數(shù)學(xué)之美——黃金分割圖形相似匯總

1、數(shù)學(xué)之美黃金分割前 言數(shù)學(xué)可以說是各學(xué)科的靈魂，數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著文化價(jià)值、美學(xué)價(jià)值、以及經(jīng)濟(jì)價(jià)值，而這些價(jià)值究竟是如何體現(xiàn)的?隨著我國(guó)教育水平的逐步提高，我們對(duì)數(shù)學(xué)這門科學(xué)的學(xué)習(xí)更加透徹，我們就以數(shù)學(xué)中的兩大寶藏之一“黃金分割”為例，黃金分割是我們最常見的一種和諧比例關(guān)系，即是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的“黃金分割”又稱“黃金段”或“黃金率”。在初中教學(xué)中對(duì)黃金分割的了解還不是很深，只是對(duì)黃金分割的定義做了簡(jiǎn)單的說明和簡(jiǎn)單的練習(xí)。隨著我們數(shù)學(xué)能力水平的提升，我們了解到了許多重要的與黃金分割相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)，本節(jié)主要解決楊輝三角形等數(shù)學(xué)量與黃金分割的關(guān)系，以及與黃金分割有關(guān)的一些概念，最后，將進(jìn)一步闡述黃金

2、分割的實(shí)際應(yīng)用，可見黃金分割用途之廣泛，影響之深遠(yuǎn)。另外，我真誠(chéng)的希望通過本節(jié)學(xué)習(xí)，能夠讓學(xué)生更多的了解黃金分割的實(shí)質(zhì)和內(nèi)涵，對(duì)以后的學(xué)習(xí)有進(jìn)一步的幫助。一、黃金分割的起源與發(fā)展1.1 黃金分割的定義古希臘雅典學(xué)派的第三大數(shù)學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于該部分之比。證明方法為：設(shè)有一根長(zhǎng)為1的線段在靠近端的地方取點(diǎn)，使 則點(diǎn)為的黃金分割點(diǎn)。設(shè)，則 代入定義式 可得即 解該二次方程： 其中為負(fù)值舍掉。所以 約為.黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比

3、等于整體與較大部分之比，其比值為10.618或1.6181，即長(zhǎng)段為全段的0.618。0.618被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。有趣的是，這個(gè)數(shù)字在自然界和人們生活中到處可見：人們的肚臍是人體總長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點(diǎn)。大多數(shù)門窗的寬長(zhǎng)之比也是0.618；有些植莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是137度28，這恰好是把圓周分成1:0.618的兩條半徑的夾角。據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，這種角度對(duì)植物通風(fēng)和采光效果最佳。建筑師們對(duì)數(shù)學(xué)0.618特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是近世紀(jì)的法國(guó)埃菲爾鐵塔，都有與0.618有

4、關(guān)的數(shù)據(jù)。人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618處。藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美。1.2 黃金分割的發(fā)展史據(jù)記載黃金分割是在文藝復(fù)興前后，經(jīng)過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為“金法”，17世紀(jì)歐洲的一位數(shù)學(xué)家，甚至稱它為“各種算法中最寶貴的算法”。這種算法在印度稱之為“三率法”或“三數(shù)法則”，也就是我們現(xiàn)在常說的比例方法。 其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國(guó)也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的，后來傳入了印度。經(jīng)考證。歐洲的比例算法是源于我國(guó)而經(jīng)過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的

5、。由于公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們推斷當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)觸及甚至掌握了黃金分割。公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個(gè)系統(tǒng)研究了這一問題，并建立起比例理論。公元前300年前后歐幾里得撰寫帕喬利時(shí)吸收了歐多克索斯的研究成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著。中世紀(jì)后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利稱中末比為神圣比例，并專門為此著書立說。德國(guó)天文學(xué)家開普勒稱黃金分割為神圣分割。到19世紀(jì)黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數(shù)有許多有趣的性質(zhì)，人類對(duì)它的實(shí)際應(yīng)用也很廣泛。最著名的例子是優(yōu)選學(xué)中的黃金分割

