我對(duì)布豐投針概率公式的證明

1、我對(duì)“布豐投針概率公式”的證明索楊軍2008年11月7日注：此文于2008年曾在澄城縣教學(xué)論文大賽中獲獎(jiǎng)。翻閱初三數(shù)學(xué)課本，有幸看到布豐投針試驗(yàn)，非常有趣。在平面上畫(huà)有間距為d的平行線，針的長(zhǎng)度是l，ld，將針隨意投在平面上，求針與平行線相交的概率。早在二百多年前，法國(guó)數(shù)學(xué)家布豐就證得此概率p（2l）/（d），如此簡(jiǎn)潔美麗，令人驚嘆稱奇。經(jīng)過(guò)半天的苦苦思索，終于也證得此式。猛然間看起來(lái)，想證兩條線相交的概率，絕非易事，好似無(wú)從下手，但仔細(xì)想來(lái)，還是有章可循。當(dāng)針的中點(diǎn)O落在平面某一點(diǎn)O 時(shí)，所有的可能性形成了一個(gè)圓，其面積如圖1的S1： S1=l24 此時(shí)，針與平行線相交的所有可能性是兩個(gè)扇形

2、，其面積如圖2的S2： S2=l242cos-12xl=l22cos-12xl 其中，x為O到平行線的距離，看圖2的注解。到此為止，解決問(wèn)題的關(guān)鍵還在于選取一個(gè)最小的基本單元一條豎直線段，這條豎直線段長(zhǎng)d/2，一端在平行線上，見(jiàn)圖3的單元線段。讓O在其上移動(dòng)，這樣，所有的可能性形成一個(gè)圓柱，其體積如圖3的V1： V1=S1d2=l2d8 此時(shí)，針與平行線相交的可能性類似于一個(gè)錐體，其體積的微分如圖4的dV2： dV2=S2dx=l22cos-12xldx 針要與平行線相交，其中點(diǎn)O與平行線距離X不能大于l/2，故：x 0，l 2對(duì)其求定積分，不難得出特殊錐體的體積： V2=0l2dV2=0l2

3、l22cos-12xldx=l34 積分時(shí)要注意扇形半角的范圍，即：0< 于是有 cos-11=02則針與平行線相交的概率為： p=V2V1=2ld 證畢。點(diǎn)評(píng)：從以上證明過(guò)程可以看出，難點(diǎn)不在于計(jì)算，而在于兩次抽象。首先讓針的中點(diǎn)繞基本單元線段上的某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，積分得出兩個(gè)面積之比，然后再讓針在基本單元線段上平動(dòng)，積分得出兩個(gè)體積之比。不久，向一位好友發(fā)出邀請(qǐng)，探求他的新證法，以便交流，看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律。雖然未果，但卻有意外收獲，從他的“概率論”上查得當(dāng)代數(shù)學(xué)家的證明，附錄如下：如圖5所示，設(shè)針與平行線的夾角為，則0；設(shè)針的中點(diǎn)O到平行線的距離為x，則相交時(shí)滿足：xl2sin先保持不變，跟

4、上面的證法類似，讓針的中點(diǎn)O在最小的基本單元線段（一條豎直線段，這條豎直線段長(zhǎng)d/2，一端在平行線上）上平動(dòng)，則點(diǎn)O所有的可能性將形成一條線段軌跡，正好是單元線段本身，如圖6的l1，其長(zhǎng)度： l1 = d 2 此時(shí)，針與平行線相交的可能性也是一條線段軌跡，如圖7的l2，其長(zhǎng)度： l2 =l2sin 然后讓變化（注意：O仍在基本單元線段上），即讓針在0到之間轉(zhuǎn)動(dòng)，則所有的可能性形成一個(gè)矩形，長(zhǎng)為，寬為d/2，其面積如圖8的S1： S1 =d 2 此時(shí)，針與平行線相交的所有可能性是一條正弦曲線與 軸圍成的面積，如圖8的S2，其面積的微分dS2是： dS2=l 2 sind 對(duì)其求定積分，容易得出S

5、2的面積為： S2 =0dS2=0l 2 sind = l 則針與平行線相交的概率為： p=S2S1=2 ld 證畢。注：原證明過(guò)程相對(duì)粗糙，插圖只有5和8，外加一個(gè)綜合算式，較難看懂，為方便讀者透徹理解，筆者增加了圖6、圖7 以及講解部分，且對(duì)圖8進(jìn)行了加工處理。點(diǎn)評(píng)：從以上證明過(guò)程可以看出，難點(diǎn)也不在于計(jì)算，仍在于兩次抽象。首先讓針的中點(diǎn)在基本單元線段上平動(dòng)，積分得出兩個(gè)長(zhǎng)度之比，然后再讓針在基本單元線段上轉(zhuǎn)動(dòng)，積分得出兩個(gè)面積之比。比較兩種證法，獲益匪淺：1. 大同。難點(diǎn)和關(guān)鍵都在于去粗取精、去偽存真，靈活機(jī)動(dòng)地放棄無(wú)窮大平面，緊緊瞄準(zhǔn)一個(gè)基本單元，進(jìn)行單獨(dú)分析，即可迎刃而解，更為神奇的是，二者選中的單元線段竟不謀而合，殊途同歸，難道巧合？絕非，它揭示了投針概率的本質(zhì)特點(diǎn)，也是抽象思維的的必然產(chǎn)物。此外，數(shù)學(xué)工具都涉及到微積分，解題過(guò)程都分為六個(gè)步驟。2. 小異。前者先將線積成面，再將面積成體，得到體積之比；后者直接將針看作點(diǎn)，先將點(diǎn)積成線，再將線積成面，得到面積之比。后者簡(jiǎn)化了一維空間，為何會(huì)造成此差別？根本原因在于顛倒了積分順序，前者先轉(zhuǎn)動(dòng)后平動(dòng)，后者先平動(dòng)后轉(zhuǎn)動(dòng)。平動(dòng)時(shí)可將針抽象為一個(gè)點(diǎn)，而轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)卻不能。總之，不管是思想和方法，還是工具與步驟，都完全一致，只是后者更加抽象，稍難理解卻換來(lái)了計(jì)算量的簡(jiǎn)化，有失有得，得大于失。可見(jiàn)，對(duì)于多重積分，適當(dāng)選取積分順