數(shù)學(xué)建模差分方程混沌現(xiàn)象的起源

1、 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 混沌混沌-差分形式的阻滯增長(zhǎng)差分形式的阻滯增長(zhǎng) 模模 型型 差分方程模型差分方程模型 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問(wèn)問(wèn) 題題供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價(jià)格下降價(jià)格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量?jī)r(jià)格上漲價(jià)格上漲供不應(yīng)求供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律數(shù)量與價(jià)格在振蕩數(shù)量與價(jià)格在振蕩蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時(shí)段商品數(shù)量

2、；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系消費(fèi)者的需求關(guān)系)(kkxfy 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)需求函數(shù)f與與g的交點(diǎn)的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設(shè)設(shè)x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)gfKKxy0

3、y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線點(diǎn)附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致)(00 xxyykk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價(jià)格上漲幅度價(jià)格上漲幅度)(001yy

4、xxkk 價(jià)格上漲價(jià)格上漲1單位單位, (下時(shí)段下時(shí)段)供應(yīng)的增量供應(yīng)的增量考察考察 , 的含義的含義 消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度 生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格1經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價(jià)格不變以行政手段控制價(jià)格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控

5、制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。)(00 xxyykk生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyh

6、x48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來(lái)的條件比原來(lái)的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣 分岔與混沌分岔與混沌內(nèi)容目錄 哲學(xué)與研究 分形幾何的產(chǎn)生 混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)哲學(xué)與研究 哲學(xué)是人類認(rèn)識(shí)世界的最高層次的思考。 尋找世界的本原問(wèn)題； 人類在世界中的位置，即人類作為認(rèn)識(shí)的主體在研究中的重要性。 了解哲學(xué)是從總體上、大局上把握世界；把握研

7、究的方向，不至于走入死胡同。付里葉變換 Fourier是法國(guó)大革命時(shí)期的數(shù)學(xué)家，他在頻譜分析領(lǐng)域做有卓越的貢獻(xiàn)。 在當(dāng)時(shí)，拿破侖時(shí)代，科學(xué)界流行一種哲學(xué)：世界是有“基元”組成的，任何一種物質(zhì)只是基元的加權(quán)的代數(shù)和?；鞘裁矗?運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)的一種存在形態(tài)，也應(yīng)該具有一種相同的特性，即運(yùn)動(dòng)應(yīng)由基元組成。付里葉變換（續(xù)） Fourier通過(guò)研究“振動(dòng)弦”的運(yùn)動(dòng)得出一個(gè)規(guī)律：即振動(dòng)弦的運(yùn)動(dòng)可以分解為多個(gè)“正弦”信號(hào)的和。 又通過(guò)對(duì)很多現(xiàn)象的研究，F(xiàn)ourier得出一個(gè)結(jié)論：任何一個(gè)信號(hào)可以分解為多個(gè)“簡(jiǎn)諧周期函數(shù)”的加權(quán)和，而sin(x)、cos(x)是最簡(jiǎn)單的“簡(jiǎn)諧周期函數(shù)”。付里葉變換（續(xù)） 由此

8、，付里葉得出如下的結(jié)論：)cos()sin(2)(0nwtibnwtaatfnnn任意時(shí)間周期信號(hào)基元權(quán)值常量付里葉變換（續(xù)） 從當(dāng)時(shí)的角度（哲學(xué)觀點(diǎn)）來(lái)看，是任何一個(gè)信號(hào)可以表示為“正弦”信號(hào)的加權(quán)和，符合哲學(xué)觀點(diǎn)，推導(dǎo)正確。 當(dāng)Fourier將論文提交給法國(guó)研究院，由Lagrange等三名數(shù)學(xué)家組成的委員會(huì)沒(méi)有允許該論文的發(fā)表，原因是該數(shù)學(xué)推導(dǎo)不嚴(yán)格， Lagrange提出對(duì)于處處不可導(dǎo)的信號(hào)（函數(shù)）該理論不成立。結(jié) 論 在世界是由基元組成這一哲學(xué)思想下，產(chǎn)生了一系列的十分有效的技術(shù)，可見(jiàn)哲學(xué)對(duì)研究的意義。 相反，如果沒(méi)有一種哲學(xué)思想，我們的研究如何歸納總結(jié)出一種一般的規(guī)律？總結(jié)出的規(guī)律正