6、法或0.618法，是由美國(guó)數(shù)學(xué)家基弗于1953年首先提出的，70年代在中國(guó)推廣。其實(shí)，黃金分割比在未發(fā)現(xiàn)之前，在客觀世界中就存在的，只是當(dāng)人們揭示了這一奧秘之后，才對(duì)它有了明確的認(rèn)識(shí)。當(dāng)人們根據(jù)這個(gè)法則再來觀察自然界時(shí)，就驚奇的發(fā)現(xiàn)原來在自然界的許多優(yōu)美的事物中的能看到它，如植物的葉片、花朵，雪花，五角星許多動(dòng)物、昆蟲的身體結(jié)構(gòu)中，特別是人體中更是有著豐富的黃金比的關(guān)系。當(dāng)人們認(rèn)識(shí)了這一自然法則之后，就被廣泛地應(yīng)用于人類的生活之中。此后，在我們的生活環(huán)境中，就隨處可見了，如建處門窗、櫥柜、書桌；我們常接觸的書本、報(bào)紙、雜志；現(xiàn)代的電影銀幕。電視屏幕，以及許多家用器物都是近似這個(gè)數(shù)比關(guān)系構(gòu)成的。

7、在美術(shù)史上曾經(jīng)把它作為經(jīng)典法則來應(yīng)用。有許多美術(shù)家運(yùn)用它創(chuàng)造了不少不朽的著名。早在公元前六世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就發(fā)現(xiàn)了在這種分割狀態(tài)下存在的和諧美，后來古希臘美學(xué)家柏拉圖正式將此稱為黃金分割，并一直被認(rèn)為是最佳比例在藝術(shù)，建筑，自然界，甚至我們的生活中，這種0.618的美都處處存在。二、黃金分割在數(shù)學(xué)中的滲透2.1 黃金分割在數(shù)學(xué)學(xué)文化中的應(yīng)用隨著新課程改革的進(jìn)行，數(shù)學(xué)教學(xué)不只是簡(jiǎn)單的知識(shí)傳授，更加注意對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)，使之能被學(xué)生完全領(lǐng)悟并應(yīng)用，進(jìn)而更好的發(fā)揮數(shù)學(xué)的本質(zhì)。黃金分割就是數(shù)學(xué)思想的集中體現(xiàn)，其中特別引人注目的是“數(shù)形結(jié)合”的思想，因此，黃金分割被稱之為神圣的比例，“0

8、.618”同時(shí)也被譽(yù)為黃金數(shù)。數(shù)學(xué)有著極其重要的價(jià)值，其文化價(jià)值的教育目的，就是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時(shí)能夠鑒賞和體會(huì)數(shù)學(xué)的美，促進(jìn)學(xué)生形成好的數(shù)學(xué)觀念，增加對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。下面我們就來了解黃金分割的數(shù)學(xué)價(jià)值。2.2 黃金分割在初中教材中的地位和作用黃金分割是北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第四章相似圖形第二節(jié)的內(nèi)容。本章是繼圖形的全等之后集中研究圖形形狀的內(nèi)容，它與前后有關(guān)幾何部分的內(nèi)容都有著密切的關(guān)系，是對(duì)圖形全等內(nèi)容的進(jìn)一步拓廣與發(fā)展。整個(gè)設(shè)計(jì)目的是引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析生活現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中的相似現(xiàn)象，總結(jié)圖形相似的有關(guān)特征并自覺的應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)之中，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。同時(shí)，通過“圖形的相似”進(jìn)一步豐富學(xué)

9、生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生積極的情感、態(tài)度，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)豐富的人文價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生觀察、分析、歸納、概括的一般能力和審美意識(shí)的發(fā)展。黃金分割這一節(jié)內(nèi)容通過建筑、藝術(shù)等方面的實(shí)例讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系，同時(shí)在教學(xué)中讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、合作與交流以及學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)就變得更為重要。下面我就給大家介紹怎么樣才能計(jì)算出黃金分割比（0.618）它的具體做法是：一、作一線段二、過作一條直線垂直于，在此直線上取，使，并聯(lián)結(jié)。三、以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于。四、以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于，則點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)。以上這種比例性質(zhì)產(chǎn)生了黃金分割，把它從線段推廣到平面圖形，可以發(fā)現(xiàn)不

