高數(shù)選修2-3第二章2.1隨機變量及其分布（教師版）

1、.隨機變量及其分布_1.理解隨機變量的概念.2.純熟掌握隨機變量的概率分布及其性質(zhì).3.能純熟應(yīng)用兩點分布.4.能純熟運用超幾何分布.1.隨機變量:一般地，假如隨機試驗的結(jié)果，可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，通常用大寫拉丁字母X，Y，Z或小寫希臘字母等表示，而用小寫拉丁字母x，y，z加上適當下標等表示隨機變量取的可能值.注意:1一般地，一個試驗假如滿足以下條件：i試驗可以在一樣的情形下重復(fù)進展；ii試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；iii每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.這種試驗就是個隨機試驗，為了方便起見，

2、也簡稱試驗.2所謂隨機變量，即是隨機試驗的試驗結(jié)果與實數(shù)之間的一個對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系是人為建立起來的，但又是客觀存在的.這與函數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的，只不過在函數(shù)概念中，函數(shù)fx的自變量是實數(shù)，而在隨機變量的概念中，隨機變量的自變量是試驗結(jié)果.3一般情況下，我們所說的隨機變量有以下兩種：假如隨機變量所有可能的取值都能一一列舉出來，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.假如隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.4離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的區(qū)別：離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量都用來刻畫隨機試驗所出現(xiàn)的結(jié)果，但二者之間又有著根本的區(qū)別：對于離散型隨機變量來說，它所可

3、能取的值為有限個或至多可列個，或者說能將它的可能取值，按一定次序一一列出，而連續(xù)型隨機變量可取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，我們無法將其中的值一一列舉.2.隨機變量的概率分布一般地，假定隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是且，那么稱為隨機變量X的概率分布列.3.隨機變量概率分布的性質(zhì)1對于隨機變量的研究，我們不僅要知道隨機變量取哪些值，隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果，而且需要進一步理解隨機變量：取這些值的概率.2隨機事件A的概率滿足0PA1，必然事件U的概率PU=1.假設(shè)離散型隨機變量X所有可能取的值為X取每一個值i=1，2，n的概率為不滿足上述兩條性質(zhì)的分布列一定是錯誤的，即分布列滿足上述兩條

4、性質(zhì)是該分布列正確的必要不充分條件.3由離散型隨機變量分布列的概念可知，離散型隨機變量各個可能的取值表示的事件是互斥的.因此，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.4.兩點分布假如隨機變量X的概率分布為：X10Ppq其中0<p<1，q=1-p，那么稱隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布.1兩點分布又稱0-1分布.2兩點分布的應(yīng)用非常廣泛，如抽取的彩券是否中獎、買回的一件產(chǎn)品是否為正品、新生嬰兒的性別、投籃是否命中等等，都可用兩點分布來研究.5.超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，那么PXk，k0，1，2，m，其中mmin

5、M，n，且nN，MN，n，M，NN*，稱隨機變量X服從超幾何分布.X01mP類型一.隨機變量及其概率分布例1：下面給出四個隨機變量：一高速公路上某收費站在1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；一個沿直線y=x進展隨機運動的質(zhì)點，它在該直線上的位置；某無線尋呼臺1分鐘內(nèi)接到的尋呼次數(shù)；1天內(nèi)的溫度其中是離散型隨機變量的是A.B.CD.答案C解析中的隨機變量可能取的值為有限個，而能取到一區(qū)間內(nèi)的一切值.寫出以下各隨機變量的可能取值，并說明隨機變量所取的值所表示的隨機試驗的結(jié)果：例2：1從一個裝有編號為1到10的10個球的袋中，任取1球，被取出的球的編號為X；2一個袋中裝有10個紅球，5個白球，從中任取4個球，其中

6、所含紅球的個數(shù)為X；解析1X的可能取值為1，2，3，10，X=kk=1，2，10表示取出第k號球.2X的可能取值為0，1，2，3，4，X=k表示取出k個紅球，4-k個白球，其中k=0，1，2，3，4.練習(xí)1：寫出以下隨機變量的可能取值，并說明隨機變量所取的值所表示的隨機試驗的結(jié)果：拋擲甲、乙兩枚骰子，所得點數(shù)之和為X.解析X的可能取值為2，3，4，12，假設(shè)以i，j表示拋擲甲、乙兩枚骰子后骰子甲得i點且骰子乙得j點，那么X=2表示1，1；X=3表示1，2，2，1；X=4表示1，3，2，2，3，1；X=12表示6，6.練習(xí)2：一袋中裝有5個球，編號分別為1，2，3，4，5，從袋中同時取3個球，用

