彈性水擊理論

1、第三章：彈性水擊理論如第一章第二節(jié)所述，在管道內(nèi)不穩(wěn)定分析中，把必須考慮管子和一體的彈性的情況稱為彈性水擊，簡(jiǎn)稱水擊。在彈性水擊的情況下，管道各個(gè)截面上流量的變化不僅在時(shí)間上參差不齊，而且數(shù)值上也千差萬(wàn)別， ，情況是十分復(fù)雜的，為了從簡(jiǎn)到繁，本章從第一小段起，然后再研究全液流的情況。第一節(jié) 慣性水擊壓力的計(jì)算這一節(jié)研究在任何一個(gè)界面處，當(dāng)流速發(fā)生DV的變化時(shí)所產(chǎn)生的壓力變化24。從管道上取長(zhǎng)度為DL的微小段加以研究(圖3-1).由于慣性水擊壓力大，在研究此微小段的慣性水擊壓力時(shí)，完全可以忽略其坡度和摩阻，按水平、無(wú)摩阻分析。在穩(wěn)定流動(dòng)中，微小段的水力狀態(tài)如圖3-1a所示，其兩端所受到的壓頭均為

2、H。假定下游毗鄰鄰段產(chǎn)生水擊，流速減小DV，壓頭相應(yīng)地增加DH，如圖3-1b所示。此水擊以a的速度經(jīng)過(guò)Dt的時(shí)間傳到微小段的左端，如圖3-1c所示?？疾煳⑿《卧谒畵舨ㄍㄟ^(guò)前后的壓力變化，即可得到慣性水擊壓力DH的計(jì)算公式。在彈性水擊的情況下，微小段速度的變化時(shí)慣性水擊壓力作用Dt的時(shí)間之后，所以應(yīng)當(dāng)采用沖量變化等于棟梁變化的原理進(jìn)行分析。在水擊波通過(guò)微小段的時(shí)間內(nèi)： 忽略高階微量，可得： 在忽略管子截面的變化，可得： 這里應(yīng)當(dāng)注意，Dt是微小段DL發(fā)生彈性形變和壓力變化所需要的時(shí)間，與前面所述的關(guān)閉閥門快慢等無(wú)關(guān)，例如即使是瞬時(shí)將閥門關(guān)閉，但它產(chǎn)生的壓力波仍需Dt的時(shí)間才能走完DL的路程，因此

3、DL/Dt=a。于是，可以得到慣性水擊壓力的計(jì)算公式： (3-1)式中：CW慣性水擊系數(shù)，第二節(jié) 水擊波傳播速度的計(jì)算一、 純液體中的波速(一)薄壁管(D/d>25)仍用圖3-1所示的微小段，研究DL的長(zhǎng)度發(fā)生管子和液體的彈性變形、速度和壓力變化所需要的時(shí)間Dt，以確定水擊波的傳播速度a。根據(jù)質(zhì)量守恒和連續(xù)性定地，在Dt時(shí)間內(nèi)流入和流出該微小段的液體質(zhì)量的增量，等于該微小段液體質(zhì)量的增量。在Dt時(shí)間內(nèi)流入該微小段的液體的質(zhì)量為：流出微小段液體的質(zhì)量為：忽略高階微量，得：故在Dt時(shí)間內(nèi)多流進(jìn)的質(zhì)量為：再?gòu)囊后w的壓縮和管壁的膨脹來(lái)考察該微小段內(nèi)液體質(zhì)量的變化。在變化以前的質(zhì)量為：在Dt以后的