10、少圖形，因此頗有特點(diǎn)。黃金分割中特別引人注目的是“數(shù)形結(jié)合”的思想，它被世人稱之為和諧性的最完美的表現(xiàn)，“0.618”被譽(yù)為黃金數(shù)、神圣的比例、宇宙的美神。教師在教學(xué)中引用學(xué)生非常熟悉的五角形和舞臺(tái)報(bào)幕員所站位置的現(xiàn)實(shí)情境，將抽象的數(shù)字與其所反映的圖形有機(jī)地結(jié)合起來，通過對(duì)直觀圖形的觀察與分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，進(jìn)一步了解“黃金分割”的數(shù)學(xué)特征。數(shù)學(xué)教學(xué)中用“數(shù)形結(jié)合”的思想引導(dǎo)學(xué)生思考，在培養(yǎng)形象思維能力的同時(shí)，也促進(jìn)了邏輯思維的發(fā)展。 隨著新課程的改革，挖掘數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值將逐步得到確認(rèn)，這也是義務(wù)教育對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的時(shí)代要求。在畢業(yè)后，我們將會(huì)成為數(shù)學(xué)教師，所以我們應(yīng)

11、不斷地加強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，更加深入地研究數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)，努力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。2.3 黃金分割在教材中的實(shí)際應(yīng)用下面繼續(xù)了解黃金分割在教材中的實(shí)際作用，我們以實(shí)際例題來解決有關(guān)黃金分割的理論問題。例1 美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長(zhǎng)于高的比值接近時(shí)，越給人一種美感。例如，某女士身高，下半身長(zhǎng)與身高的比值是，為盡可能達(dá)到好的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（ ） 4cm 6cm 8cm 10cm例2 為了弘揚(yáng)雷鋒精神，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園內(nèi)建造一座高為的雷鋒人體雕像，向全體師生征集設(shè)計(jì)方案，小兵同學(xué)查閱了有關(guān)資料，了解到黃金分割數(shù)常用于人體雕像的設(shè)計(jì)中。小兵同學(xué)根據(jù)黃

12、金分割數(shù)設(shè)計(jì)的雷鋒人體雕像的方案，其中雷鋒人體雕像下部的設(shè)計(jì)高度（精確到，參考數(shù)據(jù)：，） 0.62m 0.76m 1.24m 1.62m例3 校團(tuán)委舉辦“五四手抄報(bào)比賽”。手抄報(bào)規(guī)格統(tǒng)一設(shè)計(jì)成：長(zhǎng)米的黃金矩形（黃金矩形的長(zhǎng)與寬的比是），則寬為 米。例4 哥哥身高米，在地面上的影子長(zhǎng)是米，同一時(shí)間測(cè)得弟弟影子長(zhǎng)米，則弟弟身高是（） 例5 將一矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)23秒時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以相等的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）。（1）用含的代數(shù)式表示，；（2）當(dāng)時(shí)，如圖1，將沿沿翻折，點(diǎn)恰好落

13、在邊上的點(diǎn)處，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，將沿PQ翻折，得到，問：與能否平行？與能否垂直？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，說明理由。我們看完以上幾道題，就可以知道有關(guān)黃金分割的實(shí)際例子很多，在我們初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有極其廣泛的應(yīng)用。為我們解決了很多生活中實(shí)際的難題和問題。2.4 與黃金分割有關(guān)的黃金圖形黃金分割具有很多的優(yōu)點(diǎn)和廣泛的作用，那么黃金分割是如何解決這些問題的，其根本原因是構(gòu)成黃金分割的重要因素的作用，以下是構(gòu)成黃金分割的基本元素：（一）黃金分割點(diǎn)：黃金分割點(diǎn)是分一線段為兩部分，使得原來線段的長(zhǎng)跟較長(zhǎng)的那部分的比為黃金分割的點(diǎn)。線段上有兩個(gè)這樣的點(diǎn)。利用線段上的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，可以作出正五角星，

