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1、回避平面角求二面角的大小劉傳江 求二面角的大小歷來是高考立體幾何部分的考查熱點之一，而找出二面角的平面角往往又是解題的難點。本文以高考題為例，給出回避平面角來求二面角的大小的三種方法。方法一：將二面角的大小化歸為分別與兩個半平面共面且垂直于棱的兩個向量所成的角。例1. 如圖1，已知四棱錐P-ABCD，PBAD，側面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°。圖1（I）求點P到平面ABCD的距離；（II）求面PAB與面CPB所成二面角的大小。解：（I）過點P作底面ABCD的垂線，垂足為E。連結BE交AD于點F，則BE是PB在底面AB

2、CD內的射影。因為PBAD，所以由三垂線定理及其逆定理得ADBE，ADPF。于是PFB就是側面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角，則PFB=120°，PFE=60°。因為側面PAD是邊長等于2的正三角形，ADPF，所以AF=1，PF=。在RtPEF中，即點P到平面ABCD的距離為。（II）因PBAD，AD/BC，則PBBC。在等腰三角形PAB中，AP=AB，取邊PB的中點G，則GAPB。向量與所成的角就等于面PAB與面CPB所成二面角的大小。以E為原點，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則有、，于是。，則。面PAB與面CPB所成二面角的大小為。使用此法時

3、要注意所選的兩個向量所成的角與二面角的關系。方法二：將二面角的大小化歸為兩個半平面的兩個法向量所成的角。例2. 如圖2，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分別是AB、BC上的點，且EB=FB=1。求二面角C-DE-C1的正切值。圖2解：以A為原點，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2）。于是，設向量與平面垂直，則，其中z>0。取n0=（-1，-1，2），則n0是一個與平面C1DE垂直的向量。向量與平面CDE垂直n0與所成的角為二面角C-DE-C1的平面角。使用此法時應注意所取的兩個向量所成的角與二面角的關系。方法三：利用射影面積公式求解。例3. 同例2。解：由已知可得三角形C1DE在面ABCD內的射影是三角形

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