第八章點(diǎn)的合成運(yùn)動

1、第八章點(diǎn)的合成運(yùn)動§8-1 點(diǎn)的絕對運(yùn)動 相對運(yùn)動和牽連運(yùn)動將一種復(fù)雜的運(yùn)動看成由兩種簡單運(yùn)動的組合圖8-1例：由南岸向北岸劃船，如圖8l。由于水流的影響，小船偏向下游。如相對坐標(biāo)系oxy（順?biāo)鳎〈狈较蛐旭倓t，相對于地面(坐標(biāo)系0xy)，則朝北偏東方向航行。即：小船相對于地面的運(yùn)動，可以由小船相對于水流的運(yùn)動和隨同水流的運(yùn)動組合而成?？梢詺w結(jié)為一個動點(diǎn)對于兩個不同的坐標(biāo)系運(yùn)動的問題。動點(diǎn)：所要研究的點(diǎn)（即研究對象），依問題選??； 動系：和某一運(yùn)動剛體固連的坐標(biāo)系；定系：一般和地球（或機(jī)架）固連的坐標(biāo)系（也稱靜系）； 牽連點(diǎn)： 某瞬時在動坐標(biāo)系上與動點(diǎn)相重合的點(diǎn)，稱為該瞬時動

2、點(diǎn)的牽連點(diǎn)。注意：(1)牽連點(diǎn)和動點(diǎn)是不同剛體上的兩個點(diǎn)；(2)牽連點(diǎn)在不斷變化著。（因?yàn)閯狱c(diǎn)在運(yùn)動，不同瞬時有不同的牽連點(diǎn)例1 汽車內(nèi)行走的人。汽車以速度V向前運(yùn)動，人以速度U相對汽車向前運(yùn)動，研究人的運(yùn)動。從車廂觀察，人的速度為U，從地面觀察，人的速度為VU （圖8-2（a）。圖8-2（a）圖8-2（b）分析這一問題，需注意：一點(diǎn)（動點(diǎn)），二系（動、靜系），三運(yùn)動(絕對、相對、牽連)（牽連點(diǎn)；座位）（圖8-2（b）具體表示三種運(yùn)動的量: 絕對軌跡、絕對位移、絕對速度、絕對加速度相對軌跡、相對位移、相對速度、相對加速度牽連軌跡、牽連位移、牽連速度、牽連加速度三種運(yùn)動的“關(guān)系”： 絕對運(yùn)動 牽

3、連運(yùn)動 相對運(yùn)動 運(yùn)動合成與分解§8-2點(diǎn)的速度合成定理圖8-3設(shè)動點(diǎn)：M，靜坐標(biāo)系oxy（如圖83）某瞬時，動點(diǎn)M與曲線c上的l點(diǎn)重合，一段時間，曲線c隨同動坐標(biāo)系運(yùn)動到M相對運(yùn)動：在動坐標(biāo)系中沿曲線c運(yùn)動，牽連運(yùn)動：曲線c隨動坐標(biāo)系在靜系中運(yùn)動，絕對位移：MM牽連位移：MM1，相對位移：M1M由矢量三角形MM1M可見： MM=MM1+M1M將上式各項(xiàng)同除以t，并取極限，得即： （1）速度合成定理。該式表明：動點(diǎn)的絕對速度等于同一瞬時它的牽連速度與相對速度的矢量和。公式中包含有絕對速度va、牽連速度ve、和相對速度vr的大小和方向共六個未知量，如果知道其中任意四個未知量則另兩個量可

4、求。注意：速度合成定理適用于任何形式的牽連運(yùn)動，應(yīng)用時一定要先做速度平行四邊形，并注意三個速度之間的關(guān)系！va一定是平行四邊形對角線！復(fù)雜運(yùn)動=簡單運(yùn)動+簡單運(yùn)動絕對運(yùn)動=牽連運(yùn)動+相對運(yùn)動圖84例1 圖84所示機(jī)構(gòu)中，曲柄0A長12cm，當(dāng)0A繞軸O以勻角速度7rads轉(zhuǎn)動時，滑套A帶動桿OlB“繞軸O1轉(zhuǎn)動，已知00l20cm，求：O1OA900時，桿01B的角速度。分析：絕對運(yùn)動：滑套A繞軸0的運(yùn)動，相對運(yùn)動：在動坐標(biāo)系中滑套A相對于曲柄的運(yùn)動，牽連運(yùn)動：桿OlB繞軸Ol的轉(zhuǎn)動。解：動點(diǎn)：A（滑套上） ，動系：在曲柄oA上，靜系：在機(jī)構(gòu)的基座上。 根據(jù)速度合成定理可知：va=ve+vr大

