彈性力學(xué)基本概念和考點

1、基本概念：（1） 面力、體力與應(yīng)力、應(yīng)變、位移的概念及正負號規(guī)定（2） 切應(yīng)力互等定理： 作用在兩個互相垂直的面上，并且垂直于改兩面交線的切應(yīng)力是互等的（大小相等，正負號也相同）。（3） 彈性力學(xué)的基本假定： 連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性和小變形。（4） 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變；設(shè)有很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力或約束。同時，體力也平行與板面并且不沿厚度方向變化。這時，由切應(yīng)力互等，這樣只剩下平行于xy面的三個平面應(yīng)力分量，即，所以這種問題稱為平面應(yīng)力問題。設(shè)有很長的柱形體，它的橫截面不沿長度變化，在柱面上受有平行于橫截面且不沿長度變化的面力或約束，同時，體

2、力也平行于橫截面且不沿長度變化，由對稱性可知，根據(jù)切應(yīng)力互等，。由胡克定律，又由于z方向的位移w處處為零，即。因此，只剩下平行于xy面的三個應(yīng)變分量，即，所以這種問題習(xí)慣上稱為平面應(yīng)變問題。（5） 一點的應(yīng)力狀態(tài)；過一個點所有平面上應(yīng)力情況的集合，稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)。（6） 圣維南原理；（提邊界條件）如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠處所受到的影響可以忽略不計。（7） 軸對稱；在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對稱于某一軸（通過該軸的任一平面都是對稱面），則所有

3、的應(yīng)力、變形和位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。一、 平衡微分方程：(1) 平面問題的平衡微分方程；（記）(2) 平面問題的平衡微分方程（極坐標）；1、平衡方程僅反映物體內(nèi)部的平衡，當應(yīng)力分量滿足平衡方程，則物體內(nèi)部是平衡的。2、平衡方程也反映了應(yīng)力分量與體力（自重或慣性力）的關(guān)系。二、 幾何方程；（1） 平面問題的幾何方程；（記）（2） 平面問題的幾何方程（極坐標）；1、幾何方程反映了位移和應(yīng)變之間的關(guān)系。2、當位移完全確定時，應(yīng)變也確定；反之，當應(yīng)變完全確定時，位移并不能確定。（剛體位移）三、 物理方程；（1） 平面應(yīng)力的物理方程；（記）（2） 平面應(yīng)變的物理方程；（3）

4、極坐標的物理方程（平面應(yīng)力）；（4） 極坐標的物理方程（平面應(yīng)變）；四、 邊界條件；（1） 幾何邊界條件；平面問題： 在上；（2） 應(yīng)力邊界條件；平面問題：（記）（3） 接觸條件；光滑接觸： n為接觸面的法線方向非光滑接觸： n為接觸面的法線方向（4） 位移單值條件；（5） 對稱性條件：在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對稱于某一軸（通過該軸的任一平面都是對稱面），則所有的應(yīng)力、變形和位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。一概念1彈性力學(xué)，也稱彈性理論，是固體力學(xué)學(xué)科的一個分支。 2.固體力學(xué)包括理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)、振動理論、

5、斷裂力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)。3基本任務(wù)：研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移及其分布情況等。.4研究對象是完全彈性體，包括桿件、板和三維彈性體，比材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究范圍更為廣泛5.彈性力學(xué)基本方法：差分法、變分法、有限元法、實驗法.6彈性力學(xué)研究問題，在彈性體內(nèi)嚴格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué) 三方面條件，在邊界上考慮邊界條件，求解微分方程得出較精確的解答；.7.彈性力學(xué)中的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形假定。8.幾何方程反映的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系。9.物理方程反映的是應(yīng)力分量與形變分量之間的關(guān)系。10.平衡微分方程反映

6、的是應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。11當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。反之，當形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。12.邊界條件表示在邊界上位移與約束、或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13圣維南原理主要內(nèi)容：如果把物體表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主失量相同，對同一點的主矩也相同），那么只在作用邊界近處的應(yīng)力有顯著的改變，而在距離外力作用點較遠處，其影響可以忽略不計。14. 圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生

