冪級(jí)數(shù)與歐拉公式的研究

1、學(xué) 士 學(xué) 位 論 文系 別： 應(yīng)用數(shù)學(xué)系 學(xué)科專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名： 賈 晨 運(yùn) 城 學(xué) 院 二 零 一四 年 五 月 冪級(jí)數(shù)與歐拉公式的研究系 別： 應(yīng)用數(shù)學(xué)系 學(xué)科專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名： 賈 晨 指導(dǎo)教師： 常敏慧 運(yùn) 城 學(xué) 院 二 零 一四 年 五 月 冪級(jí)數(shù)與歐拉公式的研究摘 要 冪級(jí)數(shù)是一類形式簡(jiǎn)單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，歐拉公式在各領(lǐng)域的不同形式應(yīng)用廣泛. 復(fù)數(shù)函數(shù)中的歐拉公式將定義與形式完全不同的指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，為我們研究這兩種函數(shù)的相關(guān)運(yùn)算及其性質(zhì)架起了一座橋梁.因此，冪級(jí)數(shù)與歐拉公式這一課題的研究對(duì)實(shí)際科研與應(yīng)用具有重大意義.本文首先對(duì)冪級(jí)

2、數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用進(jìn)行歸納總結(jié)，然后對(duì)歐拉公式特別是復(fù)數(shù)函數(shù)中的歐拉公式的基本知識(shí)及應(yīng)用進(jìn)行歸納總結(jié)，最后探究?jī)缂?jí)數(shù)與復(fù)數(shù)函數(shù)中的歐拉公式的聯(lián)系.關(guān)鍵詞 冪級(jí)數(shù) 歐拉公式 三角函數(shù) 泰勒展開Study of Power Series and Euler's FormulaAbstract Power series is a kind of function series that simple form and a wide range of applications, different forms Euler equations are widely used in various

3、 fields. Euler's formula of complex functions, contact exponential functions and trigonometric functions which have different definitions and forms, to build a bridge for our research about the correlation calculation and its properties in these two functions. Therefore, the study of power serie

4、s with Eulers formula has great significance to the actual research and applications. Firstly, the paper summarized the basic knowledge and application of power series. Then, summarize Euler's formula especially in complex function in the basics and applications. Finally, explore the links betwe

5、en power and Euler's formula of complex function.Keywords power series Euler's formula trigonometric function Taylor power series目 錄引 言1第1章 冪級(jí)數(shù)21.1 定義21.2 性質(zhì)21.3 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開31.4 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用5第2章 歐拉公式82.1 歐拉公式的不同形式82.2 復(fù)數(shù)函數(shù)中的歐拉公式9第3章 冪級(jí)數(shù)與歐拉公式133.1 理論依據(jù)133.2 備用公式133.3 歐拉公式的形成14總 結(jié)15致 謝16參考文獻(xiàn)16引 言冪級(jí)數(shù)是函數(shù)

6、項(xiàng)級(jí)數(shù)中最基本的級(jí)數(shù)，在其收斂區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂，并且具有可逐項(xiàng)積分與可逐項(xiàng)微分等性質(zhì).巧妙利用冪級(jí)數(shù)的展開式及其性質(zhì)把一些較為復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換較為簡(jiǎn)單的形式，在解題時(shí)往往思路清晰、條理清楚.冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是冪函數(shù)，把一個(gè)函數(shù)展開成無窮項(xiàng)等比函數(shù)列求和的形式，不論在函數(shù)的理論研究還是在應(yīng)用方面都有很重要的意義.18世紀(jì)是分析數(shù)學(xué)壯大的世紀(jì)，而歐拉是這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)主將.不僅函數(shù)的第一個(gè)定義是他給出，他還倡用圓周率、對(duì)數(shù)底數(shù)、虛數(shù)單位等數(shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)我們現(xiàn)當(dāng)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生巨大影響。其中歐拉公式在各領(lǐng)域的不同形式在理論和實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛.復(fù)數(shù)函數(shù)中的歐拉公式，在初等數(shù)學(xué)中具有廣泛應(yīng)用，特別是在三角函數(shù)恒

