩形海明21N1Nn)n(（2）各個窗的幅度函數(shù)，如）各個窗的幅度函數(shù)，如P.200，圖，圖6-10，注意圖中，注意圖中 是是dB表示的。表示的。（3）理想）理想LF加窗后的幅度函數(shù)（響應(yīng)）如加窗后的幅度函數(shù)（響應(yīng)）如P201， 圖圖6-11所示。所示。return四、窗函數(shù)法的設(shè)計四、窗函數(shù)法的設(shè)計 1、設(shè)計步驟、設(shè)計步驟

31、（1）給定頻響函數(shù)）給定頻響函數(shù)（2）求出單位抽樣響應(yīng)）求出單位抽樣響應(yīng)（3）根據(jù)過渡帶寬度和阻帶最小衰減，借助窗函數(shù)）根據(jù)過渡帶寬度和阻帶最小衰減，借助窗函數(shù) 基本參數(shù)表（基本參數(shù)表（P202表表3）確定窗的形式及）確定窗的形式及N的大小的大?。?）最后求）最后求 及及 2、設(shè)計舉例、設(shè)計舉例)e (Hjd)e (HF)n(hjd1d)()()(nwnhnhd)e (Hj例：分別利用矩形窗與漢寧窗設(shè)計具有線性相位的例：分別利用矩形窗與漢寧窗設(shè)計具有線性相位的 FIR 低通濾波器，具體要求：低通濾波器，具體要求：)e (Hjd, 0,ecj其他;rad1, s12c并畫出相應(yīng)的頻響特性并畫出相

32、應(yīng)的頻響特性return解：（解：（1）由于）由于 是一理想是一理想LF，所以，所以 可以得出可以得出 （2）確定）確定N 由于相位函數(shù)由于相位函數(shù) ，所以，所以 呈呈 偶對稱，其對稱中心為偶對稱，其對稱中心為 ，因此，因此 )e (Hjd)n(hd)()(sin)(nnnhcd)()n(hd2/ ) 1N(2512N)12n()12nsin(1)n(hd（3）加矩形窗）加矩形窗)()()()()(25nRnhnwnhnhdd24, 2 , 1 , 0n),12n(/ )12nsin( 則有return可以求出可以求出h（n）的數(shù)值，注意偶對稱，對稱中心）的數(shù)值，注意偶對稱，對稱中心122/

33、) 1N(31831. 0)12(14472. 0)14()10(06022. 0)16()8(01482. 0)18()6(03936. 0)20()4(01931. 0)22()2(;01423. 012/12sin)24()0(hhhhhhhhhhhhh26785. 0)13(h)11(h01497. 0)15(h)9(h06104. 0)17(h)7(h02987. 0)19(h)5(h01457. 0)21(h)3(h02893. 011/11sin)23(h) 1 (hreturn)n(hn1224由于由于h（n）為偶對稱，）為偶對稱，N=25為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，所以)(H 121

34、n2/ )1n(1n2/ )1N(0n)ncos()n12(h2)12(h)ncos()n21N(h2)21N(h)ncos()n(areturn套用套用P330頁的公式頁的公式例如例如 H（0）=0.94789，可以計算，可以計算 的值，的值， 畫如下圖畫如下圖)(H return（4）加漢寧窗）加漢寧窗 由于由于 可以求出序列的各點值可以求出序列的各點值240),242cos(1 21)(nnnw1)12(9330. 0)14()10(75. 0)16()8(5 . 0)18()6(25. 0)20()4(06698. 0)22()2(0)24()0(wwwwwwwwwwwww9829.

35、0)13()11(85355. 0)15()9(62940. 0)17()7(37059. 0)19()5(1464. 0)21() 3(01903. 0)23() 1 (wwwwwwwwwwww通過通過 可求出加窗后的可求出加窗后的h(n)()()(nwnhnhdreturn31831. 0)12()12()12(whhd13502. 0)14(h)10(h04516. 0)16(h)8(h00741. 0)18(h)6(h00984. 0)20(h)4(h00116. 0)22(h)2(h0)24(h)0(h26326. 0)13(h)11(h1277. 0)15(h)9(h003841.

