新人民教育出版版高中數(shù)學必修四第二章平面向量平面向量的基本定理及坐標表示學習過程

1、平面向量的基本定理及坐標表示學習過程知識點一：平面向量基本定理(1) 平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)使= 。我們把不共線向量，叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)運用定理時需注意：，是同一平面內的兩個不共線向量。該平面內的任一向量都可用，線性表示，且這種表示是唯一的?；撞晃ㄒ?，只要是同一平面內的兩個不共線向量都可作為基底。知識點二：兩向量的夾角與垂直（1） 定義：已知兩個非零向量，作,則AOB=叫做向量的夾角。（2）如果的夾角是90°，就說垂直，記作。（3）注意：向量的夾角的范圍是，當時，同向；當時，；當

2、，反向。知識點三：平面向量的坐標表示（1）如圖，在直角坐標系內，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得我們把叫做向量的（直角）坐標，記作其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示.與相等的向量的坐標也為.特別地，如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定.設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.（2）平面向量的坐標運算 若，則， 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差. 若，則一

3、個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.（3）若和實數(shù)，則.實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.知識點四：平面向量共線的坐標表示（1） 設， 其中，當且僅當時，向量共線。（2） 注意:遇到與共線有關的問題時，一般要考慮運用兩向量共線的條件。運用兩向量共線的條件，可求點的坐標，可證明三點共線等問題。學習結論（1） 在解具體問題時，要適當?shù)倪x取基底。把幾何問題轉化為代數(shù)問題。（2） 向量共線的充要條件有兩種形式：（） （3） 注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0°q180°。典型例題例1 。已知平面上三點的坐標分別為A(

4、-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解析：當平行四邊形為ABCD時，由得D1=(2， 2)當平行四邊形為ACDB時，得D2=(4， 6)，當平行四邊形為DACB時，得D3=(-6， 0)例2已知三個力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力+=，求的坐標.解析：由題設+= 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x， y)=(0， 0)即： (-5，1)例3若向量=(-1，x)與=(-x， 2)共線且方向相同，求x解析：=(-1，x)與=(-x， 2) 共線 (-1)×2- x(-x)=0 x=± 與方向相同 x= 例4已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 解析：=(1-(-1)， 3-(-1)=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 2×2-4×1=0 又 =(1-(-1)， 5-(