7、等式證明中有重要的應(yīng)用；在高等數(shù)學(xué)中也有極為廣泛的應(yīng)用，而且建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，它將數(shù)學(xué)中最重要的五個(gè)常數(shù)1、0、用一個(gè)公式便連接起來，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.從研究?jī)缂?jí)數(shù)入手，利用求函數(shù)冪級(jí)數(shù)的簡(jiǎn)單方法，即讓函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)和冪級(jí)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)相匹配.由、的冪級(jí)數(shù)，連貫的引出歐拉公式，并就此通俗的引入復(fù)數(shù)的概念，從而，對(duì)冪級(jí)數(shù)與歐拉公式的應(yīng)用展開深入研究.復(fù)數(shù)函數(shù)中的歐拉公式將定義和形式完全不同的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系起來,為我們研究這兩種函數(shù)的相關(guān)運(yùn)算及其性質(zhì)架起了一座橋梁，因此，冪級(jí)數(shù)與歐拉公式這一課題的研究對(duì)實(shí)際科研與應(yīng)用具有重大意義.第1章

8、冪級(jí)數(shù)1.1 定義由冪函數(shù)序列 所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)1.它是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從某種意義上說，它也可以看作是多項(xiàng)式函數(shù)的延伸.冪級(jí)數(shù)在理論和實(shí)際上都有很多應(yīng)用，尤其是在表示函數(shù)方面.特別地，當(dāng)，即是一種重要情形.1.2 性質(zhì)1.2.1 一致收斂性 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則該冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)一致收斂.1 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，且在點(diǎn)（）收斂，則冪級(jí)數(shù)在區(qū)間（）上一致收斂.1特殊地，當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)僅在處收斂.1.2.2 逐項(xiàng)求導(dǎo)和積分后的級(jí)數(shù)設(shè)（） ，（） ，則（）和（）與有相同的收斂半徑（因而有相同的收斂區(qū)間），但未必有相同的收斂域.11.2.3 和函數(shù)的性質(zhì)設(shè)在內(nèi)，則： 在內(nèi)連續(xù)；

9、若級(jí)數(shù)(或)收斂，則在點(diǎn)(或)是左（或右）連續(xù)； 對(duì)，在點(diǎn)可微且有 ； 對(duì)，在區(qū)間上可積，且 .注：當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，無論級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂與否，均有 .21.3 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開1.3.1 定義如果函數(shù)在處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，且對(duì)有（其中為積分型余項(xiàng)或Lagrange余項(xiàng)或Cauchy余項(xiàng)），則函數(shù)可以展開為冪級(jí)數(shù)1，即冪級(jí)數(shù)展開式為： 特殊地，令 ，稱為麥克勞林級(jí)數(shù).1.3.2 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式才是其本質(zhì)上的解析表達(dá)式.以下是部分初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式1： ， （） ， （） ， （） 二項(xiàng)式的展開式：為正整數(shù)時(shí)，為多項(xiàng)式，展開式為其自身；不為正整數(shù)時(shí)，可在區(qū)間內(nèi)展開為 .一

10、般地說，只有少數(shù)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其冪級(jí)數(shù)展開式能直接從定義出發(fā)求解.更多的情況是從已知的展開式出發(fā)，通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法，間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.例1 用間接方法求非初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.3解 以代替展開式中的，得，再逐項(xiàng)求積，可得在上的展開式為1.4 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用1.4.1 理論應(yīng)用 冪級(jí)數(shù)在函數(shù)方面的應(yīng)用近似計(jì)算、積分計(jì)算、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和、求極限、求導(dǎo)、證明不等式、解微分方程、對(duì)數(shù)表的制造、表示某些非初等函數(shù)、推導(dǎo)歐拉公式等.例2 證明不等式，.4證明 因?yàn)椋?，由于，故，例3 解微分方程.4解 設(shè)方程的解為，則將，代入得 原方程的通解為 （，為任意常數(shù)

11、） 在組合數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用在組合數(shù)學(xué)中，用冪級(jí)數(shù)可產(chǎn)生一個(gè)生成函數(shù)，即對(duì)數(shù)列，.5 遞推關(guān)系 例4 已知求解 設(shè)，則設(shè)，則所以， 線性不定方程解的個(gè)數(shù) 組合恒等式 在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用為的階矩，,滿足，此時(shí)用冪級(jí)數(shù)定義的概率母函數(shù).5 進(jìn)行解析延拓把冪級(jí)數(shù)推廣到復(fù)數(shù)域內(nèi)，即為復(fù)數(shù)常數(shù)，則有.它是函數(shù)解析延拓的重要工具，不論用什么方法得到的解析延拓，都可以用冪級(jí)數(shù)解析延拓得到.51.4.2 實(shí)際應(yīng)用 彈性半空間地基上中厚圓板的計(jì)算、傳染病傳播、生物繁殖等.例5 考慮一個(gè)周邊自由圓板，在板中受均布荷載，半徑，板厚，泊松比，彈性模量，泊松比，半空間地基彈性模量，據(jù)這些參數(shù)，可以求得,、分別取到5，即只取