4、質(zhì)量為：忽略高階微量，得到：液體質(zhì)量的增量為：因?yàn)?，所以：等?hào)兩邊都處以，并用a代替，整理后可得：而，帶入上式并消去DV，得到： (3-2) 下面對(duì)和這兩項(xiàng)在作處理。按照?qǐng)D3-2，在單位長(zhǎng)度上，水擊壓力對(duì)管壁的環(huán)向拉力(T)為，管壁上面的環(huán)向正應(yīng)力為，環(huán)向應(yīng)變?yōu)椋海瑥较蜃冃危?，乘以周長(zhǎng)后，得到面積的增量為：。因此： (3-3)液體密度的變化取決于液體的壓縮性和壓力。液體的壓縮性可以用其體積模量K來(lái)表示： 、式中：V液體的體積。由此可得： (34)將式(3-3) 和(3-4)帶入(3-2)，可得到茹科夫斯基的水擊波傳播速度的公式為： (35)在上述推導(dǎo)中沒(méi)有考慮管道的固定情況，實(shí)際上認(rèn)為在水擊時(shí)

5、管子只是承受環(huán)向正應(yīng)力，截面變形僅僅是由于這個(gè)環(huán)向正應(yīng)力引起的。這對(duì)于設(shè)置有伸縮器，可以自由伸縮的管道是正確的。若管道被固定，由于管道將處于環(huán)向和軸向雙正應(yīng)力的情況下，這樣的推導(dǎo)就有些偏差。對(duì)于一端固定、另一端沒(méi)有固定的管道，水擊壓力對(duì)管道施加軸向拉力，管道上出現(xiàn)軸向正應(yīng)力，使管子截面的變化減少，而管道的長(zhǎng)度將略有增加。哈立維爾在1963年按照有這兩種尺寸的變化，推導(dǎo)出式(3-5)中的應(yīng)為，這里的m是泊松因數(shù)。這樣結(jié)論已經(jīng)被許多文獻(xiàn)引用。但是按照斯特里特后來(lái)的分析3，軸向應(yīng)力對(duì)管徑變化的影響當(dāng)然應(yīng)當(dāng)計(jì)及，管道長(zhǎng)度的影響則不應(yīng)當(dāng)考慮。這可做如下解釋：微笑段長(zhǎng)度的延伸一方面造成容積增大，是液體質(zhì)量

6、完成變化的時(shí)間延長(zhǎng)，從而有降低波速和水擊壓力的趨勢(shì)；另一方面又拖動(dòng)著液流增加流速，加速向微小段補(bǔ)充液體，從而有提高波速和水擊壓力的趨勢(shì)，而這兩種效應(yīng)恰恰互相抵消。因此，式(3-5)中的應(yīng)變?yōu)椤?duì)于全部固定、軸向不能延伸的管道，如埋地管道，則二次性軸向正應(yīng)力會(huì)削弱一次性環(huán)向正應(yīng)力對(duì)管子截面變化的作用，使其變化減小。哈立維爾推倒公式(3-5)終的應(yīng)為。綜上所述，水擊波傳播速度的通用公式為14。 (36)式中：r液體的密度； K液體的體積模量；見表3-1； E管材的彈性模量，鋼材一般取為； D管子的平均內(nèi)徑； d管子的壁厚；y因數(shù)，管道僅一端固定時(shí)；全部固定時(shí)；可自由伸縮時(shí)；m管材的泊松因數(shù)。表3-

7、1 某些液體的體積模量1液體名稱(體積模量)/(0.1MPa)2030405090水23900(24400)22150(22600)21750(22200)丙烷1760(1800)1370(1400)1040(1060)715(730)丁烷3560(3640)3020(3080)2510(2560)2130(2170)汽油9160(9350)7600(7750)煤油13600(13900)12050(12300)潤(rùn)滑油15600(13900)13800(14100)原油7213815相對(duì)密度(0.83)15300(15600)13500(13800)12250(12500)15相對(duì)密度(0.9