36、 0)17(h)7(h01107. 0)19(h)5(h00213. 0)21(h)3(h00049. 0)23(h) 1 (h相應(yīng)幅度函數(shù)可用下式求得：121n)ncos()n12(h2)12(h)(Hreturn如H（0）=0.98460，圖如下return()()1( )2ccjnjndh neded1sinsin()1()ccnnnnn()=()cc高通濾波器全通濾波器低通濾波器()0jjcdeHe其它理想高通的頻響：return1221()()1( )2jnjndh neded21211sinsin1nnnnn1221(,)=()() 帶通濾波器低通濾波器低通濾波器120()0jjd

37、eHe其它12N返回返回下頁下頁上頁上頁2112()()()1( )2jnjnjndh nededed12121sinsinsin1nnnnnn1221()=()()帶阻濾波器，高通濾波器+低通濾波器12N120,()0jjdeHe 其它返回返回上頁上頁7-4、凱澤（、凱澤（Kaiser）窗及其濾波器設(shè)計）窗及其濾波器設(shè)計 上述幾種窗函數(shù)：矩形窗、漢寧窗、海明窗等，上述幾種窗函數(shù)：矩形窗、漢寧窗、海明窗等，為了壓制旁瓣，是以加寬主瓣為代價的。而且，每為了壓制旁瓣，是以加寬主瓣為代價的。而且，每一種窗的主瓣和旁瓣之比是固定不變的，而凱澤窗一種窗的主瓣和旁瓣之比是固定不變的，而凱澤窗可以在主瓣寬度

38、與旁瓣衰減之間自由選擇?？梢栽谥靼陮挾扰c旁瓣衰減之間自由選擇。 一、凱澤窗一、凱澤窗 凱澤在凱澤在1966發(fā)現(xiàn)，利用第一類零階修正（變形）發(fā)現(xiàn)，利用第一類零階修正（變形）貝賽爾函數(shù)可以構(gòu)成一種近似最佳的窗貝賽爾函數(shù)可以構(gòu)成一種近似最佳的窗函數(shù)。凱澤窗定義為：函數(shù)。凱澤窗定義為：1。定義。定義return其它, 010 ,)()/ )(1 ()(02/120NnInInW2/ ) 1( N)(0I為第一類零階修正貝塞爾函數(shù)：為第一類零階修正貝塞爾函數(shù)： ，是一個可自由選擇的參數(shù)。是一個可自由選擇的參數(shù)。2.特點特點return其中，其中，.) ! 3 () 2/() ! 2 () 2/() 2/

39、(1!) 2/(1)(26242120 xxxkxxIkk0可同時調(diào)整主瓣寬度與旁瓣可同時調(diào)整主瓣寬度與旁瓣;越大，越大， 窗時域越窄。頻譜旁瓣越小，而主瓣窗時域越窄。頻譜旁瓣越小，而主瓣相應(yīng)增加；相應(yīng)增加；相當(dāng)于矩形窗相當(dāng)于矩形窗;)(nW通常選擇通常選擇，它們相當(dāng)于旁瓣與主，它們相當(dāng)于旁瓣與主瓣幅度為瓣幅度為3.1%-0.047% ；凱澤窗隨凱澤窗隨 變化的曲線如下圖：變化的曲線如下圖：return94與其它窗函數(shù)相比的主要優(yōu)點：與其它窗函數(shù)相比的主要優(yōu)點：return由圖可以看出由圖可以看出, 為對稱中心，且是偶對稱為對稱中心，且是偶對稱,2/ ) 1( Nn即即)1()(nNWnWkk

40、1)()()2/ 1()(00IINWnWkk3. 凱澤經(jīng)驗公式凱澤經(jīng)驗公式該公式可使該公式可使filter設(shè)計人員根據(jù)設(shè)計人員根據(jù)filter的設(shè)計指標(biāo)的設(shè)計指標(biāo),估算出估算出值和值和 N 值。值。且，且，return11sp1)(jeH：通帶截止頻率，由：通帶截止頻率，由 定定;：止帶截止頻率，由：止帶截止頻率，由 定定.)(jeHps過渡帶寬度過渡帶寬度2/ )(pscreturn1285. 2/ )8(21, 0 . 05021,07886. 0)21(5842. 050),7 . 8(1102. 0lg20. 4 . 0ANAAAAAApsreturn4.設(shè)計舉例設(shè)計舉例利用凱澤窗設(shè)