12、級(jí)數(shù)的前六項(xiàng)計(jì)算.代入彈性半空間地基上中厚圓板冪級(jí)數(shù)解法的基本方程組 其中，為板與地基系統(tǒng)的相對(duì)剛度.易解出各系數(shù)，.可得地基反力為：應(yīng)用冪級(jí)數(shù)法求解彈性半空間地基上中厚圓板的彎曲問題，先分別假設(shè)板、地基的解為冪級(jí)數(shù)形式，再采用比較系數(shù)法導(dǎo)出問題求解的代數(shù)方程組，簡(jiǎn)化了計(jì)算.該方法也可推廣到其他軸對(duì)稱荷載作用下彈性半空間上中厚圓板彎曲問題的求解.6第2章 歐拉公式2.1 歐拉公式的不同形式在數(shù)學(xué)歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler公元1707-1783年)發(fā)現(xiàn)的，它們都叫做歐拉公式，分散在各個(gè)數(shù)學(xué)分支之中：分式里，它的形式為 ，其中，當(dāng)時(shí)，式子的值為0；當(dāng)時(shí)，式子的值為1；當(dāng)

13、時(shí)，式子的值為 .平面幾何中，設(shè)的外心為,內(nèi)心為,外接圓半徑為,內(nèi)切圓半徑為,又記外心、內(nèi)心的距離為,則有.拓?fù)鋵W(xué)里，,在空間中是多面體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，是多面體的面數(shù)，是多面體的棱的條數(shù)，是多面體的歐拉示性數(shù)；在平面上是圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，是圖形內(nèi)的區(qū)域數(shù)，是圖形的邊數(shù).在非簡(jiǎn)單多面體中，歐拉公式的形式為：,其中指的是平面上不完整的個(gè)數(shù)，而指的是獨(dú)立的多面體的個(gè)數(shù)，指的是多面體被貫穿的個(gè)數(shù).初等數(shù)論中，歐拉函數(shù)是所有小于的正整數(shù)里，和互素的整數(shù)的個(gè)數(shù).是一個(gè)正整數(shù).可得歐拉公式 ，都是素?cái)?shù)，且兩兩不等.在物理學(xué)中，眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測(cè)算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數(shù)之間的關(guān)系：，其

14、中，表示我們施加的力，表示與其對(duì)抗的力，為自然對(duì)數(shù)的底，表示繩與樁之間的摩擦系數(shù)，表示纏繞轉(zhuǎn)角，即繩索纏繞形成的弧長(zhǎng)與弧半徑之比.2.2 復(fù)數(shù)函數(shù)中的歐拉公式在本文中主要研究復(fù)數(shù)函數(shù)中的歐拉公式及其應(yīng)用，其具體形式為：，是自然對(duì)數(shù)的底，是虛數(shù)單位7.它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”. 復(fù)數(shù)函數(shù)中的歐拉公式在初等數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用，特別是在三角函數(shù)恒等式證明中有重要的應(yīng)用.它在高等數(shù)學(xué)中也有極為廣泛的應(yīng)用，舉例如下:2.2.1 基礎(chǔ)代換計(jì)算例6 計(jì)算下列各式的值 ； .8解 因?yàn)橛蓺W拉公式有，所以.（說明不是

15、虛數(shù)） 在歐拉公式中，取，得所以， ，2.2.2 求高階導(dǎo)數(shù)，求積分根據(jù)復(fù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分的計(jì)算和實(shí)變復(fù)值函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、積分公式的特點(diǎn)，將、等類型函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、積分問題利用歐拉公式轉(zhuǎn)換為的高階導(dǎo)數(shù)、積分問題.例7 設(shè)，其中是常數(shù)，求.8解 構(gòu)造輔助函數(shù)，及，則由歐拉公式得 從而分離其實(shí)部和虛部，即得所求2.2.3 求函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式例8 求函數(shù)的麥克勞林展式.8解 構(gòu)造輔助函數(shù)，及，則的麥克勞林展式為，分離其實(shí)部與虛部得，所以， .2.2.4 求三角級(jí)數(shù)的和函數(shù)例9 求三角級(jí)數(shù)在收斂域上的和函數(shù).8解 設(shè)所求為，構(gòu)造在上收斂的三角級(jí)數(shù)，并設(shè)其和函數(shù)為，于是有 分離其實(shí)部與虛部得，三角級(jí)