5、?。糠较虼怪庇?A垂直于桿OlB沿O1B作如圖8-4所示矢量平行四邊形，可得牽連速度： 再取O1B桿為研究對象，定袖轉(zhuǎn)動的O1B桿與點(diǎn)A相重合的點(diǎn)的速度求出后，即可求出O1B桿角速度為： 圖85例2凸輪機(jī)構(gòu)如圖85所示，凸輪的半徑為r，偏心距OCe。凸輪以角速度繞固定軸O轉(zhuǎn)動，頂桿沿鉛直滑槽運(yùn)動，O軸位于AB的延長線上。求：OCOA時，頂桿AB的速度。分析：頂扦AB作平動，桿上A點(diǎn)的速度就是頂桿AB作平動的速度。絕對運(yùn)動：動點(diǎn)A沿滑槽的直線運(yùn)動，相對運(yùn)動：沿凸輪的輪廓曲線的圓周運(yùn)動，牽連運(yùn)動：凸輪繞固定軸o的定軸轉(zhuǎn)動。解：動點(diǎn)：A（頂桿上），靜系：在機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上動系：在凸輪上，（相對軌跡為凸輪

6、的輪廓曲線）根據(jù)速度合成定理可知：va=ve+vr大??？方向沿鉛直方向垂直轉(zhuǎn)動半徑沿凸輪的輪廓曲線的切線方向畫出速度矢量圖（8-5），即可求出絕對速度（頂桿AB的速度）的大?。鹤ⅲ核俣葓D總為平行四邊形，故一般借助幾何關(guān)系求解（幾何法）。解題步驟：（一）選動點(diǎn)、動系（及靜系可默認(rèn)為地面）；（二）分析動點(diǎn)的各種運(yùn)動，畫運(yùn)動圖（速度、加速度圖）；（三）求解。§8-3 牽連運(yùn)動為平動時的加速度合成定理速度合成定理在前面已經(jīng)得到，這里再系統(tǒng)推一下。圖86動點(diǎn)：M，靜系：Oxyz，動系：O'x'y'z'。靜系中：動系中 ： （i、j、k與i、j、k均為單

7、位矢量）當(dāng)牽連運(yùn)動為平動時，則：由于動坐標(biāo)系作平動，單位矢量方向不變，是常矢量，對時間的導(dǎo)數(shù)為零，于是：而牽連平動時： ，各式聯(lián)立可得： 由此可見；當(dāng)牽連運(yùn)動為平動時，在任一瞬時，動點(diǎn)的絕對加速度等于動點(diǎn)的牽連加速度與相對加速度的矢量和。這就是牽連運(yùn)動為平動時的加速度合成定理。在矢量表達(dá)式中，如有一項(xiàng)可以按切線和法線方向分解，則上式可根據(jù)不同的情況寫成如下形式：或：兩式的區(qū)別在于究竟是相對運(yùn)動還是絕對運(yùn)動的軌跡是曲線。 在以上兩個式子的四個分量中，矢量的大小和方向共八個量，只要不超過兩個未知數(shù)，都能利用解析的方法求出。例3（求速度）圖示機(jī)構(gòu)，半圓凸輪半徑為R，速度為v，已知。求AB桿的角速度。