41、計一利用凱澤窗設(shè)計一FIR低通低通filter，要求，要求6 . 0,4 . 0,001. 0sp2 . 04 . 06 . 0ps解：解：6010lg20lg203A65326. 5)7 . 860(1102. 0return,22.3712 . 0285. 2/ )860(N取取38將將N=38, =5.653代入代入 表達式，得表達式，得)(nWk)()()653. 5() )37(3065. 0()(0000IxIInnInWkreturnnx)(nWk)()(00IxI)(0 xI0 37 0.0 1.000 0.0204 0.021 36 1.8336 2.030 0.0415 0

42、.042 35 2.5568 3.345 0.0704 0.078 29 4.6548 19.96 0.4082 0.413 34 3.086 5.251 0.1074 0.11 4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.155 32 3.8656 10.11 0.2067 0.216 31 4.1678 13.10 0.2679 0.297 30 4.4286 16.44 0.3362 0.34return17 20 5.6350 48.03 0.9822 0.98nx)(nWk)()(00IxI)(0 xI9 28 4.8512 23.83 0.4873 0.4910 27 5

43、.0215 27.73 0.5671 0.5711 26 5.1682 31.72 0.6489 0.6512 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72 13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.8014 23 5.4838 41.93 0.8575 0.8615 22 5.5515 44.67 0.9135 0.9116 21 5.6017 46.74 0.9558 0.9618 19 5.6515 48.90 1.0 1.00048121618192529333721return5 . 02/ )4 . 06 . 0(2/ )(psc)(2sin)()()()(

44、sin)(00nWyyIxInnnhkcyy2sinyy2sin)(nWkn012345637363534333231-0.01220.01290.0139-0.01458-0.015590.016940.018480.020.040.010.27-0.000240.0005160.00096-0.0016-0.00230.00350.0049 yy2sin)(nhreturn 78910111213143029282726252423-0.01965-0.021520.02379-0.02659-0.03013-0.034770.041090.050220.340.4

45、10.490.570.650.720.800.86-0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.043return1516171822212019-0.06451-0.090400.15070.45200.910.960.981.00-0.059-0.0870.1480.45)(nh的圖形如下所示的圖形如下所示returnreturn7-5、頻率取樣設(shè)計法、頻率取樣設(shè)計法一、設(shè)計思想一、設(shè)計思想窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)，把理想的窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)，把理想的 用一定用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長的形狀的窗函數(shù)截取成有限長的 ，以，以 來近似來近似

46、 )(nhd)(nhd)(nh)(nh)(jdeH)(jeH從而使頻響從而使頻響 近似理想頻響近似理想頻響 。頻率取樣法是從頻域出發(fā)，對理想的頻響頻率取樣法是從頻域出發(fā)，對理想的頻響 )(jdeH進行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近似理想頻響進行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近似理想頻響)(jdeH，即：，即：，return)()(2kHeHdkNjd等間隔取樣等間隔取樣并且并且1,.,1 , 0),()(NkkHkHd二、利用二、利用N個頻域采樣值重構(gòu)個頻域采樣值重構(gòu)FIR的系統(tǒng)函數(shù)與頻響的系統(tǒng)函數(shù)與頻響1. 重構(gòu)重構(gòu)FIR的的單位抽樣響應(yīng)的的單位抽樣響應(yīng)h(n)根據(jù)頻域抽樣理論（根據(jù)頻域抽

47、樣理論（p126），由），由N個頻域采樣點個頻域采樣點可以唯一確定可以唯一確定h(n) , 即對即對 H(k)進行進行IDFTreturn1,.,1 , 0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj2.重構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)重構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)H(Z)1101/21010/21010/2101011)(111)(1 )(1)(1)()(ZWZkHNZeZkHNZekHNZekHNZnhZHkNNNkNnkjNNknNnNnkjNknNkNnkjNnNnnNjNeW/2return3.FIR的頻響的頻響jeZ )(ZH將將 代入代入 表達式可得表達式可得)()(2/ )/2sin()2/sin()(11)1