16、數(shù)在收斂域上的和函數(shù)為：.2.2.5 求復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)例10 根據(jù)實(shí)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)求復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù).8解 若函數(shù)以為周期，在上連續(xù)或至多有第一類間斷點(diǎn)，若在上至多有有限個(gè)單調(diào)區(qū)間，則其實(shí)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為，其中傅里葉系數(shù)為 ，因?yàn)?，所以在傅里葉系數(shù)的表達(dá)式中，若以代替，有，記，則函數(shù)復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為，其中系數(shù)計(jì)算公式為.2.2.6 求微分方程的通解例11 求微分方程的通解.9解 原方程的特征方程為，即.可知，該特征方程的特征根為，.于是，由歐拉公式及微分方程解的疊加原理得原方程的通解為.其中，是不全為零的常數(shù).第3章 冪級(jí)數(shù)與歐拉公式本部分主要研究復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式與

17、冪級(jí)數(shù)的聯(lián)系，即借助冪級(jí)數(shù)展開式推導(dǎo)歐拉公式.3.1 理論依據(jù)定理1 設(shè)在區(qū)間內(nèi)存在任意階的導(dǎo)數(shù)，冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，則在區(qū)間內(nèi) 成立的充分必要條件是：在這個(gè)區(qū)間內(nèi)， .1定理2 如果函數(shù)能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)展開成冪級(jí)數(shù)，則這個(gè)冪級(jí)數(shù)是唯一的.注意：上述定理中的可以推廣到復(fù)數(shù)域中.3.2 備用公式 ， （） ， （） ， （） 3.3 歐拉公式的形成式中的推廣到復(fù)數(shù)域，考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ，可以證明，該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是絕對(duì)收斂的，它的和為，即 特別地，當(dāng)（為實(shí)數(shù)）時(shí)，可得:即 （） 式中以代替得 （） 從而， 上述都叫歐拉公式10,11，它揭示了三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系.特別地，式中令即得著名

18、的歐拉公式：.克萊茵（Klein，1849-1925，德國(guó)）認(rèn)為，這是數(shù)學(xué)中最漂亮的公式之一.有人把該式列為是個(gè)最優(yōu)美的數(shù)學(xué)定理之首，它把數(shù)學(xué)中最重要的5個(gè)數(shù)0、1、用一個(gè)等式連接起來，顯示了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美，顯示了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域間的強(qiáng)烈聯(lián)系，如：0：正負(fù)數(shù)的分界；1：任意自然數(shù)與它的后繼數(shù)之差；：的根，屬于代數(shù)；：圓周長(zhǎng)與直徑之比，屬于幾何；：時(shí)的極限，屬于分析.因此，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它為“上帝創(chuàng)造的公式”.總 結(jié)冪級(jí)數(shù)與歐拉公式在數(shù)學(xué)的許多定理和計(jì)算中,有著廣泛的應(yīng)用冪級(jí)數(shù)是函數(shù)級(jí)數(shù)中最基本的級(jí)數(shù)，其在其收斂區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂，并且具有可逐項(xiàng)積分與可逐項(xiàng)微分等性質(zhì).巧妙利用冪級(jí)數(shù)的展開式及其性質(zhì)把一些較為復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換較為簡(jiǎn)單的形式，不論在函數(shù)的理論研究還是在應(yīng)用方面都有很重要的意義.歐拉公式在理論和實(shí)際中都有廣泛應(yīng)用，為更好的掌握和應(yīng)用，有必要研究和探討冪級(jí)數(shù)與歐拉公式的聯(lián)系.復(fù)數(shù)函數(shù)中的歐拉公式將定義和形式完全不同的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系起來,為我們研究這兩種函數(shù)的相關(guān)運(yùn)算及其性質(zhì)架起了一座橋梁.掌握冪級(jí)數(shù)與歐拉公式的基本知識(shí)及聯(lián)系，對(duì)于掌握有關(guān)數(shù)學(xué)思想、增強(qiáng)數(shù)學(xué)審美意識(shí)、提高高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)質(zhì)量具有重要意義.因此，有必要對(duì)冪級(jí)數(shù)與歐拉公式這一課題進(jìn)行更深入的探討.致 謝感謝我的大學(xué)，給了