微分的概念教案首頁

1、微分及其運(yùn)算教案 首頁課 次課 型理 論 課章節(jié)§2-2微分及其運(yùn)算教學(xué)目的1、掌握微分的概念和微分的運(yùn)算2、理解微分的幾何意義教學(xué)重 點(diǎn)求解函數(shù)的微分教學(xué)難 點(diǎn)理解微分的概念教學(xué)方 法課堂講授教 具掛 圖PPT授 課班 級授 課日 期相 關(guān)素 材華師大數(shù)學(xué)分析，劉傳寶主編高等數(shù)學(xué)教學(xué)后記1. 作為微積分的首要知識，微分是重中之重，但是由于它與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)，所以它學(xué)習(xí)的難易程度很大取決于對導(dǎo)數(shù)的掌握程度。2. 微分概念理解和推導(dǎo)過程較繁瑣，從課堂情況來看，學(xué)生對于定義理解也較為吃力，這就需要與導(dǎo)數(shù)概念多作比較說明。3. 微分本身定義較難理解，但是微分計(jì)算簡單，只是在求導(dǎo)基礎(chǔ)上稍微變形

2、，但是由于大家對微分定義不熟，所以導(dǎo)致對它的計(jì)算畏懼心理較強(qiáng)。4. 本節(jié)整體思維與第一節(jié)相似，所以應(yīng)在比較類別的基礎(chǔ)上教學(xué)，才能起到舉一反三的效果。微分及其運(yùn)算教案 續(xù)頁教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入（5分鐘）；已知，在時(shí)，？二、新課講授函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)處的變化率，它所描述的是函數(shù)在點(diǎn)處變化的快慢程度。在工程技術(shù)中，有時(shí)還需要了解當(dāng)自變量取一個(gè)微小的增量時(shí)，函數(shù)取得相應(yīng)增量的大小。一般說來，計(jì)算函數(shù)增量的精確值較繁，有時(shí)是相當(dāng)困難的。所以，往往需要找出簡便的計(jì)算方法計(jì)算它的近似值。為此，我們引出微分學(xué)中的另一個(gè)重要概念微分。1、微分的概念（40分鐘）先看一個(gè)具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的

3、影響，其邊長由變到，如圖2-5所示，問此金屬薄片的面積改變了多少？ 圖2-5設(shè)薄片的邊長為，面積為，則。薄片受溫度變化的影響，面積的改變量可以看成是當(dāng)自變量在有增量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的增量，即可以看出，由兩部分組成，第一部分(圖中陰影部分兩個(gè)矩形面積之和)是的線性函數(shù)，且，第二部分(圖中右上角處的小正方形)當(dāng)時(shí)，是的高階無窮小。由此可見；如果邊長改變很微小，即很小時(shí)，面積的改變量可以近似地用第一部分代替，且越小，近似程度越好，這無疑給近似計(jì)算提供了極大的方便。微分及其運(yùn)算教案 續(xù)頁教學(xué)過程撇開這個(gè)例子的實(shí)際意義，對于一般可導(dǎo)函數(shù)而言，我們可以聯(lián)想到兩個(gè)問題：(1)與自變量的增量相對應(yīng)的函數(shù)增量，是否

4、也可表示為的線性函數(shù)(其中不依賴于)與的高階無窮小兩部分之和；(2)其中線性函數(shù)部分的系數(shù)，是否恰好是函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即存在，顯然可得由無窮小的概念，即得（其中）于是有 從上式可看出，我們的聯(lián)想是正確的。同時(shí)我們還能證明，如果函數(shù)當(dāng)自變量在有增量時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量可表示為，且的系數(shù)一定就是。由此，我們引出下面的概念。定義1：如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記作，即此時(shí)我們稱函數(shù)在點(diǎn)處可微。以上的分析及定義說明，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)與它在該點(diǎn)可微是等價(jià)的。特別地，當(dāng)時(shí)，因此我們可以得到自變量的微分等于自變量增量，由此函數(shù)在點(diǎn)處的微分又記作微分及其運(yùn)算教案 續(xù)頁教學(xué)過程如

5、果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可微，則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)可微，并稱函數(shù)為該區(qū)間內(nèi)的可微函數(shù)。函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)處的微分記為 上式又可寫成即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量微分之商，所以導(dǎo)數(shù)又稱微商。例1：求函數(shù)當(dāng)由1變到1.0l時(shí)的微分。解：函數(shù)的微分為由條件知，所以。例2：半徑為r的球，其體積為，當(dāng)半徑增大時(shí)，求體積的增量及微分。解：體積的增量：體積的微分為：。2、微分運(yùn)算（25分鐘）由可知，求微分只要計(jì)算出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分即可。例3：求函數(shù)的微分。解：.例4：求函數(shù)的微分。解：.課堂練習(xí)：求函數(shù)在處的微分，并求在時(shí)的微分（記作）。3、微分的幾何意義（10分鐘） 設(shè)函數(shù)的圖像如圖2-6所示，過曲線上點(diǎn)作曲線的切線MT，切線的傾斜角為。則。由圖可知，當(dāng)有微小增量時(shí)，相應(yīng)地切線的縱坐標(biāo)也有增量QP。微分及其運(yùn)算教案 續(xù)頁教學(xué)過程因此，函數(shù)在點(diǎn)處的微分就是曲線上點(diǎn)處切線MT的縱坐標(biāo)的增量。圖2-6對圖形的觀察分析，我們還發(fā)現(xiàn)：(1)當(dāng)很小時(shí)，也很小，即可用函數(shù)的微分來近似替代函數(shù)的增量。 (2)當(dāng)很小時(shí)，即在