8、0)19200(19600)17350(17700)15600(15900)表3-2 某些管材的彈性模量和泊松因數(shù)鋼鑄鐵黃銅鋁合金硬聚氯乙烯橡膠混凝土E(105MPa)2.02.10.81.70.781.10.680.730.240.288´10-50.140.3m0.240.280.250.360.330.450.470.10.15在通用公式里，1/K、yD/(Ed)兩項(xiàng)分別反映液體的彈性、管子的彈性和結(jié)構(gòu)對(duì)波速的影響。某些液體和管材的K、E、m值見表3-1和3-2。前面已經(jīng)指出，對(duì)于一般的鋼制管道，水擊波在水中的傳播速度大約為12001400m/s；在油品中大約為10001100

9、m/s。(二)其它管子對(duì)其它管子仍用公式(3-6)計(jì)算，只需要對(duì)其中的某些參數(shù)作相應(yīng)的變換4。1.厚壁管(D/d<25)因數(shù)y按以下方法確定：管道僅一端固定時(shí)： (37)全部固定時(shí)： (38)可自由伸縮時(shí)： (39)2.圓形隧道可以把圓形隧道當(dāng)作是管壁極厚、全部固定的厚壁管，按式(3-8)，在這種情況下d/D之值較大，等號(hào)右邊的第一項(xiàng)可忽略不計(jì)，于是可簡(jiǎn)化為： (310)3.復(fù)壁管管壁有兩種以上材料的管子稱為復(fù)壁管，例如鋼筋混凝土管，可以把這種管子變換為當(dāng)量均質(zhì)管。下面舉例說(shuō)明變換的方法。圖3-3為夾鋼筒和鋼筋混凝土管。在制造時(shí)收緊鋼筋使內(nèi)層混凝土受預(yù)應(yīng)力(壓應(yīng)力)，故這層混凝土具有彈性

10、，在計(jì)算波速時(shí)應(yīng)予以考慮。外層混凝土沒(méi)有預(yù)正應(yīng)力，可認(rèn)為不能承受拉伸荷載，在計(jì)算波速不予考慮。換算方法如下。(1)把鋼筋“均勻化”，當(dāng)量為一個(gè)壁厚為ds的鋼筒。(2)把壁厚為d1的混凝土內(nèi)襯當(dāng)量為壁厚為的鋼管(3)把鋼筋混凝土管當(dāng)量為d當(dāng)?shù)匿摴埽?(4)以D+d當(dāng)/2作為當(dāng)量管的直徑；(5)用式(3-6)計(jì)算當(dāng)量管的水擊波速。二、 含氣液體內(nèi)的波速液體內(nèi)夾帶有氣體時(shí)，體積模量和密度發(fā)生變化，其變化程度和液體中氣體的含量和所受的壓力有關(guān)系。皮爾索爾推導(dǎo)出了含氣液體內(nèi)的波速公式。推導(dǎo)過(guò)程如下3：流體的體積模量可表達(dá)為： (a)式中DV/V為體積應(yīng)變。對(duì)于液體： (b)對(duì)于氣體： (c)含氣液體的體

11、積為： (d)在增壓DP的作用下，此體積變化為： (e)聯(lián)解(b)（e）四式，可得： (f)就所研究的情況而言，可以認(rèn)為氣體狀態(tài)的變化處于等溫過(guò)程(等于液體的溫度)，故可取K氣=P(P是絕對(duì)壓力)；又,于是式(f)可寫為： (g)將式(g)帶入(a)，可得含氣液體的體積模量為： (h)式(h)中，V氣/V混是在絕對(duì)壓力P下，氣體在單位含氣液體內(nèi)的體積含量。在水里瞬變中，壓力是隨地點(diǎn)和時(shí)間而變的，為了使其他含量獨(dú)立于壓力，宜將體積含量轉(zhuǎn)變?yōu)橘|(zhì)量含量。按照克拉柏龍方程： (i)式中：m氣體的物質(zhì)質(zhì)量 M氣體的摩爾質(zhì)量； R摩爾氣體常數(shù)； T熱力學(xué)溫度。令mu為氣體在單位含氣液體體積內(nèi)的含量，則在體