7、顯著的應(yīng)力，而遠處的應(yīng)力可以不計。這是因為主失量和主矩都等于零的面力，與無面力狀態(tài)是靜力等效的，只能在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。15.求解平面問題的兩種基本方法：位移法、應(yīng)力法。16.彈性力學(xué)的基本原理：解的唯一性原理解的疊加原理圣維南原理。會推導(dǎo)兩種平衡微分方程17.逆解法步驟：(1)先假設(shè)一滿足相容方程(2-25)的應(yīng)力函數(shù) （2）由式(2-24)，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量 （3）在確定的坐標系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件(2-15)或次要邊界上的積分邊界條件, 分析這些應(yīng)力分量對應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么樣的問題。（或

8、者根據(jù)已知面力確定應(yīng)力函數(shù)或應(yīng)力分量表達式中的待定系數(shù)18.半逆解法步驟：(1)對于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、受力特征和變形的特點或已知的一些簡單結(jié)論，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式(2)按式(2-24)，由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)f的一般形式（含待定函數(shù)項）；(3)將應(yīng)力函數(shù)f代入相容方程進行校核，進而求得應(yīng)力函數(shù)f的具體表達形式；(4)將應(yīng)力函數(shù)f代入式(2-24)，由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量(5)根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應(yīng)力分量是否滿足全填空5.平面問題的應(yīng)力邊界條件為計算理解7.圣維南原理的三個積分式如果給出單位寬度上面力的主矢量和主矩

9、，則三個積分邊界條件變?yōu)?.艾里應(yīng)力函數(shù)計算一、單項選擇題（按題意將正確答案的編號填在括弧中，每小題2分，共10分）1、彈性力學(xué)建立的基本方程多是偏微分方程，還必須結(jié)合（ C ）求解這些微分方程，以求得具體問題的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。A相容方程 B近似方法 C邊界條件 D附加假定2、根據(jù)圣維南原理，作用在物體一小部分邊界上的力系可以用（ B ）的力系代替，則僅在近處應(yīng)力分布有改變，而在遠處所受的影響可以不計。A幾何上等效 B靜力上等效 C平衡 D任意3、彈性力學(xué)平面問題的求解中，平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的三類基本方程不完全相同，其比較關(guān)系為（ B ）。 A平衡方程、幾何方程、物理方程完全相同 B

10、平衡方程、幾何方程相同，物理方程不同 C平衡方程、物理方程相同，幾何方程不同D平衡方程相同，物理方程、幾何方程不同在研究方法方面：材力考慮有限體V的平衡，結(jié)果是近似的；彈力考慮微分體dV 的平，結(jié)果比較精確。4、常體力情況下，用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程形式為，6、設(shè)有函數(shù)，（1）判斷該函數(shù)可否作為應(yīng)力函數(shù)？（3分）（2）選擇該函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)時，考察其在圖中所示的矩形板和坐標系（見題九圖）中能解決什么問題（l >>h）。（15分）題九圖解： （1）將代入相容方程，顯然滿足。因此，該函數(shù)可以作為應(yīng)力函數(shù)。（2）應(yīng)力分量的表達式：考察邊界條件：在主要邊界y±h/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)

11、力邊界條件在次要邊界x0上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：在次要邊界xl上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：對于如圖所示的矩形板和坐標系，結(jié)合邊界上面力與應(yīng)力的關(guān)系，當板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，由主邊界和次邊界上的應(yīng)力邊界條件可知，左邊、下邊無面力；而上邊界上受有向下的均布壓力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶和鉛直面力。所以,能夠解決右端為固定端約束的懸臂梁在上邊界受均布荷載q的問題。 2009 2010學(xué)年第 二 學(xué)期期末考試試卷 （ A ）卷一 名詞解釋（共10分，每小題5分）1. 彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位

12、移。2. 圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。 應(yīng)力符號的規(guī)定為： 正面正向、負面負向為正，反之為負 。4. 彈性力學(xué)中，正面是指 外法向方向沿坐標軸正向 的面，負面是指 外法向方向沿坐標軸負向 的面 。1. （8分）彈性力學(xué)平面問題包括哪兩類問題？分別對應(yīng)哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特征？答：彈性力學(xué)平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類，兩類問題分別對應(yīng)的彈性體和特征分別為： 平面應(yīng)力問題：所對應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的