7、表示取出的3個球中的最大號碼，寫出隨機變量的概率分布.解析根據(jù)題意可知隨機變量的可能取值為3，4，5.當時，即取出的3個球中最大號碼是3，那么其他兩球的編號只能是1，2，故有當時，即取出的3個球中最大號碼是4，那么其他兩球只能在編號為1，2，3的球中取，故有當時，即取出的3個球中最大號碼為5，那么其他兩球只能在編號為1，2，3，4的四個球中取，故有綜上可得的概率分布如下表：345P類型二.隨機概率分布的性質(zhì)例3：判斷以下表格是否是隨機變量的概率分布.X-3-2-1012P0.10.20.30.20.10.2解析不是隨機變量的概率分布，因為0.1+0.2+0.3+0.2+0.1+0.2=1.11

8、.練習(xí)1：判斷以下表格是否是隨機變量的概率分布.01234P-0.300.30.50.5解析不是隨機變量的概率分布，因為-0.3<0，不符合隨機變量概率分布的性質(zhì).類型三.兩點分布例4：設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量去描繪1次試驗的成功次數(shù)，那么等于A.0B.C.D.答案C練習(xí)1：在拋擲一枚硬幣的隨機試驗中，令假如正面向上的概率為p；試寫出隨機變量X的概率分布表.解析由分布列的性質(zhì)可知，正面向上的概率為p，那么正面向下的概率是1-p，于是隨機變量X的概率分布表是：X10Pp類型四.隨機變量的概率分布性質(zhì)的應(yīng)用例5：設(shè)隨機變量的概率分布為=akk=1，2，3，4，5.1求常數(shù)

9、a的值；2求3求解析解：題目所給概率分布表為：Pa2a3a4a5a1由a+2a+3a+4a+5a=1，得a=2或3因為所以故練習(xí)1：袋中有1個白球和4個黑球，每次從中任取一個球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球為止.求取球次數(shù)X的概率分布表.解析X的可能取值為1，2，3，4，5，那么第1次取到白球的概率為PX=1=，第2次取到白球的概率為PX=2=第3次取到白球的概率為PX=3=第4次取到白球的概率為PX=4=5次取到白球的概率為：PX=5=所以X的概率分布表是：類型五.超幾何分布例6：設(shè)有產(chǎn)品100件，其中有次品5件，正品95件，現(xiàn)從中隨機抽取20件，求抽到次品件數(shù)的分布表.解析從100

10、件產(chǎn)品中隨機抽取20件，抽到次品件數(shù)是一個離散型的隨機變量，其次品件數(shù)可能是0、1、2、3、4、5.依題意，隨機變量次品件數(shù)服從超幾何分布，所以，從100件產(chǎn)品中抽取20件，其中有k件次品的概率為P=k=k=0，1，2，3，4，5.所以所以所以的分布表為：012345P0.31930.42010.20730.04790.00520.0002練習(xí)1：在20件產(chǎn)品中，有15件是一級品，5件是二級品，從中任取3件，其中至少有1件為二級品的概率是多少？解析設(shè)表示二級品的件數(shù)，所以1.拋擲2顆骰子,假如將所得點數(shù)之和記為那么=4表示的隨機試驗結(jié)果是A.2顆都是4點B.1顆是1點,另1顆是3點C.2顆都是

11、2點D.1顆是1點,另1顆是3點,或者2顆都是2點答案2.隨機變量是1個無線尋呼臺1min內(nèi)接到的尋呼次數(shù);隨機變量是某工廠加工的某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑間的尺寸誤差;隨機變量是測量1名學(xué)生身高所得的數(shù)值準確到1cm;隨機變量是1個沿數(shù)軸進展隨機運動的質(zhì)點的坐標,那么這4個隨機變量中,離散型隨機變量的個數(shù)是A.1B.2C.3D.4答案.命題p:離散型隨機變量只能取有限個值;命題q:只能取有限個值的隨機變量是離散型隨機變量;命題r:連續(xù)型隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值;命題s:可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值的隨機變量是連續(xù)型隨機變量,這四個命題中真命題的個數(shù)是A.1B.2C.3D.4答案.隨機變量