12、積V混中，氣體的總質(zhì)量為V混mu，于是上式可寫為： (j)將式(j)帶入式(h)中可得： (k)含氣液體的密度為： (l)實(shí)際上，上述推導(dǎo)只有在液體中的含氣量很小時(shí)才能適用，否則就會(huì)形成兩相流，故上式可近似的取為： (m)將式(k)內(nèi)地K液改為K后，仍用1/K混置換式(3-6)內(nèi)地1/K，含氣液體的密度仍可取液體的密度r，則可得到含氣液體的波速公式為： (3-11)聯(lián)解式(3-6)和(3-11)可得： (3-12)式中：a對(duì)給定的系統(tǒng)為常數(shù)，其導(dǎo)出單位為壓力的平方， (3-13)mu單位體積內(nèi)氣體的質(zhì)量；M氣體的摩爾質(zhì)量，其數(shù)值等于氣體的相對(duì)分子量；R摩爾氣體常數(shù)，等于8.31J/(mol.K

13、);T熱力學(xué)溫度，取液體的溫度；P絕對(duì)壓力，取液體的壓力。某些氣體的相對(duì)分子質(zhì)量和摩爾質(zhì)量見表3-3.空氣氧氣氮?dú)鈿錃釩O2水蒸氣相對(duì)分子質(zhì)量約29322824418摩爾質(zhì)量/(g/mol)約29322824418從式(3-12)看出，除了氣體的含量之外，液體壓力對(duì)含氣液體的波速有巨大的影響；波速隨壓力的增大而急劇增加，直至基本上等于純液體內(nèi)的波速。在水力瞬變過(guò)程中，壓力是地點(diǎn)和時(shí)間的函數(shù)，P的具體取法將在下章第四節(jié)討論。例題3-1已知輸水管道的，假定水中含有空氣，其體積含量按標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)計(jì)，試計(jì)算含氣液體在、T=293K下的波速。解：按式(3-6)，水中波速為：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，空氣的密度約為1.2

14、9kg/m3。本例中單位體積內(nèi)的空氣質(zhì)量為按式(3-13):按式(3-12)第三節(jié) 水擊的基本微分方程至此，我們已經(jīng)可以計(jì)算一條管道中的一個(gè)微小段管子在某一時(shí)刻流速變化量為已知時(shí)的慣性水擊壓力。現(xiàn)在，要計(jì)算整條管道上任何一個(gè)截面在任何一個(gè)時(shí)刻的慣性水擊壓力，并能夠計(jì)及摩阻的影響，計(jì)算該處的總壓力。為此，應(yīng)用意大利學(xué)者阿列維于1902年所推導(dǎo)出的水擊基本微分方程，即運(yùn)動(dòng)微分方程和連續(xù)性微分方程14。一、運(yùn)動(dòng)微分方程不穩(wěn)定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程已經(jīng)在第二章反復(fù)的用到了，在那里認(rèn)為它可以描述整條管道，但這里它只能描述一個(gè)微小段，因?yàn)楦魑⑿《蔚牧髁考捌渥兓闆r是千差萬(wàn)別的。從圖3-4所示的管道的管道中取長(zhǎng)度為

15、Dx的微小段液體來(lái)考察，其受力情況如圖3-5所示，液體密度的變化在此分析中影響很小，可以忽略不計(jì)。在時(shí)刻t，該微笑段在管軸方向有以下幾個(gè)作用力：液體壓力： 地心吸引力的軸向分量為：摩擦阻力：從現(xiàn)在起，將摩擦項(xiàng)中的Q2-m，寫成的形式。因?yàn)樵谒畵暨^(guò)程中，流動(dòng)的方向可能改變，而摩擦阻力總是與作用力反向的，況且計(jì)算機(jī)也不能進(jìn)行負(fù)值的2-m次冪的運(yùn)算。設(shè)合力與液流同方向，則有：將F1、F2、F3、Gx、S的值代入，得：該微小段液體的質(zhì)量為rwDx，它在力F的作用下產(chǎn)生加速度d(Q/w)/dt,因?yàn)镼=f(x,t)，按微分法則：由此可建立微小段的運(yùn)動(dòng)方程為：整理得到： (3-14)在實(shí)際的計(jì)算中，動(dòng)水壓

