九年級數學上冊思維特訓(十四)　圓內接正三角形的一個性質的拓展應用

1、.思維特訓十四圓內接正三角形的一個性質的拓展應用方法點津 ·根本圖形與結論：解題原理：正三角形的性質、圓周角的性質以及全等三角形的性質結合解題方法：截長補短法典題精練 ·1：如圖141，ABC是O的內接正三角形，P為上一點不與點B，C重合1如圖，假設P是的中點，那么PBPC_PA填“或“；2如圖，當點P在上挪動時，1中的結論還成立嗎？請說明理由圖1412如圖142，等邊三角形ABC內接于O，P為O上異于A，B，C的動點當P為弦BC所對的優(yōu)弧上一點時，連接PA，PB，PC，猜測PA，PB，PC之間的數量關系圖14232019·廣州如圖143，C為ABD的外接圓上的一

2、動點點C不在上，且不與點B，D重合，ACBABD45°.1求證：BD是該外接圓的直徑；2連接CD，求證：ACBCCD.圖1434如圖144，正方形ABCD內接于O，P為上一點，試判斷PC，PA，PB之間的數量關系，并證明圖1445閱讀理解：1如圖145a，假設在ABC所在平面內存在一點P，使它到三角形各頂點的間隔 之和最小，那么稱點P為ABC的費馬點，此時PAPBPC的值為ABC的費馬間隔 ；2如圖b，假設四邊形ABCD的四個頂點在同一圓上，那么有AB·CDBC·ADAC·BD.此為托勒密定理圖145知識遷移：1請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖14

3、6a，點P為等邊三角形ABC外接圓的上任意一點求證：PBPCPA；2根據1中的結論，我們有如下探尋ABC其中A，B，C均小于120°的費馬點和費馬間隔 的方法：第一步：如圖146b，在ABC的外部以BC為邊作等邊三角形BCD及BCD的外接圓；第二步：在上任取一點P，連接PA，PB，PC，PD.易知PAPBPCPAPBPCPA_；第三步：請你根據上面“閱讀理解1中的定義，在圖146b中找出ABC的費馬點P，并指出線段_的長度即ABC的費馬間隔 圖146知識應用：三村莊A，B，C構成了如圖147所示的ABC其中A，B，C均小于120°，現(xiàn)選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A，

4、B，C所鋪設的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值圖147典題講評與答案詳析1解：12成立理由如下：方法1：如圖，在PA上截取PEPC，連接CE.APCABC60°，且PEPC，PEC為等邊三角形，CEPC，PCE60°.又ACB60°，ACEBCP.在ACE和BCP中，ACEBCP，EAPB，PBPCPA.方法2：如圖，延長BP至點E，使PEPC，連接CE.ABC為等邊三角形，ACBC，BACACB60°.A，B，P，C四點共圓，BACBPC180°.又BPCCPE180°，CPEBAC60°.又PEPC，PCE是等邊

5、三角形，ECPC，EPCE60°.BCE60°BCP，ACP60°BCP，BCEACP.在BEC和APC中，BECAPCSAS，EBPA.又EBPBPE，PEPC，PAPBPC.2解：當點P在劣弧AB上時，有PCPAPB；當點P在劣弧AC上時，有PBPAPC.3證明：1，ADBACB45°.又ABD45°，BAD90°，BD是該外接圓的直徑2如圖，在CD的延長線上截取DEBC，連接AE.ABDADB，ABAD.ADEADC180°，ABCADC180°，ABCADE.在ABC與ADE中，ABCADESAS，BACD

6、AE，從而BACCADDAECAD，即BADCAE90°.，ACDABD45°，CAE是等腰直角三角形，ACCE.又CECDDE，DEBC，ACBCCD.4.解：PAPCPB.證明如下：如圖，過點B作BEBP，交AP于點E，連接AC.四邊形ABCD為正方形，ABCB，ABC90°，ACB45°.ABECBE90°，CBPCBE90°，ABECBP.ACB45°，APB45°，BEP45°，從而EBPB，EPPB.在ABE和CBP中，ABECBPSAS，EAPC.又PAEAEP，EPPB，PAPCPB.5解：知識遷移：1證明：由托勒密定理可知PB·ACPC·ABPA·BC.ABC是等邊三角形，ABACBC，PBPCPA.2第二步：PD第三步：連接AD，交圓于點P，點P即為所求，線段AD的長度即ABC的費馬間隔 知識應用：如圖，以BC為邊在ABC的外部作等邊三角形BCD，連接AD，那么線段AD的長即為輸水管總長度的最小值BCD為等邊三角形，BC4 km，CBD6