9、確與否？ 馬恩格思。數(shù)學(xué)分析八講兩個(gè)重要的現(xiàn)象研究對(duì)象 歐幾里得幾何學(xué)的研究對(duì)象是具有特征長(zhǎng)度的幾何物體： 一維空間：線段，有長(zhǎng)度，沒(méi)有寬度； 二維空間：平行四邊形，有周長(zhǎng)、面積； 三維空間：球，表面積、體積； 自然界中很多的物體具有特征長(zhǎng)度，諸如：人有高度、山有海拔高度等。研究對(duì)象 有一類問(wèn)題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？英國(guó)的海岸線地圖研究對(duì)象（續(xù)） 當(dāng)你用一把固定長(zhǎng)度的直尺(沒(méi)有刻度)來(lái)測(cè)量時(shí)，對(duì)海岸線上兩點(diǎn)間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來(lái)近似。因此，測(cè)得的長(zhǎng)度是不精確的。 如果你用更小的尺子來(lái)刻畫(huà)這些細(xì)小之處，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些細(xì)小之處同樣也

10、是無(wú)數(shù)的曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細(xì)小曲線就越多，你測(cè)得的曲線長(zhǎng)度也就越大。 如果尺子小到無(wú)限，測(cè)得的長(zhǎng)度也是無(wú)限。 研究對(duì)象（續(xù)） 得到的結(jié)論是：海岸線的長(zhǎng)度是多少：決定與尺子的長(zhǎng)短。 海岸線的長(zhǎng)度是無(wú)限的！ 而顯然海岸線的面積為零； 而我們確實(shí)看到了海岸線的存在，而且海岸線應(yīng)該是有界的。 海岸線什么有界？（長(zhǎng)度、面積、體積顯然無(wú)界）。Koch 曲線Koch 曲線（續(xù)） Koch曲線曾經(jīng)在數(shù)學(xué)界成為一個(gè)魔鬼。 同樣的道理：長(zhǎng)度無(wú)限、面積為零、而曲線還有“界”。 另外，有一個(gè)特點(diǎn)：當(dāng)取其中的一部分展開(kāi)，與整體有完全的自相似性，似乎是一個(gè)什么東西的無(wú)數(shù)次的自我復(fù)制。自然界

11、中的其他事物 取下一片蕨類植物葉子似乎與整體有某種相似性。 England的海岸線從視覺(jué)上也感覺(jué)有某種自相似性分形幾何學(xué)的產(chǎn)生分形幾何學(xué)的產(chǎn)生混沌的思想混沌 -由一定的非線性作用導(dǎo)致，在確定性系統(tǒng) 中出現(xiàn)極其複雜、貌似無(wú)規(guī)的運(yùn)動(dòng)。混沌的產(chǎn)生 下面是著名的洛倫茲吸引子。洛倫茲(E.N.Lorenz)是當(dāng)代世界知名的動(dòng)力氣象學(xué)家、混沌理論的少有幾位創(chuàng)立者之一。他在1963年發(fā)表的關(guān)于混沌理論的開(kāi)創(chuàng)性研究在被冷落了12年之久以后才得到廣泛承認(rèn)，并很快引發(fā)對(duì)混沌研究的熱潮，由此誕生和發(fā)展起了一門新興學(xué)科混沌理論，成為現(xiàn)代新興學(xué)科的代表。洛倫茲吸引子方程如下： Lorenz動(dòng)力方程式 dx / dt =

12、 -(x y) dy / dt = -xz + x y dz / dt = xy bz x, y, z : 速度、溫度、溫度梯度 ,b : 確定的控制參數(shù) 運(yùn)動(dòng)軌跡 確定性 繞A、B兩點(diǎn) 進(jìn)入混沌進(jìn)入混沌一維邏輯斯蒂映射一維邏輯斯蒂映射 映射(mapping)也叫迭代(iteration) xn+1=2xn，若x1=3 ,則x2=6，x3=12。 從控制系統(tǒng)的角度看，這也叫反饋(feedback)，把輸出當(dāng)作輸入，不斷滾動(dòng)。很容易想到，反饋的結(jié)果有若干種： 發(fā)散的、收斂的、周期的等等。 但是我們要問(wèn)一下，一共有多少種可能的運(yùn)動(dòng)類型?是否存在既不收斂也不發(fā)散，也不周期循環(huán)的迭代過(guò)程?這就是有界非

13、周期運(yùn)動(dòng)，它與混沌有關(guān)這就是有界非周期運(yùn)動(dòng)，它與混沌有關(guān))1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk 差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長(zhǎng)模型的阻滯增長(zhǎng)模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與與r大小無(wú)關(guān)大小無(wú)關(guān))離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時(shí)刻的數(shù)量時(shí)刻的數(shù)量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點(diǎn)是平衡點(diǎn)kkyNrrx) 1( 1rb

14、記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)brrx111*(1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn) x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)1

15、)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí)一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調(diào)增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不不穩(wěn)定穩(wěn)定另一平衡另一平衡點(diǎn)為點(diǎn)為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振蕩地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2數(shù)值計(jì)算結(jié)果數(shù)值計(jì)算結(jié)果b