16、力P換成該壓頭距基準(zhǔn)面的高度H更為方便。從圖3-14看出：而在一般的情況下，管道各個(gè)截面的高程不隨時(shí)間變化，可以直接寫成，于是 (3-15)將式(3-15) 帶入(3-14)，得到： (3-16)式(3-16)是完整形式的運(yùn)動(dòng)微分方程。在大多數(shù)情況下，尤其在長(zhǎng)輸管道中，故可以將此式近似的簡(jiǎn)化為： (3-17)運(yùn)動(dòng)微分方程也可以用于剛性水柱理論，這時(shí)，整條管道各個(gè)截面上的流量和流量的變化速率是相同的，不是地點(diǎn)(x)的函數(shù)，于是可將運(yùn)動(dòng)微分方程寫為：將此式整理后進(jìn)行積分，得到：即可得到剛性水柱理論的運(yùn)動(dòng)方程：在運(yùn)動(dòng)微分方程(3-17)中有Q和H兩個(gè)變量，僅有這個(gè)方程不能求解，必須再有一個(gè)方程，就是

17、連續(xù)性方程。二、連續(xù)性微分方程仍取圖3-4所示的微小段進(jìn)行研究，圖3-6表示該微笑容積在時(shí)刻t至?xí)r刻t+Dt期間的平均變化情況。在Dt時(shí)間內(nèi)，流入該微小段的液體質(zhì)量為：流出該微小段的液體質(zhì)量為：故在Dt時(shí)間內(nèi)多流進(jìn)的質(zhì)量為（忽略高階微量）： 又因?yàn)?，假定該微小時(shí)刻液體在時(shí)刻t具有平均截面積w和平均密度r，此時(shí)刻的液體質(zhì)量為：而在t+Dt時(shí)刻，液體的質(zhì)量為：液體的質(zhì)量的增量為(忽略高階微量)：因?yàn)?，所以可得：等式兩邊同時(shí)除以rw，并用dx/dt表示V，整理后可得：式中，第一項(xiàng)的括號(hào)等于dw/dt，第二項(xiàng)的括號(hào)等于，于是該式可寫為： (3-18)式(3-18)中，第一項(xiàng)描述管道截面積隨時(shí)間變化的情

18、況，由式(3-3)可得： (3-19)式(3-18)中，第二項(xiàng)描述密度隨時(shí)間變化的情況，由式(3-4)可得： (3-20)將(3-19)和(3-20)帶入 (3-18)可得到： (3-21)而按照(3-5)，故上式可以寫為： (3-21a)現(xiàn)在對(duì)這一項(xiàng)進(jìn)行分析。從理論上講，。這就是說(shuō)，水擊的連續(xù)性方程中有管道的坡度項(xiàng)，過(guò)去的文獻(xiàn)一直是按照此方法處理的。但是后來(lái)懷利教授分析10，從水擊計(jì)算所采用的方法來(lái)看，水擊的連續(xù)性方程中不應(yīng)該有坡度項(xiàng)。因?yàn)樗畵粲?jì)算通常是在穩(wěn)態(tài)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，以穩(wěn)定流動(dòng)為初始條件；而在穩(wěn)定流動(dòng)的連續(xù)性方程中，一般即既忽略水力坡降線的影響，又忽略管道坡度的影響，即把動(dòng)水壓力的影