12、的分布列為=A.B.C.D.答案.以下變量中，不是隨機變量的是A.某人投籃6次投中的次數(shù)B.某日上證收盤指數(shù)C.標準大氣壓下，水沸騰時的溫度D.某人早晨在車站等出租車的時間答案6.有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，假設(shè)從20個零件中任取3 個，那么至少有一個是一等品的概率是A.B.C.D.以上均不對答案D7.在15個村莊中，有7個村莊交通不太方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，以下概率中等于的是A.B.C.D.答案C8.假如隨機變量的分布列2,3,4,那么_.答案_根底穩(wěn)固1.假如是一個離散型隨機變量，那么以下命題中不正確的選項是A.取每個可能值的概

13、率都是非負實數(shù)B.取所有可能值的概率之和為1C.取在某一范圍內(nèi)的值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和D.取在某一范圍內(nèi)的值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和答案2.袋中有完全一樣的5個鋼球，分別標有1、2、3、4、5五個號碼，任意抽取2個球，設(shè)2個球號碼之和為，那么所有可能取值的個數(shù)是A.25B.10C.7D.6答案3.盒中有10個螺絲釘，其中有3個是壞的，現(xiàn)從盒中隨機地抽取4個，那么等于A.恰有1個是壞的的概率B.恰有2個是好的的概率C.4個全是好的的概率D.至多有2個是壞的的概率答案4.在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么以為概率的事件是A.都不是一等品B

14、.恰有1件一等品C.至少有1件一等品D.至多有1件一等品答案5.設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為：X101P0.512qq2那么q等于A1B1±C1D1答案.拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和記為那么表示的隨機試驗的結(jié)果是A.2枚都是5點B.1枚是1點，另一枚是4點C.1枚是2點，另一枚是3點D.1權(quán)是1點，另一枚是4點，或者1枚是2點，另一枚是3點答案7.設(shè)隨機變量的分布列k=1,2,3,那么m的值為_.答案8.從有3個果球，5個白球的盒中取出2個球，其中恰有一個是白球的概率是_.答案才能提升1.一個骰子連續(xù)投2次，點數(shù)和為4的概率_.答案2.一個筒中放有標號分別為0，1，2，9的十根

15、竹簽，從中任取一根，記所取出的竹簽上的號數(shù)為X.1寫出X的概率分布；2分別求“；“X>7，“3.5X6的概率.答案1標號分別為0，1，2，9的十根竹簽，每一根被取出的可能性一樣，其概率均為于是X的概率分布為：X0123456789P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.12PX>7=PX=8+PX=9=0.2；P3.5X-6=PX=4+PX=5+PX=6=0.3.3. 在一塊耕地上種植一種作物，每季種植本錢為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性，且互不影響，其詳細情況如下表：作物產(chǎn)量kg300500概率0.50.5作物市場價格元/kg610概

16、率0.40.6設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列.【答案】設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300kg，B表示事件“作物市場價格為6元/kg，由題設(shè)知PA0.5，PB0.4，利潤產(chǎn)量×市場價格本錢，X所有可能的取值為500×1010004000，500×610002019，300×1010002019，300×61000800.所以X的分布列為X40002019800P0.30.50.24. 為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進展獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值

17、之和為該顧客所獲的獎勵額假設(shè)袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：1顧客所獲的獎勵額為60元的概率；2顧客所獲的獎勵額的分布列答案1設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.依題意，得PX60.即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為，2依題意，得X的所有可能取值為20，60.PX60，PX20，即X的分布列為X2060P0.50.55. 某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不一樣的七個學(xué)院現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進展支教活動每位同學(xué)被選到的可能性一樣1求選出的3名同學(xué)是來自互不一樣學(xué)院的概率；2設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列答案12根據(jù)超幾何分布，所以隨