48、)(1)(10)21(1010/2jkNkNkNjNkNkjNnkjNjjekHeNkNkHNeeekHNeH其中其中,)21(2/ )/2sin()2/sin(1)(NkNjjkeNkNNe為大家所知的內(nèi)插函數(shù)為大家所知的內(nèi)插函數(shù).return11011)(1ZWZkHNkNNNk分析分析 可知，當(dāng)可知，當(dāng) 時（采樣點）時（采樣點）)(jke1,.,1 , 0,2NiiN有：有：1,.,1 , 0, 0, 1)(2NikikieNijk這說明，重構(gòu)的頻響這說明，重構(gòu)的頻響 ，在采樣上嚴(yán)格等于，在采樣上嚴(yán)格等于H(k),)(jeH而在采樣點之間，頻響則由加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。而在采樣點之

49、間，頻響則由加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。三、線性相位的約束條件三、線性相位的約束條件以以h(n)為偶對稱，為偶對稱，N為奇數(shù)的情況進行分析為奇數(shù)的情況進行分析.1.FIR的頻響具有線性相位的一般表達式的頻響具有線性相位的一般表達式return當(dāng)當(dāng)h(n)為偶對稱，為偶對稱，N為奇數(shù)時，則為奇數(shù)時，則)21()()(NjjeHeH（P330，表，表6-1）)(H而且幅度函數(shù)而且幅度函數(shù) 應(yīng)為偶對稱，即應(yīng)為偶對稱，即)2()( HH2.采樣值采樣值H(k)具有線性相位的約束具有線性相位的約束kkjkjkNjeHekNHeHkH)2()()(2return其中，其中， 表示采樣值的模（純標(biāo)量），表示

50、采樣值的模（純標(biāo)量）， 表示表示)2(kNHHkk其相角。因此，在采樣點上具有線性相位的條件應(yīng)為：其相角。因此，在采樣點上具有線性相位的條件應(yīng)為：)11 (221NkkNNk而且，而且， 必須滿足偶對稱，即必須滿足偶對稱，即kNkHHkHreturn四四. 設(shè)計步驟設(shè)計步驟1.根據(jù)指標(biāo)要求，根據(jù)指標(biāo)要求， 畫出頻率采樣序列的圖形；畫出頻率采樣序列的圖形；kH2.依據(jù)依據(jù) 的對稱特點，可以使問題得以簡化；的對稱特點，可以使問題得以簡化；3.根據(jù)線性相位的約束條件，求出根據(jù)線性相位的約束條件，求出 ；4.將將 代入代入FIR的頻響表達式；的頻響表達式；5.由由 的表達式畫出實際的表達式畫出實際 頻

51、響。頻響。kkjkeHkH)(kHreturn四四.設(shè)計舉例設(shè)計舉例例例 試用頻率采樣法，設(shè)計一個具有線性相位試用頻率采樣法，設(shè)計一個具有線性相位的低通的低通FIR數(shù)字數(shù)字filter，其理想頻率特性為：，其理想頻率特性為：5.0,05.00, 1)(jdeH5 . 0c已知已知 ，采樣點，采樣點N=33.return由于由于h(n)為偶對稱，且為偶對稱，且 N=33為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，所以 對于對于是偶對稱。所以上圖可畫一半（到是偶對稱。所以上圖可畫一半（到 ）kH截止頻率截止頻率5 . 0c，即，即33183316c解解：return相位約束條件：相位約束條件：33/32)11 (kNkk

52、而而 為為kH258 , 03225, 80 , 1kkkHk33/32)(kjjkeeHkHk將將 代入代入FIR的頻響，得的頻響，得return16320)3316(3332320)21(102/ )33/2sin()2/33sin(3312/ )33/2sin()2/33sin(3312/ )/2sin()2/sin()(1)(jkkjkjkNkNjNkjekkeekeNkNkHNeH考慮到考慮到 時，時， ，所以將負頻部分加進去，所以將負頻部分加進去258 k有：有：0kH1681)33/2/sin()2/33sin()33/2/sin()2/33sin()2/sin()2/33sin