8、圖87分析：機(jī)構(gòu)運(yùn)動情況：凸輪平動，桿轉(zhuǎn)動。動點(diǎn)選凸輪圓心O，動系選桿可解牽連速度，AB角速度即知。絕對運(yùn)動：沿水平直線運(yùn)動；相對運(yùn)動：與AB 平行的直線運(yùn)動；牽連運(yùn)動：轉(zhuǎn)動。動點(diǎn)、動系有幾種選法？為什么不選其它的？解：動點(diǎn)：凸輪圓心O，動系：AB桿，靜系：地面根據(jù)速度合成定理可畫速度圖（8-7）。且：由速度圖可知：而：圖88例4（求加速度）平行四連桿機(jī)構(gòu)（雙曲柄機(jī)構(gòu)）。AB = CD = r，BC = AD = l，。均已知，求：小環(huán)M的加速度。解： 動點(diǎn)：M，動系：BC桿，靜系：地面可畫加速度圖（圖88）。牽連加速度與B點(diǎn)相同：由加速度合成定理：在y軸上投影： 注意：投影時，方程兩邊應(yīng)分別

9、投影，不能任意移項(xiàng)。§8-4 牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理動點(diǎn)M，靜系Oxyz，動系Oxyz（圖89）。設(shè)動系繞z軸轉(zhuǎn)動，角速度、角加速度 則動點(diǎn)M的牽連速度及牽連加速度可按公式表示為：而：與上一節(jié)不同的是，現(xiàn)在動坐標(biāo)系作轉(zhuǎn)動，單位矢量i、j、k的方向是隨時間而變的，不再是常矢量。根據(jù)速度合成定理，動點(diǎn)M的絕對速度為： 分別研究這兩項(xiàng)：式中：代回前式得：式右邊的前三項(xiàng)之和就是相對加速度，而后三項(xiàng)需要加以說明。 可看成是矢徑k的一點(diǎn)即k的端點(diǎn)的速度，由隨同動坐標(biāo)系繞z軸作轉(zhuǎn)動，因此k的端點(diǎn)的速度可表示為同理：于是：則：因此：上式中的2×vr，是牽連運(yùn)動與相對運(yùn)動

10、相互影響而附加的加速度，稱為科氏加速度。設(shè)以表示科氏加速度，則有：即：科氏加速度等于牽連運(yùn)動的角速度與動點(diǎn)的相對速度的乘積的兩倍。所以，動點(diǎn)的絕對加速度的表達(dá)式為：牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理。這式表明：當(dāng)牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時，在任一瞬時，動點(diǎn)的絕對加速度等于動點(diǎn)的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度三者的矢量和。下面來確定科氏加速度的大小和方向(圖8-10（a）)：空間問題 方向：（右手法則）平面問題方向：沿轉(zhuǎn)90°兩個特殊情況：(1)如果vr，即vr在垂直于z軸的平面內(nèi)，則vrnvr。此時且三者互相垂直，如圖8-10（b）所示。(2)如果vr即vr與z軸平行，則vyn0 此時。例5

11、滑塊M在圓盤內(nèi)沿直槽AB運(yùn)動，圓盤繞垂直于盤面的軸O轉(zhuǎn)動，如圖所示。當(dāng)M在AB中點(diǎn)時，其沿直槽運(yùn)動的速度和加速度分別為vr和，而圓盤轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度分別為和，求該瞬時M對地面的加速度。分析：絕對運(yùn)動M對地面的運(yùn)動，相對運(yùn)動：M在沿直槽的運(yùn)動，牽連運(yùn)動：圓盤轉(zhuǎn)動（圖8-11）。解： 動點(diǎn)：滑塊M，動系：圓盤，靜系：地面。（牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動） 牽連加速度有切向和法向兩個分量。大小為：方向分別如圖所示。相對加速度已知，如圖所示?？剖霞铀俣确较蛉鐖D，大小為：根據(jù)加速度合成定理全加速度大小、方向?yàn)椋?例6（求加速度）凸輪頂桿機(jī)構(gòu)。已知凸輪偏心距OC = e，半徑勻角速度。當(dāng)OC與CA垂直時，求AB的加速度。解：動點(diǎn)：A點(diǎn)（AB上），動系：凸輪，靜系：地面。（牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動）易知=30°，對速度畫加速度圖（8-10）兩個代數(shù)未知量，可解。根據(jù)加速度合成定理，在x逆方向投影：而： 由(1)式，得注