19、響忽略不計(jì)，按管道各截面上的體積流量相同來(lái)處理。為了使瞬態(tài)連續(xù)性方程與穩(wěn)態(tài)的連續(xù)性方程相銜接，也應(yīng)將管道坡度的影響去掉，因此： (3-22)將式(3-22)帶入(3-21a)，并以流量置換流速，得到： (3-21a)應(yīng)為H=f(x,t),，故上式可寫成： (3-23)式(3-23)是完整形式的連續(xù)性微分方程，在大多數(shù)情況下，尤其在長(zhǎng)輸管道中，可以將此式近似簡(jiǎn)化為 (3-24)三、水擊基本微分方程組綜上所述，水擊的基本微分方程為：(一)、完整的運(yùn)動(dòng)方程： (3-25)連續(xù)性方程： (3-26)(二)、近似的運(yùn)動(dòng)方程： (3-27)連續(xù)性方程： (3-28)基本微分方程組全面而確切地描述了水擊過(guò)程

20、中各個(gè)變量之間的關(guān)系，但是難以得到分析解。四、波動(dòng)方程由于水擊基本微分方程組難以求解，早期求助于忽略某些項(xiàng)而得到近似解。最有名的是忽略近似方程組中的摩阻項(xiàng)而得到的波動(dòng)方程1，3，它是形形色色的圖解法的理論基礎(chǔ)。在有了特征線解法的今天，波動(dòng)方程及圖解法已經(jīng)黯然失色，因此我們只對(duì)此作簡(jiǎn)要的介紹，目的在于承前啟后，并借助之說(shuō)明水擊基本微分方程的物理意義。近似的水擊基本微分方程組忽略摩阻項(xiàng)后可寫為：運(yùn)動(dòng)方程： (3-29)連續(xù)性方程： (3-30)將公式(3-29)對(duì)x求導(dǎo)，得到： (3-31)將公式(3-30)對(duì)t求導(dǎo)，得到： (3-32)聯(lián)解式(3-31)和式(3-32)消去Q，得到： (3-33

21、)用類似的方法，將式(3-29)對(duì)t求導(dǎo)，式(3-30)對(duì)x求導(dǎo)，小區(qū)H，得： (3-34) 式 (3-33)和式(3-34) 具有波動(dòng)方程的形式，由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(Reiman)解出，為： (3-35) (3-36)波動(dòng)方程給出了管道任意截面x在任一時(shí)刻t的壓頭和流量的變化值，說(shuō)明它們的變化是和這兩個(gè)波合成的結(jié)果，前者叫做直接波，后者叫做反射波。直接波和反射波都是t和x的函數(shù)，但具體數(shù)值則完全有邊界條件決定，與t和x的值無(wú)關(guān)。現(xiàn)以圖(3-7)作略為具體的描述。假設(shè)在t=0的時(shí)刻將終端閥門關(guān)閉，則在閥門處產(chǎn)生慣性水擊壓頭，用函數(shù)F(t+x/a)來(lái)代表，此函數(shù)為F(0+L/a)= F(L/a)=DH。到了時(shí)刻t，波行駛到L-x處，x=L-at，,波峰依然是F(L/a)所代表的DH。這個(gè)波是隨時(shí)間向上游推進(jìn)的。在t<L/a的時(shí)間內(nèi)，沒(méi)有反射波，即f(t-x/a)=0。當(dāng)t=L/a時(shí)，產(chǎn)生反射波-DH，用函數(shù)f(L/a-0/a)代表，f(L/a)=- DH。不難證明，這個(gè)波是隨時(shí)間向下游推進(jìn)的，且都是f(L/a)。由此可見，當(dāng)管道突然關(guān)閉閥門產(chǎn)生水擊時(shí)，在忽略摩阻的情況下，管道各截面上壓頭和流量的變化是數(shù)值不變的兩個(gè)波來(lái)回傳播的結(jié)果。緩慢關(guān)閉閥門的分析可以按這個(gè)原理進(jìn)行。第四節(jié) 水擊波衰減和管道充裝已經(jīng)知道，對(duì)于水力摩阻接近于、甚至大大超過(guò)水擊壓力的管道，忽略摩阻