53、(331)(jkjekkkkeHreturn的圖形如下所示：的圖形如下所示：)(jeH)(jeH5 . 00returnreturn( )( )( )dapH zHzHz0( )( )( )( )dapdd 全統(tǒng)濾波器作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性()()()jjjdapH eHeHe()()()()dapjjjdapHeHee22200( )( )( )apde 利用均方誤差最小準(zhǔn)則,求均衡器Hap(z)的相位參數(shù)，以調(diào)解整個數(shù)字濾波器的相位是線性的。return相位誤差：形狀的窗函數(shù)截取成有限長的形狀的窗函數(shù)截取成有限長的 ，以，以 來近似來近似 從而使頻響從

54、而使頻響 近似理想頻響近似理想頻響 。 進行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近似理想頻響進行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近似理想頻響一、設(shè)計思想一、設(shè)計思想窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)，把理想的窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)，把理想的 用一定用一定)(nhd)(nhd)(nh)(nh)(jdeH)(jeH頻率取樣法是從頻域出發(fā)，對理想的頻響頻率取樣法是從頻域出發(fā)，對理想的頻響 )(jdeH)(jdeH，即：，即：)()(2kHeHdkNjd等間隔取樣等間隔取樣并且并且1,.,1 , 0),()(NkkHkHd1101( )( )1NNkkNzH kH zNWz返回返回下頁下頁 102NjkH eH kk

55、N12sin12( )sin2NjNeN 11(1)20sin21sin2kNNjNjjNkkNNH eeH kekNN返回返回下頁下頁上頁上頁二、線性相位的約束條件二、線性相位的約束條件 12NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH1 2112kNkkNN 2kN返回返回下頁下頁上頁上頁12()( )NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH 11kkN 2kN返回返回下頁下頁上頁上頁三、頻率抽樣的兩種方法三、頻率抽樣的兩種方法返回返回下頁下頁上頁上頁 2110,.,22211,.,122NNkkNkNNNkkNN 2

56、10,.,12202211 ,.,122NNkkNNkkNNNkkNN返回返回下頁下頁上頁上頁 21221210,.,21,.,12NjkNNjN kNNH k ekH kNH Nk ekN 2122120,.,12021 ,.,12NjkNNjN kNNH k ekNH kkNH Nk ekN返回返回下頁下頁上頁上頁12(0) sin2sin2NjjNHH eeN 1sinsin22sinsin22MkkkNNH kNNkkNNN 12NM12NM 返回返回下頁下頁上頁上頁*( )(1)H kHNk 又線性相位：12jNe ( )(1)kNk ( )(1)H kH Nk 12N 返回返回下頁

57、下頁上頁上頁 2110,.,1222211,.,1222NNkkNkNNNkkNN 21130,.,2221022111,.,1222NNkkNNkkNNNkkNN返回返回下頁下頁上頁上頁 21122211220,.,121,.,12NjkNNjN kNNH k ekH kNH Nk ekN 211222112230,.,2112211,.,12NjkNNjN kNNH k ekNNH kHkNH Nk ekN 返回返回下頁下頁上頁上頁 121cos22cos2NNNHHN 121021sin221sin22NMjjNkNkH kNH eeHNkN1sin221sin22NkNkN32NM當(dāng)當(dāng)

58、N為偶數(shù)時：為偶數(shù)時： 120NH12NM 返回返回下頁下頁上頁上頁220dB 240 54dB 260 75dB 280 95dB 102NjkH eH kkN返回返回下頁下頁上頁上頁2 / Nc/N110Int824( )10Int191622ccNNkH kNNk 100cjdHe理想低通頻率特性其它按第一種頻率抽樣方式，N=33，得抽樣點返回返回下頁下頁上頁上頁816133sin 33sin 33sin233233233sin33sin33sin2233233jjkkkH eekk2 /33返回返回下頁下頁上頁上頁4 /33返回返回下頁下頁上頁上頁6 /65返回返回下頁下頁上頁上頁 10Nj nj ndnnhn eh n e 10Nj nj nddnnhnh nehn e其它jjjdE eHeH e頻率響應(yīng)誤差：頻率響應(yīng)誤差：實際頻響實際頻響理想頻響理想頻響返回返回下頁