14、正五邊形等。（二）黃金分割線：由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，并類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個(gè)面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為、，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線。（三）黃金分割三角形：正五邊形對(duì)角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。黃金分割三角形有一個(gè)特殊性，所有的三角形都可以用四個(gè)與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形是唯一一種可以用5個(gè)而不是4個(gè)與其本身全等的三角形，來生成與其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的頂角是，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為。黃金分割三角形分為兩種：一種是等腰三角形，兩個(gè)底角為72頂角為36這種

15、三角形既美觀又標(biāo)準(zhǔn)。這樣的三角形的底與一腰之長(zhǎng)之比為黃金比：。另一種也是等腰三角形，兩個(gè)底角為36頂角為108這種三角形一腰與底邊之長(zhǎng)之比為黃金比：。 （四）黃金矩形：定義：一個(gè)矩形，如果從中截去一個(gè)最大的正方形，剩下的矩形的寬與長(zhǎng)之比，與原來的矩形一樣（及剩下的與原矩形相似）稱具有這種寬與長(zhǎng)之比的矩形為黃金矩形。那么如何求得黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比呢?解：設(shè)黃金比為,則有將 變形為 得出 ，負(fù)值舍掉那么 .2.5 黃金分割與楊輝三角形的聯(lián)系黃金分割與多種數(shù)學(xué)知識(shí)有著密切的聯(lián)系，例如我們下面介紹的楊輝三角形，首先了解什么是楊輝三角形：一、楊輝三角形的定義：楊輝三角形，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，

16、是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。二、楊輝三角形的性質(zhì)：1.每行數(shù)字左右對(duì)稱，由開始逐漸變大，然后變小，回到2.第行的數(shù)字個(gè)數(shù)為個(gè)3.第行數(shù)字和為每個(gè)數(shù)字等于上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和。因此，可用此性質(zhì)寫出整個(gè)帕斯卡三角形。4.將第行第個(gè)數(shù)，跟第行第個(gè)數(shù)、第行第個(gè)數(shù)連成一線，這些數(shù)的和是第個(gè)斐波那契數(shù)。將第行第個(gè)數(shù)，跟第行第個(gè)數(shù)、第行第個(gè)數(shù)這些數(shù)之和是第個(gè)斐波那契數(shù)。5.第行的第個(gè)數(shù)為，第二個(gè)數(shù)為，第三個(gè)數(shù)為，第四個(gè)數(shù)為依此類推?？梢钥闯?，楊輝三角形與黃金分割率有著密切的關(guān)系。三、生活中的黃金分割 0.618，一個(gè)極為迷人而神秘的數(shù)字，而且它還有著一個(gè)很動(dòng)聽的名字黃金分割律，它是古希臘著名哲

17、學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于2500多年前發(fā)現(xiàn)的。古往今來，這個(gè)數(shù)字一直被后人奉為科學(xué)和美學(xué)的金科玉律。在藝術(shù)史上，幾乎所有的杰出作品都不謀而合地驗(yàn)證了這一著名的黃金分割律，無論是古希臘巴特農(nóng)神廟，還是中國(guó)古代的兵馬俑，它們的垂直線與水平線之間竟然完全符合1比0.618的比例?？茖W(xué)家和藝術(shù)家普遍認(rèn)為，黃金律是建筑藝術(shù)必須遵循的規(guī)律。在建筑造型上，人們?cè)诟咚狞S金分割點(diǎn)處建樓閣或設(shè)計(jì)平臺(tái)，便能使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩；而在摩天大樓的黃金分割處布置腰線或裝飾物，則可使整個(gè)樓群顯得雄偉雅致。古代雅典的巴特農(nóng)神殿，法國(guó)的巴黎圣母院，當(dāng)今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔，舉世聞名的法國(guó)巴黎埃菲爾鐵塔