13、作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量,存在，且僅為x,y的函數(shù)。 平面應(yīng)變問題：所對應(yīng)的彈性體主要為長截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿z軸無變化，只有平面應(yīng)變分量,存在，且僅為x,y的函數(shù)。2. （8分）常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題可進一步簡化為按應(yīng)力函數(shù)求解，應(yīng)力函數(shù)必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程： （2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件，）： （3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。二 問答題(36)1. （12分）試列出圖5-1的全部邊界條件，在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。（板厚） 圖5-1解：在

14、主要邊界上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：，； ，在次要邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件，當板厚時，在次要邊界上，有位移邊界條件：，。這兩個位移邊界條件可以改用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替：，2. （10分）試考察應(yīng)力函數(shù)，能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計體力），畫出圖5-2所示矩形體邊界上的面力分布，并在次要邊界上表示出面力的主矢和主矩。圖5-2解：（1）相容條件：將代入相容方程，顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達式：，（3）邊界條件：在主要邊界上，即上下邊，面力為，在次要邊界上，面力的主失和主矩為 彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主失量和主矩如解圖所示。3. （14分）設(shè)有

15、矩形截面的長豎柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力q, 如圖5-3所示，試求應(yīng)力分量。（提示：采用半逆解法，因為在材料力學(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡單的胡克定律，故可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量 ）圖 5-3解：采用半逆解法，因為在材料力學(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡單的胡克定律，故可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量，(1) 假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。(2) 推求應(yīng)力函數(shù)的形式。此時，體力分量為。將代入應(yīng)力公式有對積分，得， （a） 。 （b）其中，都是的待定函數(shù)。(3)由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將式（b）代入相容方程，得這是y的一次方程，相容方程要

16、求它有無數(shù)多的根（全部豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足），可見它的系數(shù)和自由項都必須等于零。，兩個方程要求， (c)中的常數(shù)項，中的一次和常數(shù)項已被略去，因為這三項在的表達式中成為y的一次和常數(shù)項，不影響應(yīng)力分量。得應(yīng)力函數(shù) (d)（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。， (e)， (f). (g)(5) 考察邊界條件。利用邊界條件確定待定系數(shù)先來考慮左右兩邊的主要邊界條件：，。將應(yīng)力分量式(e)和(g)代入，這些邊界條件要求：，自然滿足； (h) (i)由（h）（i） 得 （j） 考察次要邊界的邊界條件，應(yīng)用圣維南原理，三個積分的應(yīng)力邊界條件為； 得 ， 得 （k）由（h）（j）（k）得 , 將所得A、B、C、

17、D、E代入式（e）（f）（g）得應(yīng)力分量為：， 填空題（每個1分，共10×1=10分）。1彈性力學(xué)的研究方法是在彈性區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)方面建立三套方程，即 方程、 方程以及 方程；在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件，即 邊界條件和 邊界條件。2彈性力學(xué)基本假定包括 假定、 假定、 假定、 假定和 假定。1平衡微分 幾何 物理 應(yīng)力 位移 2連續(xù) 均勻 各向同性 完全彈性 小變形一、 單項選擇題（每個2分，共5×2=10分）。1. 關(guān)于彈性力學(xué)的正確認識是 A   。A. 彈性力學(xué)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中的作用日益重要。B. 彈性力學(xué)從

18、微分單元體入手分析彈性體，因此與材料力學(xué)不同，不需要對問題作假設(shè)。C. 任何彈性變形材料都是彈性力學(xué)的研究對象。D. 彈性力學(xué)理論像材料力學(xué)一樣，可以沒有困難的應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)分析。2. 所謂“完全彈性體”是指   B 。A. 材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律。B. 材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載時間歷史無關(guān)。C. 本構(gòu)關(guān)系為非線性彈性關(guān)系。D. 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足線性彈性關(guān)系。3. 所謂“應(yīng)力狀態(tài)”是指   B 。A. 斜截面應(yīng)力矢量與橫截面應(yīng)力矢量不同。B. 一點不同截面的應(yīng)力隨著截面方位變化而改變。C. 3個主應(yīng)力作用平面相互垂直。D. 不同截面的應(yīng)力不同，因此應(yīng)力矢量是不可確定的。4彈性力學(xué)的基本未知量沒有  C  。 A. 應(yīng)變分量。B. 位移分量。C. 面力分量。D. 應(yīng)力分量。5下列關(guān)于圣維南原理的正確敘述是 D  。A. 邊界等效力系替換不影響彈性體內(nèi)部的應(yīng)力分布。B. 等效力系替換將不影響彈性體的變形。