平面及其方程

1、第五節(jié) 平面及其方程教學(xué)目的：介紹最簡單也是非常這樣的曲面平面，為下學(xué)期學(xué)習(xí)重積分、線面積分打下基礎(chǔ).教學(xué)重點(diǎn)：1.平面的方程2.兩平面的夾角教學(xué)難點(diǎn)：平面的幾種表示及其應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：一平面的點(diǎn)法式方程1平面的法線向量定義：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法線向量.平面內(nèi)的任一向量均與該平面的法線向量垂直.2平面的點(diǎn)法式方程已知平面上的一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)和它的一個(gè)法線向量nA,B,C，對平面上的任一點(diǎn)M(x,y,z)，有向量n，即n代入坐標(biāo)式有：（1）此即平面的點(diǎn)法式方程.1. 例子：求過三點(diǎn)M1（2，1，4）、M2（1，3，2）和M3（0，2，3）的平面方程.解：先找出這平面的法向

2、量n，由點(diǎn)法式方程得平面方程為即：二平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程來表示.平面的一般方程為：幾個(gè)平面圖形特點(diǎn)：二 D0：通過原點(diǎn)的平面.三 A0：法線向量垂直與x軸，表示一個(gè)平行于x軸的平面.同理：B0或C0：分別表示一個(gè)平行于y軸或z軸的平面.四 AB0：方程為CzD0，法線向量0,0,C，方程表示一個(gè)平行于xoy面的平面.同理：AxD0和ByD0分別表示平行于yoz面和xoz面的平面. 五 反之：任何的三元一次方程，例如：5x6y7z110都表示一個(gè)平面，該平面的法向量為n5,6,-7三兩平面的夾角定義：平行于定直線并沿曲線定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面. 定曲線C：準(zhǔn)

3、線動直線L：母線四幾個(gè)常用的結(jié)論設(shè)平面1和平面2的法向量依次為n1A1,B1,C1和n2A2,B2,C2兩平面垂直：（法向量垂直）兩平面平行：（法向量平行）平面外一點(diǎn)到平面的距離公式：設(shè)平面外的一點(diǎn)P0（x0，y0，z0），平面的方程為 ，則點(diǎn)到平面的距離為小結(jié)：平面是本書非常重要的一節(jié)，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)會各種平面的表示方法，了解平面與其法向量之間的關(guān)系等等.§7.7 平面及其方程一 平面的點(diǎn)法式方程若一非零向量垂直于一平面，則稱此向量是該平面的法線向量。顯然，平面上的任一向量均與平面的法線向量垂直。由于過空間一點(diǎn)可以作而且只能作一個(gè)平面垂直于一已知直線。因此，當(dāng)平面上一點(diǎn)和它的一個(gè)法線

4、向量 給定之后，平面的位置就確定下來了。下面，我們來建立這種平面方程。設(shè)是上的任一點(diǎn)，那未，即 而 若設(shè) ，故（1）這表明：平面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程(1)。反過來，若點(diǎn)不在平面上，向量就不垂直于，從而 ，即 亦即：不在平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不適合方程(1)。故，方程(1)就是平面的方程，而平面便是方程(1)的圖形。因?yàn)榉匠?1)是由平面上一點(diǎn)及它的一個(gè)法線向量唯一確定的，因此，方程(1)也稱之為平面的點(diǎn)法式方程。二平面的一般方程注意到，方程(1)是的一次方程，我們可斷言：任一平面都可以用三元一次方程來表示。這是因?yàn)槿我黄矫娑伎梢杂伤姆ň€向量與它上面的一點(diǎn)唯一決定，而平面的點(diǎn)法式方程本身就是三元一

5、次方程。反過來，若有三元一次方程（2）任取滿足該方程的一組數(shù)，即兩式相減得（3）顯然，方程(3)是過點(diǎn)且以為法線向量的平面方程，而方程(2)與方程(3)是同解的，由此可知， 三元一次方程(2)所代表的圖形是平面。方程(2)稱為平面的一般方程 ，該平面的法向量是由的系數(shù)所作成的向量。對于一些特殊的三元一次方程，它們所代表的平面具有一些特殊性。1、當(dāng)時(shí)，(2)式成為，它表示一個(gè)通過原點(diǎn)的平面，因?yàn)榈淖鴺?biāo)顯然適合該方程。2、當(dāng)時(shí)，(2)式成為，法線向量為，因 ，()，故，從而平面 平行于軸。類似地，方程表示平行于軸的平面；方程 表示平行于軸的平面。3、當(dāng)時(shí)，(2)式成為或，法線向量同時(shí)垂直于軸，軸，

6、故方程表示過點(diǎn)，且平行于面的平面。類似地，方程表示過點(diǎn)且平行于面的平面；方程表示過點(diǎn)且平行于面的平面?！纠弧慨嫵鱿铝衅矫娴膱D形(1)、 (2)、 (3)、【例二】求通過軸和點(diǎn)的平面方程。解：平面過軸，則該平面的法線向量垂直于軸，且平面過原點(diǎn)，故設(shè)該平面的方程為 由平面過點(diǎn)，有 將此式代入所設(shè)方程有 約去非零因子，得平面方程注明：為什么呢?若，那么該平面的法線向量，這與平面法線向量必須為非零向量的規(guī)定相矛盾。【例三】設(shè)一平面與軸，軸，軸分別交于三點(diǎn) ，求此平面的方程(其中：)。解：設(shè)所求的平面方程為 ，將三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得及 代入所設(shè)方程有兩邊同除以有(4)方程(4)稱之為平面的截距式方程，

7、而依次稱作平面在軸上的截距。三兩平面間的夾角兩平面的法線向量的夾角稱作兩平面間的夾角。下面，我們闡述一下用兩平面間法線向量的夾角來定義兩平面間夾角的合理性。如圖所示，設(shè)想平面與平面重合在一起的，于是它們的法線向量應(yīng)平行，即 。將平面的一側(cè)向上提起，與之間產(chǎn)生傾角。與此同時(shí)，的法線向量發(fā)生轉(zhuǎn)動，與平面的法線向量產(chǎn)生的角度。下面，我們導(dǎo)出計(jì)算兩平面夾角的公式設(shè)有平面和平面則與的法線向量分別為 ，兩向量間夾角的余弦為(5)由(5)式，立刻可給出如下結(jié)論：1、2、【例四】一平面過兩點(diǎn) 和 且垂直于平面，求它的方程。解：設(shè)所求平面的法線向量為 顯然， 在所求平面上，故 ， ，即又垂直于平面的法線向量，故有解方程組 得：