18、，都是根據(jù)黃金分割的原則來建造的。 除了國(guó)外著名的巴特農(nóng)神殿、巴黎圣母院、多倫多電視塔、巴特農(nóng)神殿、埃菲爾鐵塔具有黃金分割外，位于上海黃浦江畔的東方明珠塔同樣有，東方明珠塔是亞洲第一，世界第三高塔，它的塔身竟高達(dá) 462.85 米，仿佛一把刺天長(zhǎng)劍，直沖云霄。要建造這樣高而瘦長(zhǎng)搭塔身，在造型上難免有些單調(diào)，然而設(shè)計(jì)師巧妙地在塔身上裝置了晶瑩耀眼的上球體、下球體和太空艙，它既可供游人登高俯瞰城市景色，又使筆直的塔身有了曲線變化，更妙的是，設(shè)計(jì)師有意將上球體選在295米之間的位置，這個(gè)位置恰好在塔身5比8的地方，這0.618的比值，使塔身顯得非常協(xié)調(diào)、美觀。 在日常生活中，最和諧悅目的矩形，如電視

19、屏幕、寫字臺(tái)面、書籍、衣服、門窗等，其短邊與長(zhǎng)邊之比為0.618，你會(huì)因此比例協(xié)調(diào)而賞心悅目。甚至連火柴盒、國(guó)旗的長(zhǎng)寬比例設(shè)計(jì)，都恪守0.618比值。在音樂會(huì)上，報(bào)幕員在舞臺(tái)上的最佳位置，是舞臺(tái)寬度的0.618之處；二胡要獲得最佳音色。最有趣的是，在消費(fèi)領(lǐng)域中也可妙用0.618這個(gè)“黃金數(shù)”，獲得“物美價(jià)廉”的效果。據(jù)專家介紹，在同一商品有多個(gè)品種、多種價(jià)值情況下，將高檔價(jià)格減去低檔價(jià)格再乘以0.618，即為挑選商品的首選價(jià)格。體型的標(biāo)準(zhǔn)尺度，以古希臘的藝術(shù)珍品“金星女神”為模特兒，具體標(biāo)準(zhǔn)是以肚臍眼為界，向上到頭頂?shù)拈L(zhǎng)度是整個(gè)身長(zhǎng)的0.382倍；向下到腳心的長(zhǎng)度是整個(gè)身長(zhǎng)的0.618倍。人體

20、黃金分割因素包括4個(gè)方面，即18個(gè)“黃金點(diǎn)”，如臍為頭頂至腳底之分割點(diǎn)、喉結(jié)為頭頂至臍分割點(diǎn)、眉間點(diǎn)為發(fā)緣點(diǎn)至頦下的分割點(diǎn)等；15個(gè)“黃金矩形”，如軀干輪廓、頭部輪廓、面部輪廓、口唇輪廓等；6個(gè)“黃金指數(shù)”，如鼻唇指數(shù)是指鼻翼寬度與口裂長(zhǎng)之比、唇目指數(shù)是指口裂長(zhǎng)度與兩眼外眥間距之比、唇高指數(shù)是指面部中線上下唇紅高度之比等；3個(gè)“黃金三角”，如外鼻正面觀三角、外鼻側(cè)面觀三角、鼻根點(diǎn)至兩側(cè)口角點(diǎn)組成的三角等。除此之外，近年國(guó)內(nèi)學(xué)者陸續(xù)發(fā)現(xiàn)有關(guān)的“黃金分割”數(shù)據(jù)，如前牙的長(zhǎng)寬比、眉間距與內(nèi)眥間距之比等，均接近“黃金分割”的比例關(guān)系。專家們認(rèn)為，這些數(shù)據(jù)的陸續(xù)發(fā)現(xiàn)不僅表現(xiàn)人體是世界上最美的物體，而且為美容醫(yī)學(xué)的發(fā)展，為臨床進(jìn)行人